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webadm	投稿日時: 2012-5-19 19:10
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3120	LC直列回路（交流入力）今度はLC直列回路の交流電源版 LC直列回路に正弦波電圧Em sin(ωt+θ)を加えるとき、流れる電流iおよび電荷qはどうなるか。ただし、この回路は静止状態にあるものとする。というもの。以下の関係式が成り立つ $\begin{eqnarray}<br />L\frac{d{i}}{dt}+\frac{1}{C}\int\,i\,dt&=&E_m\,\sin\left(\omega\,t+\theta\right)\\<br />-\int\,i\,dt+q&=&0<br />\end{eqnarray}$ これをHeaviside演算子とベクトルで書き直すと $\begin{eqnarray}<br />{\bf F}{\bf u}&=&{\bf b}\\<br />{\bf F}&=&\begin{bmatrix}L\,p+\frac{1}{C\,p}&0\cr -\frac{1}{p}&1\end{bmatrix}\\<br />{\bf u}&=&\begin{bmatrix}i\left(t\right)\cr q\left(t\right)\end{bmatrix}\\<br />{\bf b}&=&\begin{bmatrix}E_{m}\,\sin\left(\omega\,t+\theta\right)\cr 0\end{bmatrix}\\<br />\end{eqnarray}$ これを演算子法で解くと $\begin{eqnarray}<br />{\bf u}&=&{\bf F^{-1}}{\bf F}{\bf u}={\bf F^{-1}}{\bf b}\\<br />&=&\begin{bmatrix}L\,p+\frac{1}{C\,p}&0\cr -\frac{1}{p}&1\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}E_{m}\,\sin\left(\omega\,t+\theta\right)\cr 0\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}\frac{{E}_{m}\,p\,\sin\left(\omega\,t +\theta\right) \,\cancel{C}}{\cancel{C}\,L\left({p}^{2}+\frac{1}{C\,L}\right)}\cr \frac{{E}_{m}\,\sin\left( \omega\,t+\theta\right) \,\cancel{C}}{\cancel{C}\,L\left({p}^{2}+\frac{1}{C\,L}\right)}\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}\frac{E_{m}\,p}{2\,j\,L\frac{1}{\sqrt{C\,L}}}\left(\frac{\sin\left(\omega\,t+\theta\right)}{p-j\frac{1}{\sqrt{C\,L}}}-\frac{\sin\left(\omega\,t+\theta\right)}{p+j\frac{1}{\sqrt{C\,L}}}\right)\cr \frac{E_{m}}{2\,j\,L\frac{1}{\sqrt{C\,L}}}\left(\frac{\sin\left(\omega\,t+\theta\right)}{p-j\frac{1}{\sqrt{C\,L}}}-\frac{\sin\left(\omega\,t+\theta\right)}{p+j\frac{1}{\sqrt{C\,L}}}\right)\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}\frac{E_{m}}{2\,j\,L\frac{1}{\sqrt{C\,L}}}\frac{d}{dt}\left(e^{j\frac{1}{\sqrt{C\,L}}t}\int_{0}^{t}\sin\left(\omega\,t+\theta\right)e^{-j\frac{1}{\sqrt{C\,L}}t}dt-e^{-j\frac{1}{\sqrt{C\,L}}t}\int_{0}^{t}\sin\left(\omega\,t+\theta\right)e^{j\frac{1}{\sqrt{C\,L}}t}dt\right)\cr \frac{E_{m}}{2\,j\,L\frac{1}{\sqrt{C\,L}}}\left(e^{j\frac{1}{\sqrt{C\,L}}t}\int_{0}^{t}\sin\left(\omega\,t+\theta\right)e^{-j\frac{1}{\sqrt{C\,L}}t}dt-e^{-j\frac{1}{\sqrt{C\,L}}t}\int_{0}^{t}\sin\left(\omega\,t+\theta\right)e^{j\frac{1}{\sqrt{C\,L}}t}dt\right)\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}\frac{E_{m}}{2\,j\,L\frac{1}{\sqrt{C\,L}}}\frac{d}{dt}\left(\frac{\frac{1}{-j\frac{1}{\sqrt{C\,L}}}\sin\left(\omega\,t+\theta\right)-\frac{1}{-j\frac{1}{\sqrt{C\,L}}}e^{j\frac{1}{\sqrt{C\,L}}t}\sin\left(\theta\right)+\cancel{\omega\,C\,L\,\cos\left(\omega\,t+\theta\right)}-\omega\,C\,L\,e^{j\frac{1}{\sqrt{C\,L}}t}\cos\left(\theta\right)-\frac{1}{j\frac{1}{\sqrt{C\,L}}}\sin\left(\omega\,t+\theta\right)+\frac{1}{j\frac{1}{\sqrt{C\,L}}}e^{-j\frac{1}{\sqrt{C\,L}}t}\sin\left(\theta\right)-\cancel{\omega\,C\,L\,\cos\left(\omega\,t+\theta\right)}+\omega\,C\,L\,e^{-j\frac{1}{\sqrt{C\,L}}t}\cos\left(\theta\right)}{1-\omega^{2}\,C\,L}\right)\cr \frac{E_{m}}{2\,j\,L\frac{1}{\sqrt{C\,L}}}\left(\frac{\frac{1}{-j\frac{1}{\sqrt{C\,L}}}\sin\left(\omega\,t+\theta\right)-\frac{1}{-j\frac{1}{\sqrt{C\,L}}}e^{j\frac{1}{\sqrt{C\,L}}t}\sin\left(\theta\right)+\cancel{\omega\,C\,L\,\cos\left(\omega\,t+\theta\right)}-\omega\,C\,L\,e^{j\frac{1}{\sqrt{C\,L}}t}\cos\left(\theta\right)-\frac{1}{j\frac{1}{\sqrt{C\,L}}}\sin\left(\omega\,t+\theta\right)+\frac{1}{j\frac{1}{\sqrt{C\,L}}}e^{-j\frac{1}{\sqrt{C\,L}}t}\sin\left(\theta\right)-\cancel{\omega\,C\,L\,\cos\left(\omega\,t+\theta\right)}+\omega\,C\,L\,e^{-j\frac{1}{\sqrt{C\,L}}t}\cos\left(\theta\right)}{1-\omega^{2}\,C\,L}\right)\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}\frac{E_{m}\,\omega\,C}{1-\omega^{2}\,C\,L}\left(\cos\left(\omega\,t+\theta\right)+\frac{1}{\omega\,\sqrt{C\,L}}\sin\left(\theta\right)\,\sin\left(\frac{1}{\sqrt{C\,L}}t\right)-\cos\left(\theta\right)\,\cos\left(\frac{1}{\sqrt{C\,L}}t\right)\right)\cr \frac{E_{m}\,C}{1-\omega^{2}\,C\,L}\left(\sin\left(\omega\,t+\theta\right)-\sin\left(\theta\right)\,\cos\left(\frac{1}{\sqrt{C\,L}}t\right)-\omega\,\sqrt{C\,L}\cos\left(\theta\right)\,\sin\left(\frac{1}{\sqrt{C\,L}}t\right)\right)\end{bmatrix}\\<br />\end{eqnarray}$ ということになる。部分積分とEularの公式、それに微分が出来れば解が得られるとはいえ、たかがLC直列回路の解析にこれほど長い数式を扱わなければならないので公式の記憶違いもあってなかなか難航した。最終的な解は想像を超えた形をしている。 LC直列回路は純粋なリアクタンス回路なのでエネルギーを消費する抵抗がないためt→∞で消滅する過渡項が無い。 Em=C=L=1,ω=2、θ=0としてプロットするとということになる。一瞬目を疑うが、式の上だと周期の異なる２つの正弦波が重なりあってうねりを生じている。回路シミュレーターで同じ条件を試してみると、厳密解と一致している。

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題名	投稿者	日時
過渡現象演習問題	webadm	2011-11-1 17:19
RL直列回路	webadm	2011-11-1 17:32
続：RL直列回路	webadm	2011-11-3 5:24
続々：RL直列回路	webadm	2011-11-3 6:23
まだまだ：RL直列回路	webadm	2011-11-3 8:44
もうひとつの：RL直列回路	webadm	2011-11-3 15:53
またまた：RL直列回路	webadm	2011-11-3 16:32
断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-4 1:09
続：断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-4 2:29
RL並列回路	webadm	2011-11-4 7:48
続々：断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-5 10:47
まだまだ:断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-5 20:42
もうひとつの：断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-6 1:32
またしても：RL直列回路	webadm	2011-11-6 2:44
鎖交磁束不変の理	webadm	2011-11-6 6:17
続：鎖交磁束不変の理	webadm	2011-11-8 5:08
続々：鎖交磁束不変の理	webadm	2011-11-8 7:42
またひとつの：RL直列回路	webadm	2011-11-10 7:26
RL直並列回路	webadm	2011-12-29 5:39
相互誘導回路	webadm	2012-1-11 8:53
続：相互誘導回路	webadm	2012-1-11 10:52
続々：相互誘導回路	webadm	2012-1-14 21:44
まだまだ：相互誘導回路	webadm	2012-1-22 3:04
RC直列回路	webadm	2012-1-22 23:50
続：RC直列回路	webadm	2012-1-23 1:37
続々：RC直列回路	webadm	2012-1-23 4:15
まだまだ：RC直列回路	webadm	2012-1-24 9:31
もうひとつの：RC直列回路	webadm	2012-1-27 7:27
またまた：RC直列回路	webadm	2012-1-29 0:18
電荷量不変の理	webadm	2012-1-29 0:45
続：電荷量不変の理	webadm	2012-2-4 9:41
断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-7 6:22
続：断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-10 9:18
続々：断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-12 20:06
まだまだ：断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-12 23:06
もうひとつの：断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-14 7:38
RC並列回路	webadm	2012-2-14 8:48
続：RC並列回路	webadm	2012-4-5 10:59
LC直列回路	webadm	2012-4-10 8:07
続:LC直列回路	webadm	2012-4-11 15:26
続々：LC直列回路	webadm	2012-4-14 6:36
まだまだ：LC直列回路	webadm	2012-4-14 17:43
LC並列回路	webadm	2012-4-15 0:24
断続部のあるLC並列回路	webadm	2012-4-16 3:54
続：断続部のあるLC並列回路	webadm	2012-4-17 9:05
断続部のあるブリッジ回路	webadm	2012-5-5 18:09
RLC直列回路	webadm	2012-5-5 23:12
続：RLC直列回路	webadm	2012-5-6 19:26
続々:RLC直列回路	webadm	2012-5-6 19:53
まだまた：RLC直列回路	webadm	2012-5-6 21:41
RLC直並列回路	webadm	2012-5-7 2:09
続：RLC直並列回路	webadm	2012-5-8 8:31
続々：RLC直並列回路	webadm	2012-5-12 18:14
RL直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-13 1:37
続：RL直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-13 22:24
続々：RL直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-13 23:03
RC直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-14 8:11
» LC直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-19 19:10
RLC直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-23 4:47
RL直並列回路（交流入力）	webadm	2012-5-28 23:28
相互誘導回路	webadm	2012-8-3 7:14
続：相互誘導回路	webadm	2012-8-4 23:52
続々：相互誘導回路	webadm	2012-8-5 2:55
線型性	webadm	2012-8-6 21:08
非線型素子回路	webadm	2012-8-8 7:41
微分回路	webadm	2012-8-8 9:30
積分回路	webadm	2012-8-11 20:51
パルス回路	webadm	2012-8-11 22:35
交流ブリッジ回路	webadm	2012-8-11 23:00
最後のRL直列回路	webadm	2012-8-12 3:28

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