引用：

これだと証明は不十分らしい。

In-4*In+1+In+2=0

をk,k+1,k+2の時に満たすかどうか確かめる必要がある。

Ik=I1*(2-sqrt(3))^(k-1)
Ik+1=I1*(2-sqrt(3))^k
Ik+2=I1*(2-sqrt(3))^(k+1)

なので

Ik-4*Ik+1+Ik+2=I1*(2-sqrt(3))^(k-1)-4*I1*(2-sqrt(3))^k+I1*(2-sqrt(3))^(k+1)
=I1*(2-sqrt(3))^k/(2-sqrt(3))-4*I1*(2-sqrt(3))^k+I1*(2-sqrt(3))^k*(2-sqrt(3))
=I1*(2-sqrt(3))^k*(1/(2-sqrt(3))-4+(2-sqrt(3)))
=I1*(2-sqrt(3))^k*((1-4*(2-sqrt(3))+(2-sqrt(3))^2)/(2-sqrt(3)))
=I1*(2-sqrt(3))^k*((1-8+4*sqrt(3)+4-4*sqrt(3)+3)/(2-sqrt(3)))
=I1*(2-sqrt(3))^k*(0/(2-sqrt(3)))
=0

ということで証明できたことになる。

前の問題と同様に漸化式の応用問題。

著者の問題文は実は不完全で、最初の設問が欠落している。

まったく同じ問題が同じ共立出版から出ている姉妹本「詳説　電磁気学演習」にも載っていて、そちらに以下の様な完全な問題文が載っている。

「一様な２本の銅線A0An,B0Bnが平行におかれ、図の様に、それらをn等分したあい対する点Ak,Bkでつながれていて、A0B0に電池がいれてある。AkAk+1、BkBk+1(k=0,1,2,...)とAnBnとの抵抗をRとし、A1B1,A2B2,...,AnBnを流れる電流をすべて等しくするためには、k番目の銅線AkBkの抵抗Rkは次のようであることを示せ。

Rk={(n-k)^2+(n-k)+1}R
」

なのですこしわかり難いが、著者の解答を見れば２つの設問があることが初めてわかる。

最初は問題の趣旨がわかりづらいものの、自分で回路図を描いてみたりするとようやく回路を流れる電流の関係とかがはっきり見えてくる。



縦方向の電流はすべてIでn箇所あるので全体を流れる電流はnIとなる。

従って横方向に流れる電流は電源に一番近いところがnIとして、そこから順にIだけ減っていく。

電源に近い方のブリッジ部分は電圧が高いのでそれ以降のブリッジ部分に比べて同じ電流Iを流すのにも高い抵抗値を必要とする。電源から遠ざかるにつれて橋の間の電圧は下がるのでブリッジ抵抗も下げないと同じIが流れないというのは直感的に予想できる。

従って横方向の流れる電流値は等差数列になり、縦方向の抵抗は等比数列になることが予想できる。これは代表的な漸化式の問題である。

漸化式は高校レベルの数学だが、学習指導要領では教えなくても良いことになっているらしい。しかし電気の世界では分布定数回路の入門には欠かせない知識だけに工学系の大学入試問題には出ることがあるらしい。数学公式集にも載っていないぐらいだから、非常に用途の狭い数学の概念であることは確かである。

それでも必要なので、昨日神保町の書泉に行って参考書を買って来た。科学振興新社のモノグラフシリーズにある「漸化式」という本。そのものずばり漸化式についてのみ詳しく学べる本である。

この本によると先の問題５７は隣接３項間の一次の漸化式らしい。

今度の問題５８もこの本に書かれているいくつかの漸化式のパターンのどれかに該当するはずである。それぞれ解き方が詳しく解説されているのでそれを参考に解いてみることにしよう。

隣接するRkとRk+1で挟まれた閉回路についてキルヒホッフの法則から以下の式が成り立つ

I*Rk=(n-k)*I*R + I*Rk+1 + (n-k)*I*R

これを整理して両辺をIで割ると

Rk = 2*(n-k)*R + Rk+1

という漸化式が得られる。しかしこれから一般解を得ようとすると問題がある。というのも初期項が定まらないのだ。

R1からして未知数なので初期項が定数であることを前提とした漸化式の解法が使えない。前の問題５７の場合は初期項としてI1が与えられていた。

しかし一番最後のRnだけはRであることが与えられている。kをn-1とした場合にRn-1は3Rであることが計算できる。

前の問題５７もそうだが著者の解法は理解できないところがある。

問題５８の解き方に至っては途中が説明されていないので突然つながりの無い式が出てきてしまっている。

漸化式や差分方程式の参考書を見つけて買って読んでみたものの、著者のような解き方はどこにも書いていない。

漸化式に至ってはどれも初期項が予め与えられている場合しか載っていない。

しかしここで挫折していてはまだ入り口で引き返すことを意味する。

だいぶ久々に八重洲ブックセンターに足を運んでみた。昔と変わっていなくてほっとした。日本橋の丸善はまったく新しくなってしまったものの扱う書籍が少なくなってしまってがっかりだったが、ここはまだ８Ｆで洋書の専門書を扱っている。

電気回路の本を見てみたら日本で出版されている電気回路の教科書とかなり内容が違うのに気づいた。

直流回路を最初にやるのは一緒だが、日本の教科書はどれも次ぎに交流回路を学ぶことになるが、外国ではオペアンプ回路が出てくる。それから交流回路という具合。交流回路の部分も日本の本だと三角関数の公式とかがいきなり出てきて数学の本かと間違う程だが、外国のはなるべく数学の知識が無くても扱えるものを最初に憶えてしまうという感じ。

当然ながら漸化式とか差分方程式を扱うような直流回路の演習問題などは無い。

日本の本でも漸化式を解く問題５７とかを載せている本は少ない。どれも直流回路はオームの法則とキルヒホッフの法則を理解したら十分で、本命は交流回路だと言わんばかりに直流回路のページ数は少ない。交流回路は普段使っている商用電源とかで密接に関連しているし、電気工事とかでは必須の知識であるからだろう。抵抗だけの直流回路は交流回路として扱っても同じなので後からいくらでも細かいことは勉強する時間があるということなのかもしれない。

たぶん高校で漸化式を教えなくなってからは、漸化式を扱う電気回路は大学でも教え辛くなったのかもしれない。

さて著者の解法をどうやって理解するかが問題だ。

いろいろ検索していたらMaximaでも漸化式が解けることを発見。

漸化式とは英語でrecurrencesという。これを解くためのオプションのパッケージがあるのでそれをロードして使用する。

(%i1) load("solve_rec")$

ここで漸化式と求める一般解を与えて解かせると、

(%i2) solve_rec(R[k]=2*R*(n-k)+R[k+1],R[k]);
(%o2) R[k]=%k[1]-k*(2*n-k+1)*R

という具合に初期項(%k[1])が未知なまま残ってしまう。

そこでR[n]=Rという初期条件を与えてやり直すと

(%i3) solve_rec(R[k]=2*R*(n-k)+R[k+1],R[k],R[n]=R);
(%o3) R[k]=(n^2+n+1)*R-k*(2*n-k+1)*R

と解けた模様。これを因数分解すると

(%i4) factor(%);
(%o4) R[k]=(n^2-2*k*n+n+k^2-k+1)*R

Maximaではここまでが限界、これを手で因数分解すれば

R[k]=((n-k)^2+(n-k)+1)*R

ということになり、著者と同じ答えが得られた。

これで良しとしよう（´∀｀　）

もう一つの設問を忘れていた。

各ブリッジ抵抗Rkの両端の電圧Ekの一般解を導かなければいけない。

これも著者の解答例は唐突的で理解しがたいものがある。「これが瞬時に理解できないIQの低い者はとっとと失せろ」という著者のメッセージが秘められてなくもない。

著者の解き方はいずれじっくり理解するとして、自分なりに解いてみよう。

これも漸化式が立てられる。k段目の閉回路で先の設問と同じようにキルヒホッフの法則から

Ek = (n-k)*I*R + Ek+1 + (n-k)*I*R
= 2*(n-k)*I*R + Ek+1

これをMaximaで解くと

(%i1) load("solve_rec")$
(%i2) solve_rec(E[k]=2*(n-k)*I*R+E[k+1],E[k]);
(%o2) E[k]=%k[1]-k*(2*n-k+1)*I*R

ということで初期項(%k[1])が未知数のままである。

そこで初期条件としてE0=Eを与えると

(%i3) solve_rec(E[k]=2*(n-k)*I*R+E[k+1],E[k],E[0]=E);
(%o3) E[k]=E-k*(2*n-k+1)*I*R

見事に著者と同じ答えた一発で得られた。

なんだ簡単じゃないか（´∀｀　）

問題５７と問題５８をクリアして自身満々だったところで待ち受けていたのはそれを粉々に打ち砕くような難問だった(´д` )

著者の図は著者の解法と絡んでいてちょっと誤解を招くような電流の書き方になっている。厳密には以下の通りだ。



問題の趣旨は架線を流れる電流であるが、著者の図では網目電流法に基づいて電流の流れを記載している。実際に漏洩抵抗に流れる電流は隣り合った閉回路を流れる電流の差となる。

この回路もI0から段々と電流値が減っていく指数関数カーブを描くことが直感的に予想される。問題では双曲線関数に式の一部を置き換えた場合の電流値の一般解の予想を証明せよというもの。

別にここで双曲線関数を持ち出さなくても良いのにと思うが、この手の問題は電信方程式とか振動方程式とかにつながるものであるのでそうしたことに慣れるようにという配慮だと思われる。しかし読者は否応がなしに双曲線関数を復学しなければならないことになる。

確かsinhと書いてhyperbolic-sinとか呼ぶはずだったように学生の時の記憶で憶えている。もしかしたらsin-hyperbolicだったかもしれない。いずれにせよHyperbloicというのは双曲線に対する英語である。手元の数学公式集を見てもsinhという記号は双曲線正弦という意味しか説明されておらず、数学辞典でも引かない限り読み方は書いていない。このあたりが日本の数学教育の破綻している点である。あるところまでは日本固有の呼称を押しつけておきながら記号は欧米のまま流用、読み方は口伝でしか教えないという。たぶん数学の授業を受けないと、実際にどう読むのかは教わる機会はないだろう。

双曲線関数は三角関数と相似的な名前が付けられている。これはその数学的な性質が三角関数と相似していることによる。普通は三角関数を学んだ後に双曲線関数もついでに習っているはずである。かろうじて記憶に残っているが、詳しいことはほとんど忘れている。

さて本題にもどって、上図の回路から、k段目の閉回路についてキルヒホッフの法則によって以下の式が成り立つ。

(I[k-1]-I[k])*R2=I[k]*R1+(I[k]-I[k+1])*R2

これは漸化式なのでそのまま解いてみると

(%i7) solve_rec((I[k-1]-I[k])*R2=I[k]*R1+(I[k]-I[k+1])*R2,I[k]);
(%o7) I[k]=(%k[2]*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^k)/2^k+(%k[1]*(-(sqrt(4*R1*R2+R1^2)-2*R2-R1)/R2)^k)/2^k

恐ろしく複雑な式が現れる。初期条件を与えることが出来れば解けるのだが、回路からわかる通り容易には初期条件は得られない。

体調が悪い中寝床に横になりながら眠れずにこの問題のことを考えていた。

最初に立てた漸化式

(I[k-1]-I[k])*R2=I[k]*R1+(I[k]-I[k+1])*R2

これを展開すると

I[k-1]*R2 - I[k]*R2 = I[k]*R1 + I[k]*R2 - I[k+1]*R2

I[k-1]*R2 = I[k]*(R1 + 2*R2) - I[k+1]*R2

これを整理すると

I[k+1]*R2 = I[k]*(R1 + 2*R2) - I[k-1]*R2

両辺をR2で割ると

I[k+1] = I[k]*(R1/R2 + 2) - I[k-1]

ということで著者の解法でもこれと同じ漸化式を導いているのでこれはこれで合っている。

あとA端とB端についても

E=r*I[0]+R1*I[0]+R2*(I[0]-I[1])

R2*(I[n-1]-I[n])=R1*I[n]

というのは容易に導ける。

著者の場合は特性方程式を使った微分方程式の解法に似たような感じで魔法の様に解いてしまっている。解答例に出てくる式が唐突過ぎてなぜそれらが導かれるのかまったく理解不能である。

まあ、IQが低い自分が悪いのだけども。

微分方程式の解に双曲線関数が出てくるというのも珍しい。数学公式集にもあることにはあるが、解き方までは書いていない。

この問題は先の問題５８、５８と同様に姉妹本の電磁気学演習にも出てくるが、微妙に使われている記号が違っていて書かれている式も異なるが意味はまったく同一である。この問題はおそらくどこかに出典があるのだろうけど、著者は憶えていないという理由で一切参考図書を明らかにしていない。もしかして著作権上問題があるのではないかと勘ぐってしまうが、おそらく古い文献や論文とかで数十年もたっているから問題ないか、オリジナルがどこからきたのか著者も知らないのかもしれない。こういうのは日本の場合問題だと思う。先駆者が居たからこの問題が後生に伝えられたのに先駆者の名前が忘れられているというのは悲しい。たぶん外国人だから、敵国だからということで名前は伏せられたのかもしれない。だとしたらまったく恥ずかしい話である。北米の電気回路の参考書には所々に先駆者の顔と小史が解説されている。そういう先駆者を尊敬しその労苦を追体験するというのが大事だということを忘れていないためだろう。日本人も見習って欲しいものである。

脱線してしまったが、この問題の回路のR1と直列にインダクタンスLを、R2と並列にキャパシタンスCを追加すると分布常数回路となる。この回路は分布常数回路からLとCの影響を無視したものと捉えることもできる。まあ、直流で電流に変化が無い場合はLもCも無視できるのであるが。

たぶんこの問題そのものは数学の授業で扱う範囲を遙かに超えている。回路解析には単純なものもあるけど、一見単純そうに見えて恐ろしく複雑なこともあるという一例である。

さて今しばらくいろいろ考えを巡らせてみよう。微分方程式の解き方についても復習しないと。まったく憶えていないというのもひどすぎる。

この問題をクリアできれば、残りは電力と温度係数に関係する簡単な演習だけになる。いよいよ直流回路理論を卒業か。

最初に立てた漸化式

I[k+1]=I[k]*(R1/R2+2)-I[k-1]

を変形して

I[k+1] - Ik*(R1/R2+2) + I[k-1] = 0

とすると特性方程式は

x^2 - (R1/R2+2)*x + 1 = 0

ということになる。

これを解くと

(%i14) solve(x^2-(R1/R2+2)*x+1=0,x);
(%o14) [x=-(sqrt(4*R1*R2+R1^2)-2*R2-R1)/(2*R2),x=(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/(2*R2)]

なにやら見覚えのある内容の解が得られた。

Maximaのsolve_recも内部では特性方程式を使って解いているのかもしれない。

やはり著者の解法を研究するしかないのか。

またまた本の誤植を発見

2+R1/R2=2+4sinh^2α=2(1+2sinh^2α)=1+2((e^α-e^-α)/2)^2=1+((e^2α-2+e^-2α)/2)=(e^2α+e^-2α)/2=cosh2α

て本には書いてあるけど、式の途中で２の倍数の項が無くなってしまっている。本当は以下が正しいはず

2+R1/R2=2+4sinh^2α=2(1+2sinh^2α)=2(1+2((e^α-e^-α)/2)^2)=2(1+((e^2α-2+e^-2α)/2))=2((e^2α+e^-2α)/2)=2cosh2α

そうでないとその後に書き換えた漸化式と辻褄が合わなくなる。