次ぎは再びRLC混成回路の問題。



基本はLC並列回路だがLとCにそれぞれ直列にRLとRCの抵抗が入っている場合の共振周波数とRCが入っていないものとした場合の共振周波数の比率を求めよというもの。

これは現実のLC並列回路でキャパシタンスに含まれる損失抵抗RCを考慮した場合と無視した場合とで共振周波数の比率がどれほどかを解析する事を意味する。インダクタには直流抵抗RLが含まれているものとする。

RCを考慮した場合の共振周波数はインピーダンスの式

Z=1/(1/(RL+jωL)+1/(RC-j/ωC))
=1/((RC-j/ωC+RL+jωL)/((RL+jωL)*(RC-j/ωC)))
=((RL+jωL)*(RC-j/ωC))/(RC+RL+j(ωL-1/ωC))
=((RL*RC-jRL/ωC+jωL*RC+L/C)*(RC+RL-j(ωL-1/ωC)))/((RC+RL-j(ωL-1/ωC))*(RC+RL-j(ωL-1/ωC)))
=((RL*RC+L/C+j(ωL*RC-RL/ωC))*(RC+RL-j(ωL-1/ωC)))/((RC+RL)^2+(ωL-1/ωC)^2)
=((RL*RC+L/C)*(RC+RL)-j(RL*RC+L/C)*(ωL-1/ωC)+j(ωL*RC-RL/ωC)*(RC+RL)+(ωL*RC-RL/ωC)*(ωL-1/ωC))/((RC+RL)^2+(ωL-1/ωC)^2)
=((RL*RC+L/C)*(RC+RL)+(ωL*RC-RL/ωC)*(ωL-1/ωC)+j((ωL*RC-RL/ωC)*(RC+RL)-(RL*RC+L/C)*(ωL-1/ωC))/((RC+RL)^2+(ωL-1/ωC)^2)
=((RL*RC+L/C)*(RC+RL)+(ωL*RC-RL/ωC)*(ωL-1/ωC))/((RC+RL)^2+(ωL-1/ωC)^2)+j((ωL*RC-RL/ωC)*(RC+RL)-(RL*RC+L/C)*(ωL-1/ωC))/((RC+RL)^2+(ωL-1/ωC)^2))

共振点では実効リアクタンスが０となるため

(ωL*RC-RL/ωC)*(RC+RL)-(RL*RC+L/C)*(ωL-1/ωC)=0

なる条件を満たすωが共振角周波数となるのでωについて解くと

(%i1) (o*L*RC-RL/(o*C))*(RC+RL)-(RL*RC+L/C)*(o*L-1/(o*C));
(%o1) (RL+RC)*(o*L*RC-RL/(o*C))-(o*L-1/(o*C))*(RC*RL+L/C)
(%i2) solve(%,o);
(%o2) [o=-sqrt((C*RL^2)/(C^2*L*RC^2-C*L^2)-L/(C^2*L*RC^2-C*L^2)),o=sqrt((C*RL^2)/(C^2*L*RC^2-C*L^2)-L/(C^2*L*RC^2-C*L^2))]
(%i3) factor(%);
(%o3) [o=-sqrt((C*RL^2-L)/(C*L*(C*RC^2-L))),o=sqrt((C*RL^2-L)/(C*L*(C*RC^2-L)))]

ω>0であるので

ω0=sqrt((C*RL^2-L)/(C*L*(C*RC^2-L)))

ということになる。

ここでRCが無い場合の共振周波数は上の式でRC=0を代入することで

ω0'=sqrt((C*RL^2-L)/(C*L*(-L)))

ということになる。

従ってRCがある場合と無い場合の共振周波数の比は

ω0'/ω0=sqrt((C*RL^2-L)/(C*L*(-L)))/sqrt((C*RL^2-L)/(C*L*(C*RC^2-L)))
=sqrt((C*RL^2-L)*(C*L*(C*RC^2-L))/sqrt((C*L*(-L)*(C*RL^2-L))
=sqrt((C*L*(C*RC^2-L)/(C*L*(-L))
=sqrt((C*RC^2-L)/(-L))
=sqrt((L-C*RC^2)/L)
=sqrt(1-C*RC^2/L)

ということになる。

著者は式を優しくするために並列回路なのでアドミッタンスの式から導いて同じ結果を得ている。

次ぎもRLC混成回路に関する問題。



２つの異なるRLC並列回路が互いに並列接続されている回路で

L2=L1*k
C2=C1/k

とした場合に２つのRLC並列回路は共振周波数が同じになり、合成された回路の共振周波数もf0になるがQが変わるので半値幅が異なってくる。元の回路の半値幅をそれぞれΔf1,Δf2とした場合の合成された回路の半値幅Δfがどうなるか導けというもの。



それぞれのRLC並列回路の半値幅と合成された回路の半値幅の関係を図にするとこんな感じだろうか。

まずは本当にそうなのか合成された回路のインピーダンスの式を導いて検証してみよう。

全素子並列接続なので回路の合成アドミッタンスは

Y=1/R1+jωC1-j/ωL1+1/R2+jωC2-j/ωL2
=1/R1+1/R2+j(ω*(C1+C2)-((L1+L2)/(ω*L1*L2)))
=(R1+R2)/(R1*R2)+j(ω*(C1+C2)-((L1+L2)/(ω*L1*L2)))

共振点は虚数部が０となることから

ω*(C1+C2)-((L1+L2)/(ω*(L1*L2)))=0

が成り立つωを解けば良い

両辺にωを乗じてωについて整理すると

ω^2*(C1+C2)-((L1+L2)/(L1*L2))=0

ωについて解くと

ω0=sqrt((L1+L2)/(L1*L2))/(C1+C2))
=sqrt((L1+L2)/((L1*L2)*(C1+C2)))

ここで

L2=L1*k
C2=C1/k

を代入すると

ω0=sqrt((L1+L1*k)/(L1*L1*k)*(C1+C1/k)))
=sqrt(L1*(1+k)/(L1^2*k)*C1*(1+1/k)))
=sqrt((1+k)/(L1*k)*C1*(1+1/k)))
=sqrt((1+k)/(L1*C1*(k+1)))
=sqrt(1/(L1*C1))

L1=L2/k
C1=C2*k

を代入すると

ω0=sqrt(1/((L2/k)*C2*k))
=sqrt(1/(L2*C2))

従って

ω0=sqrt(1/(L1*C1))=sqrt(1/(L2*C2))

となりそれぞれのRLC並列回路の共振周波数と合成された回路の共振周波数は変わらないことが確かめられた。

ところでQの定義

Q=f0/(f1-f2)=f0/Δf
=共振時のサセプタンス/共振時のコンダクタンス
=ω0*(C1+C2)/((R1+R2)/(R1*R2))
=ω0*(C1+C2)*(R1*R2)/(R1+R2)

また個々のRLC並列回路について

f0/Δf1=ω0*C1*R1

f0/Δf2=ω0*C2*R2

従って

R1=f0/(Δf1*ω0*C1)
=f0/(Δf1*2*π*f0*C1)
=1/(Δf1*2*π*C1)

R2=f0/(Δf2*ω0*C1)
=f0/(Δf2*2*π*f0*C2)
=1/(Δf2*2*π*C2)

これを回路全体のQの式に代入すると

Q=f0/Δf=ω*(C1+C2)*(R1*R2)/(R1+R2)
=2*π*f0*(C1+C2)*((1/(Δf1*2*π*C1))*(1/(Δf2*2*π*C2)))/(1/(Δf1*2*π*C1)+1/(Δf2*2*π*C2))
=(2*π*f0*(C1+C2)/(Δf1*2*π*C1)*(Δf2*2*π*C2))/((Δf1*2*π*C1+Δf2*2*π*C2)/((Δf1*2*π*C1)*(Δf2*2*π*C2)))
=(2*π*f0*(C1+C2))/(Δf1*2*π*C1+Δf2*2*π*C2)
=f0*(C1+C2)/(Δf1*C1+Δf2*C2)

従って

Δf=(Δf1*C1+Δf2*C2)/(C1+C2)

ここで

C2=C1/k

を代入すると

Δf=(Δf1*C1+Δf2*C1/k)/(C1+C1/k)
=C1*(Δf1+Δf2/k)/(C1*(1+1/k))
=(Δf1+Δf2/k)/(1+1/k)
=(Δf1+Δf2/k)/((k+1)/k)
=(Δf1+Δf2/k)*k/(k+1)
=(k*Δf1+Δf2)/(k+1)

ということになる。

次ぎは共振回路がやっと終わってY-Δ変換の応用問題。



キャパシタだけのブリッジ回路。ブリッジ回路は連立方程式を解かないと各素子に流れる電流を導くことができないが、題意は合成キャパシタンスだけ求めれば良いので連立方程式をたてなくてもY-Δ変換で単純な直列と並列回路にしてして解くことができる。

それだと面白くないので、連立方程式を立て解いてみよう。

C1,C2に流れる電流をI1,I2とし、全体を流れる電流をIとした場合に、キルヒホッフの法則で以下の関係が成り立つ。

-j*I1/ωC1-j*I2/ωC2=E

-j*(I-I1)/ωC3-j*(I-I2)/ωC4=E

-j*I1/ωC1-j*(I1-I2)/ωC5-j*(I-I2)/ωC4=E

回路全体の合成キャパシタをCとすると以下の関係が成り立つ

-j*I/ωC=E

これらの４つの式をI,I1,I2,Cに関する４元連立方程式として解くと

(%i36) e1: -%i*I1/(o*C1)-%i*I2/(o*C2)=E;
(%o36) -(%i*I2)/(o*C2)-(%i*I1)/(o*C1)=E
(%i37) e2: -%i*(I-I1)/(o*C3)-%i*(I-I2)/(o*C4)=E;
(%o37) -(%i*(I-I2))/(o*C4)-(%i*(I-I1))/(o*C3)=E
(%i38) e3:-i%*I1/(o*C1)-%i*(I1-I2)/(o*C5)-%i*(I-I2)/(o*C4)=E;
(%o38) -(%i*(I1-I2))/(o*C5)-(%i*(I-I2))/(o*C4)-(i%*I1)/(o*C1)=E
(%i39) e3:-%i*I1/(o*C1)-%i*(I1-I2)/(o*C5)-%i*(I-I2)/(o*C4)=E;
(%o39) -(%i*(I1-I2))/(o*C5)-(%i*(I-I2))/(o*C4)-(%i*I1)/(o*C1)=E
(%i40) e4:-%i*I/(o*C)=E;
(%o40) -(%i*I)/(o*C)=E
(%i41) solve([e1,e2,e3,e4],[I,I1,I2,C]);
(%o41) [[I=-((C2*(o*(C3*C5+C3*C4)+o*C1*(C5+C4+C3))+o*C1*C4*(C5+C3)+o*C3*C4*C5)*E)/(%i*(C4*C5+C3*C5)+%i*C2*(C5+C4+C3)+%i*C1*(C5+C4+C3)),I1=-
((o*C1*C2*(C5+C4+C3)+o*C1*C4*C5)*E)/(%i*(C4*C5+C3*C5)+%i*C2*(C5+C4+C3)+%i*C1*(C5+C4+C3)),I2=-(C2*(o*C1*(C5+C4+C3)+o*C3*C5)*E)/(%i*(C4*C5+C3*C5)+%i*C2*(C5+C4+C3)+%i*C1*(C5+C4+C3))
,C=(C2*(C1*(C5+C4+C3)+C3*C5+C3*C4)+C1*C4*(C5+C3)+C3*C4*C5)/(C2*(C5+C4+C3)+C1*(C5+C4+C3)+C4*C5+C3*C5)]]

従って

C=(C2*(C1*(C5+C4+C3)+C3*C5+C3*C4)+C1*C4*(C5+C3)+C3*C4*C5)/(C2*(C5+C4+C3)+C1*(C5+C4+C3)+C4*C5+C3*C5)

これに

C1=2uF,C2=6uF,C3=4uF,C4=12uF,C5=6uFを代入すると

(%i42)
subst(2, C1, (C2*(C1*(C5+C4+C3)+C3*C5+C3*C4)+C1*C4*(C5+C3)+C3*C4*C5)/(C2*(C5+C4+C3)
+C1*(C5+C4+C3)+C4*C5+C3*C5));
(%o42) (C2*(2*(C5+C4+C3)+C3*C5+C3*C4)+2*C4*(C5+C3)+C3*C4*C5)/(C2*(C5+C4+C3)+2*(C5+C4+C3)+C4*C5+C3*C5)
(%i43) subst(6, C2, (C2*(2*(C5+C4+C3)+C3*C5+C3*C4)+2*C4*(C5+C3)+C3*C4*C5)/(C2*(C5+C4+C3)
+2*(C5+C4+C3)+C4*C5+C3*C5));
(%o43) (6*(2*(C5+C4+C3)+C3*C5+C3*C4)+2*C4*(C5+C3)+C3*C4*C5)/(8*(C5+C4+C3)+C4*C5+C3*C5)
(%i44)
subst(4, C3, (6*(2*(C5+C4+C3)+C3*C5+C3*C4)+2*C4*(C5+C3)+C3*C4*C5)/(8*(C5+C4+C3)+C4*C5
+C3*C5));
(%o44) (6*(2*(C5+C4+4)+4*C5+4*C4)+2*C4*(C5+4)+4*C4*C5)/(8*(C5+C4+4)+C4*C5+4*C5)
(%i45)
subst(12, C4, (6*(2*(C5+C4+4)+4*C5+4*C4)+2*C4*(C5+4)+4*C4*C5)/(8*(C5+C4+4)+C4*C5+4*C5));
(%o45) (6*(2*(C5+16)+4*C5+48)+24*(C5+4)+48*C5)/(8*(C5+16)+16*C5)
(%i46) subst(6, C5, (6*(2*(C5+16)+4*C5+48)+24*(C5+4)+48*C5)/(8*(C5+16)+16*C5));
(%o46) 9/2
(%i47) float(%), numer;
(%o47) 4.5

C=4.5 [uF]

ということになる。

ちなみにY-Δ変換を使って解く場合には、

・C1,C3,C5のΔ接続をY接続に変換する方法
・C2,C4,C5のΔ接続をY接続に変換する方法
・C1,C2,C5のY接続をΔ接続に変換する方法
・C3,C4,C5のY接続をΔ接続に変換する方法

の４つがある。著者は最初の方法で解いている。

別の方法で解いた場合にどうなるかやってみよう。



C1,C2,C5のY接続をΔ接続に変換して解いてみよう。

C1,C2,C5のY接続→C12,C15,C25のΔ接続に変換

その場合の合成キャパシタは

C=C12+1/(1/(C15+C3)+1/(C25+C4))

と単純な直列と並列接続で表すことができる。

ここで

1/jωC12=((1/jωC1)*(1/jωC5)+(1/jωC2)*(1/jωC5)+(1/jωC1)*(1/jωC2))/(1/jωC5)

(%i91)
1/(%i*o*C12)=((1/(%i*o*C1))*(1/(%i*o*C5))+(1/(%i*o*C2))*(1/(%i*o*C5))+(1/(%i*o*C1))*(1/(%i*o*C2)))/(1/(%i*o*C5));
(%o91) -%i/(o*C12)=%i*o*(-1/(o^2*C2*C5)-1/(o^2*C1*C5)-1/(o^2*C1*C2))*C5
(%i92) solve([-%i/(o*C12)=%i*o*(-1/(o^2*C2*C5)-1/(o^2*C1*C5)-1/(o^2*C1*C2))*C5], [C12]);
(%o92) [C12=(C1*C2)/(C5+C2+C1)]

∴C12=(C1*C2)/(C5+C2+C1)

同様にC15,C25について解くと

C15=(C1*C5)/(C1+C2+C5)
C25=(C2*C5)/(C1+C2+C5)

なのでこれらをCの式に代入すると

(%i99) C=C12+1/(1/(C15+C3)+1/(C25+C4));
(%o99) C=1/(1/(C4+C25)+1/(C3+C15))+C12
(%i100) subst((C1*C2)/(C1+C2+C5), C12, C=1/(1/(C4+C25)+1/(C3+C15))+C12);
(%o100) C=(C1*C2)/(C5+C2+C1)+1/(1/(C4+C25)+1/(C3+C15))
(%i101) subst((C1*C5)/(C1+C2+C5), C15, C=(C1*C2)/(C5+C2+C1)+1/(1/(C4+C25)+1/(C3+C15)));
(%o101) C=1/(1/((C1*C5)/(C5+C2+C1)+C3)+1/(C4+C25))+(C1*C2)/(C5+C2+C1)
(%i102) subst((C2*C5)/(C1+C2+C5), C25, C=1/(1/((C1*C5)/(C5+C2+C1)+C3)+1/(C4+C25))+(C1*C2)/(C5
+C2+C1));
(%o102) C=1/(1/((C2*C5)/(C5+C2+C1)+C4)+1/((C1*C5)/(C5+C2+C1)+C3))+(C1*C2)/(C5+C2+C1)
(%i103) factor(%);
(%o103) C=(C3*C4*C5+C1*C4*C5+C2*C3*C5+C1*C2*C5+C2*C3*C4+C1*C3*C4+C1*C2*C4+C1*C2*C3)/(C4*C5+C3*C5+C2*C5+C1*C5+C2*C4+C1*C4+C2*C3+C1*C3)
(%i104) radcan(%);
(%o104) C=(((C3+C1)*C4+C2*C3+C1*C2)*C5+((C2+C1)*C3+C1*C2)*C4+C1*C2*C3)/((C4+C3+C2+C1)*C5+(C2+C1)*C4+(C2+C1)*C3)

C=(((C3+C1)*C4+C2*C3+C1*C2)*C5+((C2+C1)*C3+C1*C2)*C4+C1*C2*C3)/((C4+C3+C2+C1)*C5+(C2+C1)*C4+(C2+C1)*C3)

ということになる。これにC1=2uF,C2=6uF,C3=4uF,C4=12uF,C5=6uFをそれぞれ代入すると

(%i107) subst(2, C1, C=(((C3+C1)*C4+C2*C3+C1*C2)*C5+((C2+C1)*C3+C1*C2)*C4+C1*C2*C3)/((C4+C3
+C2+C1)*C5+(C2+C1)*C4+(C2+C1)*C3));
(%o107) C=(((C3+2)*C4+C2*C3+2*C2)*C5+((C2+2)*C3+2*C2)*C4+2*C2*C3)/((C4+C3+C2+2)*C5+(C2+2)*C4+(C2+2)*C3)
(%i108) subst(6, C2, C=(((C3+2)*C4+C2*C3+2*C2)*C5+((C2+2)*C3+2*C2)*C4+2*C2*C3)/((C4+C3+C2
+2)*C5+(C2+2)*C4+(C2+2)*C3));
(%o108) C=(((C3+2)*C4+6*C3+12)*C5+(8*C3+12)*C4+12*C3)/((C4+C3+8)*C5+8*C4+8*C3)
(%i109) subst(4, C3, C=(((C3+2)*C4+6*C3+12)*C5+(8*C3+12)*C4+12*C3)/((C4+C3+8)*C5+8*C4+8*C3));
(%o109) C=((6*C4+36)*C5+44*C4+48)/((C4+12)*C5+8*C4+32)
(%i110) subst(12, C4, C=((6*C4+36)*C5+44*C4+48)/((C4+12)*C5+8*C4+32));
(%o110) C=(108*C5+576)/(24*C5+128)
(%i111) subst(6, C5, C=(108*C5+576)/(24*C5+128));
(%o111) C=9/2
(%i112) float(%), numer;
(%o112) C=4.5

C=4.5 [uF]

と同じ結果が得られることが確かめられた。

ちなみに連立方程式を解いて得られたCの式を因数分解するとY-Δ変換して導いたCの式と同じであることが確認できる。

(%i115) C=(C2*(C1*(C5+C4+C3)+C3*C5+C3*C4)+C1*C4*(C5+C3)+C3*C4*C5)/(C2*(C5+C4+C3)+C1*(C5+C4
+C3)+C4*C5+C3*C5);
(%o115) C=(C2*(C1*(C5+C4+C3)+C3*C5+C3*C4)+C1*C4*(C5+C3)+C3*C4*C5)/(C2*(C5+C4+C3)+C1*(C5+C4+C3)+C4*C5+C3*C5)
(%i116) radcan(%);
(%o116) C=(((C3+C1)*C4+C2*C3+C1*C2)*C5+((C2+C1)*C3+C1*C2)*C4+C1*C2*C3)/((C4+C3+C2+C1)*C5+(C2+C1)*C4+(C2+C1)*C3)

この問題の落とし穴はY-Δ変換の公式がインピーダンスで表されている点である。最初間違えてインピーダンスではなくキャパシタで表したらトンデモない高次の式が出てきて我が目を疑った。思いこみが激しいとそういうミスにまったく気づかないのが怖い。

Y-Δ変換を使ってもインピーダンスに変換して最後にキャパシタの式を導き出さないといけないので結構面倒で計算ミスを誘いやすい。予めキャパシタ回路の場合のY-Δ変換、Δ-Y変換の公式を用意しておけば計算は簡単になる。それはインピーダンスで表すよりも簡単で憶えやすいのは上の結果でも明らか。

次ぎはうってかわって抵抗だけの回路。格子状もしくはΔ,Y接続抵抗回路網へのY-Δ変換の応用問題。



この回路でE2/E1を求めよというもの。著者の図だと電源が記載されていないのでそのままでは電圧が発生しないためE1=0,E2=0であるためE2/E1は不定となってしまう。そこでE1を電源側と仮定する必要がある。これだけで数日要した、簡便してよ...orz

これも簡単に著者と同じ方法で解いても面白くないので苦手だった網目電流法を使って回路方程式をたてて解いてみよう。

図のような網目電流を想定すると以下の回路方程式が成立する。

(I0-I1)*R=E1

(I0-I1)*R=(I1-I5)*R+(I1-I2)*R

(I1-I2)*R=(I2-I5)*R+(I2-I3)*R

(I2-I3)*R=(I3-I6)*R+(I3-I4)*R

(I3-I4)*R=(I4-I6)*R+I4*R

(I7-I5)*R=(I5-I2)*R+(I5-I1)*R

(I7-I6)*R=(I6-I4)*R+(I6-I3)*R

-I7*R=(I7-I6)*R+(I7-I5)*R

I4*R-E2=0

これらの９つの式をI0,I1,I2,I3,I4,I5,I6,I7,E2に関する９元連立方程式として解くと

(%i94) solve([e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,e8,e9],[I0,I1,I2,I3,I4,I5,I6,I7,E2]);(%o94) [[I0=(336*E1)/(127*R),I1=(209*E1)/(127*R),I2=(148*E1)/(127*R),I3=(92*E1)/(127*R),I4=(55*E1)/(127*R),I5=(143*E1)/(127*R),I6=(73*E1)/(127*R),I7=(72*E1)/(127*R),E2=(55*E1)/127]]

E2=55*E1/127

の解より

E2/E1=55/127
=0.433

という結果が得られる。

ひとつの問題に対して３つぐらい違う方法で解いてみるのが良いらしい。

ということで今度は得意な枝電流法で解いてみる。



回路には枝電流を考慮すべき８つの節があり、電流の識別子のつけかたにはいろいろバリエーションがある。ここでは電源から回路全体に流れる電流をIとして、最初の節から３分岐する２つの枝電流をI0,I1として残りはIからそれらを引いた残りという具合に抵抗に流れる枝電流を定義していく。

それらの電流に関して以下の８つの回路方程式が成り立つ

I0*R=E1

I0*R=I1*R+I2*R

I2*R=(I1-I2)*R+I3*R

I3*R=(I1-I2+I5-I3)*R+I6*R

I6*R=(I1-I2+I5-I3-I6)*R+(I-I0-I2-I3-I6)*R

I4*R=I1*R+(I1-I2)*R

(I-I0-I1-I4)*R=I4*R+(I4-I5)*R

(I-I0-I1-I4)*R=I1*R+(I1-I2)*R+(I1-I2+I5-I3)*R+(I1-I2+I5-I3-I6)*R

更にE2に関して

(I-I0-I2-I3-I6)*R=E2

が成り立つ。

これらをI,I0,I1,I2,I3,I4,I5,I6,E2に関する９元連立方程式として解くと

(%i1) e1:I0*R=E1;
(%o1) I0*R=E1
(%i2) e2:I0*R=I1*R+I2*R;
(%o2) I0*R=I2*R+I1*R
(%i3) e3:I2*R=(I1-I2)*R+I3*R;
(%o3) I2*R=I3*R+(I1-I2)*R
(%i4) e4:I3*R=(I1-I2+I5-I3)*R+I6*R;
(%o4) I3*R=I6*R+(I5-I3-I2+I1)*R
(%i5) e5:I6*R=(I1-I2+I5-I3-I6)*R+(I-I0-I2-I3-I6)*R;
(%o5) I6*R=(-I6+I5-I3-I2+I1)*R+(-I6-I3-I2-I0+I)*R
(%i6) e6:I4*R=I1*R+(I1-I2)*R;
(%o6) I4*R=(I1-I2)*R+I1*R
(%i7) e7:(I-I0-I1-I4)*R=I4*R+(I4-I5)*R;
(%o7) (-I4-I1-I0+I)*R=(I4-I5)*R+I4*R
(%i8) e8:(I-I0-I1-I4)*R=I1*R+(I1-I2)*R+(I1-I2+I5-I3)*R+(I1-I2+I5-I3-I6)*R;
(%o8) (-I4-I1-I0+I)*R=(-I6+I5-I3-I2+I1)*R+(I5-I3-I2+I1)*R+(I1-I2)*R+I1*R
(%i9) e9:(I-I0-I2-I3-I6)*R=E2;
(%o9) (-I6-I3-I2-I0+I)*R=E2
(%i10) solve([e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,e8,e9],[I,I0,I1,I2,I3,I4,I5,I6,E2]);
(%o10) [[I=(336*E1)/(127*R),I0=E1/R,I1=(66*E1)/(127*R),I2=(61*E1)/(127*R),I3=(56*E1)/(127*R),I4=(71*E1)/(127*R),I5=(70*E1)/(127*R),I6=(37*E1)/(127*R),E2=(55*E1)/127
]]

従って

E2=(55*E1)/127

より

E2/E1=55/127
=0.433

と同じ結果が得られた。

今度はY-Δ変換を使って解いてみよう。

回路にはいくつものY接続、Δ接続が存在するので、どれから変換しても結果は同じであるが、あまり周囲からはじめると面倒なので中心から変換していったほうが易しそうである。



波線で描かれたY接続を赤線で描いたΔ接続に変換する。ここで

R1=(R*R+R*R+R*R)/R
=3*R

そうするとその回りのRとR1が並列接続になるためこれも一つの抵抗に合成できる。



ここで

R2=1/(1/R+1/R1)=R1*R/(R+R1)

R3=1/(1/R1+1/R+1/R1)=R*R1/(2*R+R1)

すると再び中央に新しくY接続が出現するのでそれをΔ接続に変換する。



ここで

R4=(R2*R2+R3*R2+R3*R2)/R3
=R2*R2/R3+2*R2

R5=(R2*R3+R2*R3+R2*R2)/R2
=(R3+R3+R2)
=2*R3+R2

すると再び周辺の抵抗と並列接続が出来るのでそれを合成すると



ここで

R6=1/(1/R+1/R4)=R*R4/(R+R4)

R7=1/(1/R2+1/R5)=R2*R5/(R2+R5)

最後にΔ接続ひとつになる。これを更にY接続にすると



ここで

R8=R6*R7/(R6+R7+R7)
=R6*R7/(R6+2*R7)

R9=R7*R7/(R6+R7+R7)
=R7*R7/(R6+2*R7)

従ってE2はR8とR9でE1を分圧したものとなり

E2=E1*R9/(R8+R9)

従って

E2/E1=R9/(R8+R9)

この式にR8,R9を代入すると

(%i1) R9/(R8+R9);
(%o1) R9/(R9+R8)
(%i2) subst(R6*R7/(R6+2*R7), R8, R9/(R9+R8));
(%o2) R9/(R9+(R6*R7)/(2*R7+R6))
(%i3) subst(R7*R7/(R6+2*R7), R9, R9/(R9+(R6*R7)/(2*R7+R6)));
(%o3) R7^2/((2*R7+R6)*(R7^2/(2*R7+R6)+(R6*R7)/(2*R7+R6)))

更にこれにR6,R7の式を代入すると

(%i3) subst(R7*R7/(R6+2*R7), R9, R9/(R9+(R6*R7)/(2*R7+R6)));
(%o3) R7^2/((2*R7+R6)*(R7^2/(2*R7+R6)+(R6*R7)/(2*R7+R6)))
(%i4) subst(R*R4/(R+R4), R6, R7^2/((2*R7+R6)*(R7^2/(2*R7+R6)+(R6*R7)/(2*R7+R6))));
(%o4) R7^2/((2*R7+(R*R4)/(R4+R))*(R7^2/(2*R7+(R*R4)/(R4+R))+(R*R4*R7)/((R4+R)*(2*R7+(R*R4)/(R4+R)))))
(%i5)
subst(R2*R5/(R2+R5), R7, R7^2/((2*R7+(R*R4)/(R4+R))*(R7^2/(2*R7+(R*R4)/(R4+R))+(R*R4*R7)/((R4
+R)*(2*R7+(R*R4)/(R4+R))))));
(%o5) (R2^2*R5^2)/((R5+R2)^2*((2*R2*R5)/(R5+R2)+(R*R4)/(R4+R))*((R*R2*R4*R5)/((R4+R)*(R5+R2)*((2*R2*R5)/(R5+R2)+(R*R4)/(R4+R)))+(R2^2*R5^2)/((R5+R2)^2*((2*R2*R5)/(R5+R2)+(R*R4)/(R4+R)))))

更にR4,R5を代入すると

(%i9)
subst(R2*R2/R3+2*R2, R4, (R2^2*R5^2)/((R5+R2)^2*((2*R2*R5)/(R5+R2)+(R*R4)/(R4+R))*((R*R2*R4*R5)/((R4
+R)*(R5+R2)*((2*R2*R5)/(R5+R2)+(R*R4)/(R4+R)))+(R2^2*R5^2)/((R5+R2)^2*((2*R2*R5)/(R5
+R2)+(R*R4)/(R4+R))))));
(%o9) (R2^2*R5^2)/((R5+R2)^2*((2*R2*R5)/(R5+R2)+(R*(R2^2/R3+2*R2))/(R2^2/R3+2*R2+R))*((R*R2*(R2^2/R3+2*R2)*R5)/((R2^2/R3+2*R2+R)*(R5+R2)*((2*R2*R5)/(R5+R2)+(R*(R2^2/R3+2*R2))/(R2^2/R3+2*R2+R)))+(R2^2*R5^2)/((R5+R2)^2*((2*R2*R5)/(R5+R2)+(R*(R2^2/R3+2*R2))/(R2^2/R3+2*R2+R)))))
(%i10)
subst(2*R3+R2, R5, (R2^2*R5^2)/((R5+R2)^2*((2*R2*R5)/(R5+R2)+(R*(R2^2/R3+2*R2))/(R2^2/R3
+2*R2+R))*((R*R2*(R2^2/R3+2*R2)*R5)/((R2^2/R3+2*R2+R)*(R5+R2)*((2*R2*R5)/(R5+R2)+(R*(R2^2/R3
+2*R2))/(R2^2/R3+2*R2+R)))+(R2^2*R5^2)/((R5+R2)^2*((2*R2*R5)/(R5+R2)+(R*(R2^2/R3+2*R2))/(R2^2/R3
+2*R2+R))))));
(%o10) (R2^2*(2*R3+R2)^2)/((2*R3+2*R2)^2*((2*R2*(2*R3+R2))/(2*R3+2*R2)+(R*(R2^2/R3+2*R2))/(R2^2/R3+2*R2+R))*
((R*R2*(R2^2/R3+2*R2)*(2*R3+R2))/((R2^2/R3+2*R2+R)*(2*R3+2*R2)*((2*R2*(2*R3+R2))/(2*R3+2*R2)+(R*(R2^2/R3+2*R2))/(R2^2/R3+2*R2+R)))+(R2^2*(2*R3+R2)^2)/((2*R3+2*R2)^2*((2*R2*(2*R3+R2))/(2*R3+2*R2)+(R*(R2^2/R3+2*R2))/(R2^2/R3+2*R2+R))))

R2,R3を代入すると

(%i11)
subst(R1*R/(R+R1), R2, (R2^2*(2*R3+R2)^2)/((2*R3+2*R2)^2*((2*R2*(2*R3+R2))/(2*R3+2*R2)
+(R*(R2^2/R3+2*R2))/(R2^2/R3+2*R2+R))*((R*R2*(R2^2/R3+2*R2)*(2*R3+R2))/((R2^2/R3+2*R2
+R)*(2*R3+2*R2)*((2*R2*(2*R3+R2))/(2*R3+2*R2)+(R*(R2^2/R3+2*R2))/(R2^2/R3+2*R2+R)))
+(R2^2*(2*R3+R2)^2)/((2*R3+2*R2)^2*((2*R2*(2*R3+R2))/(2*R3+2*R2)+(R*(R2^2/R3+2*R2))/(R2^2/R3
+2*R2+R))))));
(%o11) (R^2*R1^2*(2*R3+(R*R1)/(R1+R))^2)/((R1+R)^2*(2*R3+(2*R*R1)/(R1+R))^2*((2*R*R1*(2*R3+(R*R1)/(R1+R)))/((R1+R)*(2*R3+(2*R*R1)/(R1+R)))+(R*((R^2*R1^2)/((R1+R)^2*R3)+(2*R*R1)/(R1+R)))/((R^2*R1^2)/((R1+R)^2*R3)+(2*R*R1)/(R1+R)+R))*(
(R^2*R1*((R^2*R1^2)/((R1+R)^2*R3)+(2*R*R1)/(R1+R))*(2*R3+(R*R1)/(R1+R)))/((R1+R)*((R^2*R1^2)/((R1+R)^2*R3)+(2*R*R1)/(R1+R)+R)*(2*R3+(2*R*R1)/(R1+R))*((2*R*R1*(2*R3+(R*R1)/(R1+R)))/((R1+R)*(2*R3+(2*R*R1)/(R1+R)))+(R*((R^2*R1^2)/((R1+R)^2*R3)+(2*R*R1)/(R1+R)))/((R^2*R1^2)/((R1+R)^2*R3)+(2*R*R1)/(R1+R)+R)))+
(R^2*R1^2*(2*R3+(R*R1)/(R1+R))^2)/((R1+R)^2*(2*R3+(2*R*R1)/(R1+R))^2*((2*R*R1*(2*R3+(R*R1)/(R1+R)))/((R1+R)*(2*R3+(2*R*R1)/(R1+R)))+(R*((R^2*R1^2)/((R1+R)^2*R3)+(2*R*R1)/(R1+R)))/((R^2*R1^2)/((R1+R)^2*R3)+(2*R*R1)/(R1+R)+R)))))
(%i12)
subst(R*R1/(2*R+R1), R3, (R^2*R1^2*(2*R3+(R*R1)/(R1+R))^2)/((R1+R)^2*(2*R3+(2*R*R1)/(R1
+R))^2*((2*R*R1*(2*R3+(R*R1)/(R1+R)))/((R1+R)*(2*R3+(2*R*R1)/(R1+R)))+(R*((R^2*R1^2)/((R1
+R)^2*R3)+(2*R*R1)/(R1+R)))/((R^2*R1^2)/((R1+R)^2*R3)+(2*R*R1)/(R1+R)+R))*((R^2*R1*((R^2*R1^2)/((R1
+R)^2*R3)+(2*R*R1)/(R1+R))*(2*R3+(R*R1)/(R1+R)))/((R1+R)*((R^2*R1^2)/((R1+R)^2*R3)
+(2*R*R1)/(R1+R)+R)*(2*R3+(2*R*R1)/(R1+R))*((2*R*R1*(2*R3+(R*R1)/(R1+R)))/((R1+R)*(2*R3
+(2*R*R1)/(R1+R)))+(R*((R^2*R1^2)/((R1+R)^2*R3)+(2*R*R1)/(R1+R)))/((R^2*R1^2)/((R1
+R)^2*R3)+(2*R*R1)/(R1+R)+R)))+(R^2*R1^2*(2*R3+(R*R1)/(R1+R))^2)/((R1+R)^2*(2*R3+(2*R*R1)/(R1
+R))^2*((2*R*R1*(2*R3+(R*R1)/(R1+R)))/((R1+R)*(2*R3+(2*R*R1)/(R1+R)))+(R*((R^2*R1^2)/((R1
+R)^2*R3)+(2*R*R1)/(R1+R)))/((R^2*R1^2)/((R1+R)^2*R3)+(2*R*R1)/(R1+R)+R))))));
(%o12) (R^2*R1^2*((2*R*R1)/(R1+2*R)+(R*R1)/(R1+R))^2)/((R1+R)^2*((2*R*R1)/(R1+2*R)+(2*R*R1)/(R1+R))^2*((R*((R*R1*(R1+2*R))/(R1+R)^2+(2*R*R1)/(R1+R)))/((R*R1*(R1+2*R))/(R1+R)^2+(2*R*R1)/(R1+R)+R)+(2*R*R1*((2*R*R1)/(R1+2*R)+(R*R1)/(R1+R)))/((R1+R)*((2*R*R1)/(R1+2*R)+(2*R*R1)/(R1+R))))*
((R^2*R1*((2*R*R1)/(R1+2*R)+(R*R1)/(R1+R))*((R*R1*(R1+2*R))/(R1+R)^2+(2*R*R1)/(R1+R)))/((R1+R)*((2*R*R1)/(R1+2*R)+(2*R*R1)/(R1+R))*((R*R1*(R1+2*R))/(R1+R)^2+(2*R*R1)/(R1+R)+R)*((R*((R*R1*(R1+2*R))/(R1+R)^2+(2*R*R1)/(R1+R)))/((R*R1*(R1+2*R))/(R1+R)^2+(2*R*R1)/(R1+R)+R)+(2*R*R1*((2*R*R1)/(R1+2*R)+(R*R1)/(R1+R)))/((R1+R)*((2*R*R1)/(R1+2*R)+(2*R*R1)/(R1+R)))))+
(R^2*R1^2*((2*R*R1)/(R1+2*R)+(R*R1)/(R1+R))^2)/((R1+R)^2*((2*R*R1)/(R1+2*R)+(2*R*R1)/(R1+R))^2*((R*((R*R1*(R1+2*R))/(R1+R)^2+(2*R*R1)/(R1+R)))/((R*R1*(R1+2*R))/(R1+R)^2+(2*R*R1)/(R1+R)+R)+(2*R*R1*((2*R*R1)/(R1+2*R)+(R*R1)/(R1+R)))/((R1+R)*((2*R*R1)/(R1+2*R)+(2*R*R1)/(R1+R)))))

最後にR1を代入すると

(%i13)
subst(3*R, R1, (R^2*R1^2*((2*R*R1)/(R1+2*R)+(R*R1)/(R1+R))^2)/((R1+R)^2*((2*R*R1)/(R1
+2*R)+(2*R*R1)/(R1+R))^2*((R*((R*R1*(R1+2*R))/(R1+R)^2+(2*R*R1)/(R1+R)))/((R*R1*(R1
+2*R))/(R1+R)^2+(2*R*R1)/(R1+R)+R)+(2*R*R1*((2*R*R1)/(R1+2*R)+(R*R1)/(R1+R)))/((R1
+R)*((2*R*R1)/(R1+2*R)+(2*R*R1)/(R1+R))))*((R^2*R1*((2*R*R1)/(R1+2*R)+(R*R1)/(R1+R))*((R*R1*(R1
+2*R))/(R1+R)^2+(2*R*R1)/(R1+R)))/((R1+R)*((2*R*R1)/(R1+2*R)+(2*R*R1)/(R1+R))*((R*R1*(R1
+2*R))/(R1+R)^2+(2*R*R1)/(R1+R)+R)*((R*((R*R1*(R1+2*R))/(R1+R)^2+(2*R*R1)/(R1+R)))/((R*R1*(R1
+2*R))/(R1+R)^2+(2*R*R1)/(R1+R)+R)+(2*R*R1*((2*R*R1)/(R1+2*R)+(R*R1)/(R1+R)))/((R1
+R)*((2*R*R1)/(R1+2*R)+(2*R*R1)/(R1+R)))))+(R^2*R1^2*((2*R*R1)/(R1+2*R)+(R*R1)/(R1
+R))^2)/((R1+R)^2*((2*R*R1)/(R1+2*R)+(2*R*R1)/(R1+R))^2*((R*((R*R1*(R1+2*R))/(R1+R)^2
+(2*R*R1)/(R1+R)))/((R*R1*(R1+2*R))/(R1+R)^2+(2*R*R1)/(R1+R)+R)+(2*R*R1*((2*R*R1)/(R1
+2*R)+(R*R1)/(R1+R)))/((R1+R)*((2*R*R1)/(R1+2*R)+(2*R*R1)/(R1+R))))))));
(%o13) 55/127

従って

E2/E1=55/127
=0.433

と他の解法による解と一致する。

いずれの解法でもE2/E1はRの値に依存しないという事実がわかる。

著者の解法のように最初から数値で求めてしまうとその事に気づくこともなく終わってしまうだろう。

回路解析での数値計算は最終的な式を得てから行うのが肝心である。そうしないと回路に潜む重要な事実を見逃し、木を見て森を見ずということになってしまう。

次ぎもΔ-Y変換の応用。



図の上部の回路網が下部の回路網と等価となるRa,Rb,Rcを求めよというもの。また端子2-2'間を開放した場合と短絡した場合のそれぞれの端子1-1'間のインピーダンスを求めよというもの。

著者の図では抵抗値のみ記載されていて、下部の回路の抵抗名もR1,R2,R3としているが、回路方程式を立てて解けるように同一の抵抗値を持つものには同一の抵抗名を割り当てた。それによって下部の回路図の抵抗名を便宜上区別するためにRa,Rb,Rcとした。

ストラテジーとしては上部の回路と下部の回路からRa,Rb,Rcに関する連立方程式を立ててそれを解く方法をとってみることにする。

著者のようにΔ-Y変換を利用して最終的にπ型ネットワーク回路にして数値を求めるのではなく、数式を導出して最後に抵抗値を代入して同じ結果を得る方法ととってみようと思う。

これには端子1-1'間に流れる電流が上部と下部の回路で等しいことを利用する。また端子2-2'が開放された回路と閉じられた回路についてもそれぞれ方程式をたてることによってRa,Rb,Rcとそれぞれのケースにおける端子1-1'間に流れる電流を同時に解いてしまおうという大胆な試み。端子1-1'間に流れる電流がわかれば端子1-1'にくわえられる電圧とからインピーダンスが決まるのでそれも同時に解くことが出来る。一石二鳥、いや一石三鳥である。

そんなうまいこといくのだろうか？



著者の図を書き直して二次元のネットリストとして書き直すと上のようになる。左が2-2'端子が開放、右が2-2'端子が短絡したもの。

それぞれ網目電流法で回路方程式をたてれば回路全体に流れる電流が求まりそこからインピーダンスも求めることができる。

(%i53) e1;
(%o53) Io=Io2+Io1
(%i54) e2;
(%o54) (Io1-Io3)*R1=E
(%i55) e3;
(%o55) (Io3-Io5)*R1+(Io3-Io1)*R1+Io3*R1=0
(%i56) e4;
(%o56) (Io5-Io7)*R2+Io5*R2+(Io5-Io3)*R1=0
(%i57) e5;
(%o57) (Io7+Io6)*R4+Io7*R3+(Io7-Io5)*R2+Io7*R2=0
(%i58) e6;
(%o58) (Io7+Io6)*R4+(Io6-Io4)*R4+Io6*R3=0
(%i59) e7;
(%o59) (Io4-Io6)*R4+(Io4-Io2)*R4+Io4*R3=0
(%i60) e8;
(%o60) (Io2-Io4)*R4+Io2*R3=E
(%i61) e9;
(%o61) Zo=E/Io

という回路方程式が左上の回路で成り立つので、これをIo,Io1,Io2,Io3,Io4,Io5,Io6,Io7,Zoに関する９元連立方程式として解くと

(%i62) solve([e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,e8,e9],[Io,Io1,Io2,Io3,Io4,Io5,Io6,Io7,Zo]);
(%o62) [[Io=(((24*E*R2+8*E*R1)*R3+9*E*R2^2+6*E*R1*R2+E*R1^2)*R4^3+
((60*E*R2+20*E*R1)*R3^2+(54*E*R2^2+48*E*R1*R2+6*E*R1^2)*R3+18*E*R1*R2^2+6*E*R1^2*R2)*R4^2+
((36*E*R2+12*E*R1)*R3^3+(45*E*R2^2+40*E*R1*R2+5*E*R1^2)*R3^2+(24*E*R1*R2^2+8*E*R1^2*R2)*R3)*R4+
(6*E*R2+2*E*R1)*R3^4+(9*E*R2^2+8*E*R1*R2+E*R1^2)*R3^3+(6*E*R1*R2^2+2*E*R1^2*R2)*R3^2)/(
((16*R1*R2+4*R1^2)*R3+6*R1*R2^2+2*R1^2*R2)*R4^3+((40*R1*R2+10*R1^2)*R3^2+(36*R1*R2^2+12*R1^2*R2)*R3)*R4^2+
((24*R1*R2+6*R1^2)*R3^3+(30*R1*R2^2+10*R1^2*R2)*R3^2)*R4+(4*R1*R2+R1^2)*R3^4+(6*R1*R2^2+2*R1^2*R2)*R3^3),Io1
=(((24*E*R2+8*E*R1)*R3+9*E*R2^2+3*E*R1*R2)*R4^3+((60*E*R2+20*E*R1)*R3^2+(54*E*R2^2+24*E*R1*R2)*R3)*R4^2+
((36*E*R2+12*E*R1)*R3^3+(45*E*R2^2+20*E*R1*R2)*R3^2)*R4+(6*E*R2+2*E*R1)*R3^4+(9*E*R2^2+4*E*R1*R2)*R3^3)/(
((16*R1*R2+4*R1^2)*R3+6*R1*R2^2+2*R1^2*R2)*R4^3+((40*R1*R2+10*R1^2)*R3^2+(36*R1*R2^2+12*R1^2*R2)*R3)*R4^2+
((24*R1*R2+6*R1^2)*R3^3+(30*R1*R2^2+10*R1^2*R2)*R3^2)*R4+(4*R1*R2+R1^2)*R3^4+(6*R1*R2^2+2*R1^2*R2)*R3^3),Io2
=((3*E*R2+E*R1)*R4^3+((24*E*R2+6*E*R1)*R3+18*E*R2^2+6*E*R1*R2)*R4^2+
((20*E*R2+5*E*R1)*R3^2+(24*E*R2^2+8*E*R1*R2)*R3)*R4+(4*E*R2+E*R1)*R3^3+(6*E*R2^2+2*E*R1*R2)*R3^2)/(
((16*R2+4*R1)*R3+6*R2^2+2*R1*R2)*R4^3+((40*R2+10*R1)*R3^2+(36*R2^2+12*R1*R2)*R3)*R4^2+
((24*R2+6*R1)*R3^3+(30*R2^2+10*R1*R2)*R3^2)*R4+(4*R2+R1)*R3^4+(6*R2^2+2*R1*R2)*R3^3),Io3=(
((8*E*R2+4*E*R1)*R3+3*E*R2^2+E*R1*R2)*R4^3+((20*E*R2+10*E*R1)*R3^2+(18*E*R2^2+12*E*R1*R2)*R3)*R4^2+
((12*E*R2+6*E*R1)*R3^3+(15*E*R2^2+10*E*R1*R2)*R3^2)*R4+(2*E*R2+E*R1)*R3^4+(3*E*R2^2+2*E*R1*R2)*R3^3)/(
((16*R1*R2+4*R1^2)*R3+6*R1*R2^2+2*R1^2*R2)*R4^3+((40*R1*R2+10*R1^2)*R3^2+(36*R1*R2^2+12*R1^2*R2)*R3)*R4^2+
((24*R1*R2+6*R1^2)*R3^3+(30*R1*R2^2+10*R1^2*R2)*R3^2)*R4+(4*R1*R2+R1^2)*R3^4+(6*R1*R2^2+2*R1^2*R2)*R3^3),Io4
=((3*E*R2+E*R1)*R4^3+((11*E*R2+3*E*R1)*R3+12*E*R2^2+4*E*R1*R2)*R4^2+
((4*E*R2+E*R1)*R3^2+(6*E*R2^2+2*E*R1*R2)*R3)*R4)/(((16*R2+4*R1)*R3+6*R2^2+2*R1*R2)*R4^3+
((40*R2+10*R1)*R3^2+(36*R2^2+12*R1*R2)*R3)*R4^2+((24*R2+6*R1)*R3^3+(30*R2^2+10*R1*R2)*R3^2)*R4+(4*R2+R1)*
R3^4+(6*R2^2+2*R1*R2)*R3^3),Io5=(4*E*R3*R4^3+(10*E*R3^2+12*E*R2*R3)*R4^2+(6*E*R3^3+10*E*R2*R3^2)*R4+E*
R3^4+2*E*R2*R3^3)/(((16*R2+4*R1)*R3+6*R2^2+2*R1*R2)*R4^3+((40*R2+10*R1)*R3^2+(36*R2^2+12*R1*R2)*R3)*R4^2
+((24*R2+6*R1)*R3^3+(30*R2^2+10*R1*R2)*R3^2)*R4+(4*R2+R1)*R3^4+(6*R2^2+2*R1*R2)*R3^3),Io6=(
(3*E*R2+E*R1)*R4^3+((E*R2+E*R1)*R3+6*E*R2^2+2*E*R1*R2)*R4^2-E*R2*R3^2*R4)/(
((16*R2+4*R1)*R3+6*R2^2+2*R1*R2)*R4^3+((40*R2+10*R1)*R3^2+(36*R2^2+12*R1*R2)*R3)*R4^2+
((24*R2+6*R1)*R3^3+(30*R2^2+10*R1*R2)*R3^2)*R4+(4*R2+R1)*R3^4+(6*R2^2+2*R1*R2)*R3^3),Io7=-(
(3*E*R2+E*R1)*R4^3-6*E*R2*R3*R4^2-5*E*R2*R3^2*R4-E*R2*R3^3)/(((16*R2+4*R1)*R3+6*R2^2+2*R1*R2)*R4^3+
((40*R2+10*R1)*R3^2+(36*R2^2+12*R1*R2)*R3)*R4^2+((24*R2+6*R1)*R3^3+(30*R2^2+10*R1*R2)*R3^2)*R4+(4*R2+R1)*
R3^4+(6*R2^2+2*R1*R2)*R3^3),Zo=(((16*R1*R2+4*R1^2)*R3+6*R1*R2^2+2*R1^2*R2)*R4^3+
((40*R1*R2+10*R1^2)*R3^2+(36*R1*R2^2+12*R1^2*R2)*R3)*R4^2+((24*R1*R2+6*R1^2)*R3^3+(30*R1*R2^2+10*R1^2*R2)*R3^2)*
R4+(4*R1*R2+R1^2)*R3^4+(6*R1*R2^2+2*R1^2*R2)*R3^3)/(((24*R2+8*R1)*R3+9*R2^2+6*R1*R2+R1^2)*R4^3+
((60*R2+20*R1)*R3^2+(54*R2^2+48*R1*R2+6*R1^2)*R3+18*R1*R2^2+6*R1^2*R2)*R4^2+
((36*R2+12*R1)*R3^3+(45*R2^2+40*R1*R2+5*R1^2)*R3^2+(24*R1*R2^2+8*R1^2*R2)*R3)*R4+(6*R2+2*R1)*R3^4+
(9*R2^2+8*R1*R2+R1^2)*R3^3+(6*R1*R2^2+2*R1^2*R2)*R3^2)]]
(%i63)

Zoの式にR1,R2,R3,R4の値を代入すると

subst(15, R1, Zo=(((16*R1*R2+4*R1^2)*R3+6*R1*R2^2+2*R1^2*R2)*R4^3+((40*R1*R2+10*R1^2)*R3^2
+(36*R1*R2^2+12*R1^2*R2)*R3)*R4^2+((24*R1*R2+6*R1^2)*R3^3+(30*R1*R2^2+10*R1^2*R2)*R3^2)*R4
+(4*R1*R2+R1^2)*R3^4+(6*R1*R2^2+2*R1^2*R2)*R3^3)/(((24*R2+8*R1)*R3+9*R2^2+6*R1*R2
+R1^2)*R4^3+((60*R2+20*R1)*R3^2+(54*R2^2+48*R1*R2+6*R1^2)*R3+18*R1*R2^2+6*R1^2*R2)*R4^2
+((36*R2+12*R1)*R3^3+(45*R2^2+40*R1*R2+5*R1^2)*R3^2+(24*R1*R2^2+8*R1^2*R2)*R3)*R4
+(6*R2+2*R1)*R3^4+(9*R2^2+8*R1*R2+R1^2)*R3^3+(6*R1*R2^2+2*R1^2*R2)*R3^2));
(%o63) Zo=(((240*R2+900)*R3+90*R2^2+450*R2)*R4^3+((600*R2+2250)*R3^2+(540*R2^2+2700*R2)*R3)*R4^2+
((360*R2+1350)*R3^3+(450*R2^2+2250*R2)*R3^2)*R4+(60*R2+225)*R3^4+(90*R2^2+450*R2)*R3^3)/(
((24*R2+120)*R3+9*R2^2+90*R2+225)*R4^3+
((60*R2+300)*R3^2+(54*R2^2+720*R2+1350)*R3+270*R2^2+1350*R2)*R4^2+
((36*R2+180)*R3^3+(45*R2^2+600*R2+1125)*R3^2+(360*R2^2+1800*R2)*R3)*R4+(6*R2+30)*R3^4+
(9*R2^2+120*R2+225)*R3^3+(90*R2^2+450*R2)*R3^2)
(%i64) subst(5, R2, Zo=(((240*R2+900)*R3+90*R2^2+450*R2)*R4^3+((600*R2+2250)*R3^2+(540*R2^2
+2700*R2)*R3)*R4^2+((360*R2+1350)*R3^3+(450*R2^2+2250*R2)*R3^2)*R4+(60*R2+225)*R3^4
+(90*R2^2+450*R2)*R3^3)/(((24*R2+120)*R3+9*R2^2+90*R2+225)*R4^3+((60*R2+300)*R3^2
+(54*R2^2+720*R2+1350)*R3+270*R2^2+1350*R2)*R4^2+((36*R2+180)*R3^3+(45*R2^2+600*R2
+1125)*R3^2+(360*R2^2+1800*R2)*R3)*R4+(6*R2+30)*R3^4+(9*R2^2+120*R2+225)*R3^3+(90*R2^2
+450*R2)*R3^2));
(%o64) Zo=
((2100*R3+4500)*R4^3+(5250*R3^2+27000*R3)*R4^2+(3150*R3^3+22500*R3^2)*R4+525*R3^4+4500*R3^3)/((240*R3+900)*R4^3+(600*R3^2+6300*R3+13500)*R4^2+(360*R3^3+5250*R3^2+18000*R3)*R4+60*R3^4+1050*R3^3+4500*R3^2)
(%i65)
subst(2, R3, Zo=((2100*R3+4500)*R4^3+(5250*R3^2+27000*R3)*R4^2+(3150*R3^3+22500*R3^2)*R4
+525*R3^4+4500*R3^3)/((240*R3+900)*R4^3+(600*R3^2+6300*R3+13500)*R4^2+(360*R3^3+5250*R3^2
+18000*R3)*R4+60*R3^4+1050*R3^3+4500*R3^2));
(%o65) Zo=(8700*R4^3+75000*R4^2+115200*R4+44400)/(1380*R4^3+28500*R4^2+59880*R4+27360)
(%i66) subst(4, R4, Zo=(8700*R4^3+75000*R4^2+115200*R4+44400)/(1380*R4^3+28500*R4^2+59880*R4
+27360));
(%o66) Zo=145/52
(%i67) float(%), numer;
(%o67) Zo=2.788461538461538

従って2-2'端子開放時のインピーダンスは

Zo=2.79 [Ω]

ということになる。同様に2-2'端末が短絡された回路についても解くことができる。

右上の回路に関して方程式を立てると

(%i49) e11:Ic=Ic1+Ic2;
(%o49) Ic=Ic2+Ic1
(%i50) e12:(Ic1-Ic3)*R1=E;
(%o50) (Ic1-Ic3)*R1=E
(%i51) e13:(Ic3-Ic1)*R1+Ic3*R1+(Ic3-Ic5)*R1=0;
(%o51) (Ic3-Ic5)*R1+(Ic3-Ic1)*R1+Ic3*R1=0
(%i52) e14:(Ic5-Ic3)*R1+Ic5*R2+(Ic5-Ic7)*R2=0;
(%o52) (Ic5-Ic7)*R2+Ic5*R2+(Ic5-Ic3)*R1=0
(%i53) e15:(Ic7-Ic5)*R2+Ic7*R2=0;
(%o53) (Ic7-Ic5)*R2+Ic7*R2=0
(%i54) e16:(Ic8-Ic6)*R4+Ic8*R3=0;
(%o54) (Ic8-Ic6)*R4+Ic8*R3=0
(%i55) e17:(Ic6-Ic4)*R4+Ic6*R3+(Ic6-Ic8)*R4=0;
(%o55) (Ic6-Ic8)*R4+(Ic6-Ic4)*R4+Ic6*R3=0
(%i56) e18:(Ic4-Ic2)*R4+Ic4*R3+(Ic4-Ic6)*R4=0;
(%o56) (Ic4-Ic6)*R4+(Ic4-Ic2)*R4+Ic4*R3=0
(%i57) e19:(Ic2-Ic4)*R4+Ic2*R3=E;
(%o57) (Ic2-Ic4)*R4+Ic2*R3=E
(%i58) e20:Zc=E/Ic;
(%o58) Zc=E/Ic

これらをIc,Ic1,Ic2,Ic3,Ic4,Ic5,Ic6,Ic7,Ic8,Zcに関する１０元連立方程式として解くと

(%i59) solve([e11,e12,e13,e14,e15,e16,e17,e18,e19,e20],[Ic,Ic1,Ic2,Ic3,Ic4,Ic5,Ic6,Ic7,Ic8,Zc]);
(%o59) [[Ic=(((36*E*R2+16*E*R1)*R3+6*E*R1*R2+2*E*R1^2)*R4^3+
((90*E*R2+40*E*R1)*R3^2+(36*E*R1*R2+12*E*R1^2)*R3)*R4^2+((54*E*R2+24*E*R1)*R3^3+(30*E*R1*R2+10*E*R1^2)*R3^2)*
R4+(9*E*R2+4*E*R1)*R3^4+(6*E*R1*R2+2*E*R1^2)*R3^3)/((24*R1*R2+8*R1^2)*R3*R4^3+(60*R1*R2+20*R1^2)*R3^2*R4^2
+(36*R1*R2+12*R1^2)*R3^3*R4+(6*R1*R2+2*R1^2)*R3^4),Ic1=(9*E*R2+4*E*R1)/(6*R1*R2+2*R1^2),Ic2=
(E*R4^3+6*E*R3*R4^2+5*E*R3^2*R4+E*R3^3)/(4*R3*R4^3+10*R3^2*R4^2+6*R3^3*R4+R3^4),Ic3=(3*E*R2+2*E*R1)/(6*R1*R2+2*R1^2),Ic4=(E*R4^3+3*E*R3*R4^2+E*R3^2*R4)/(4*R3*R4^3+10*R3^2*R4^2+6*R3^3*R4+R3^4),Ic5=E/(3*R2+R1),
Ic6=(E*R4^3+E*R3*R4^2)/(4*R3*R4^3+10*R3^2*R4^2+6*R3^3*R4+R3^4),Ic7=E/(6*R2+2*R1),Ic8=(E*R4^3)/(4*R3*R4^3+10*R3^2*R4^2+6*R3^3*R4+R3^4),Zc=(
(24*R1*R2+8*R1^2)*R3*R4^3+(60*R1*R2+20*R1^2)*R3^2*R4^2+(36*R1*R2+12*R1^2)*R3^3*R4+(6*R1*R2+2*R1^2)*R3^4)/(
((36*R2+16*R1)*R3+6*R1*R2+2*R1^2)*R4^3+((90*R2+40*R1)*R3^2+(36*R1*R2+12*R1^2)*R3)*R4^2+
((54*R2+24*R1)*R3^3+(30*R1*R2+10*R1^2)*R3^2)*R4+(9*R2+4*R1)*R3^4+(6*R1*R2+2*R1^2)*R3^3)]]
(%i60) factor(%);
(%o60) [[Ic=(E*(36*R2*R3*R4^3+16*R1*R3*R4^3+6*R1*R2*R4^3+2*R1^2*R4^3+90*R2*R3^2*R4^2+40*R1*R3^2*R4^2+36*
R1*R2*R3*R4^2+12*R1^2*R3*R4^2+54*R2*R3^3*R4+24*R1*R3^3*R4+30*R1*R2*R3^2*R4+10*R1^2*R3^2*R4+9*R2*R3^4+4*R1*
R3^4+6*R1*R2*R3^3+2*R1^2*R3^3))/(2*R1*(3*R2+R1)*R3*(2*R4+R3)*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2)),Ic1=(E*(9*R2+4*R1))/(2*R1*(3*R2+R1))
,Ic2=(E*(R4^3+6*R3*R4^2+5*R3^2*R4+R3^3))/(R3*(2*R4+R3)*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2)),Ic3=(E*(3*R2+2*R1))/(2*R1*(3*R2+R1)),Ic4=(E*R4*(R4^2+3*R3*R4+R3^2))/(R3*(2*R4+R3)*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2)),Ic5=
E/(3*R2+R1),Ic6=(E*R4^2*(R4+R3))/(R3*(2*R4+R3)*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2)),Ic7=E/(2*(3*R2+R1)),Ic8=(E*R4^3)/(R3*(2*R4+R3)*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2)),Zc=
(2*R1*(3*R2+R1)*R3*(2*R4+R3)*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2))/(36*R2*R3*R4^3+16*R1*R3*R4^3+6*R1*R2*R4^3+2*R1^2*R4^3
+90*R2*R3^2*R4^2+40*R1*R3^2*R4^2+36*R1*R2*R3*R4^2+12*R1^2*R3*R4^2+54*R2*R3^3*R4+24*R1*R3^3*R4+30*R1*R2*R3^2*
R4+10*R1^2*R3^2*R4+9*R2*R3^4+4*R1*R3^4+6*R1*R2*R3^3+2*R1^2*R3^3)]]

Zcの式にR1,R2,R3,R4をそれぞれ代入すると

(%i61) subst(15, R1, Zc=(2*R1*(3*R2+R1)*R3*(2*R4+R3)*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2))/(36*R2*R3*R4^3
+16*R1*R3*R4^3+6*R1*R2*R4^3+2*R1^2*R4^3+90*R2*R3^2*R4^2+40*R1*R3^2*R4^2+36*R1*R2*R3*R4^2
+12*R1^2*R3*R4^2+54*R2*R3^3*R4+24*R1*R3^3*R4+30*R1*R2*R3^2*R4+10*R1^2*R3^2*R4+9*R2*R3^4
+4*R1*R3^4+6*R1*R2*R3^3+2*R1^2*R3^3));
(%o61) Zc=(30*(3*R2+15)*R3*(2*R4+R3)*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2))/(36*R2*R3*R4^3+240*R3*R4^3+90*R2*R4^3+
450*R4^3+90*R2*R3^2*R4^2+600*R3^2*R4^2+540*R2*R3*R4^2+2700*R3*R4^2+54*R2*R3^3*R4+360*R3^3*R4+450*R2*R3^2*R4
+2250*R3^2*R4+9*R2*R3^4+60*R3^4+90*R2*R3^3+450*R3^3)
(%i62)
subst(5, R2, Zc=(30*(3*R2+15)*R3*(2*R4+R3)*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2))/(36*R2*R3*R4^3+240*R3*R4^3
+90*R2*R4^3+450*R4^3+90*R2*R3^2*R4^2+600*R3^2*R4^2+540*R2*R3*R4^2+2700*R3*R4^2+54*R2*R3^3*R4
+360*R3^3*R4+450*R2*R3^2*R4+2250*R3^2*R4+9*R2*R3^4+60*R3^4+90*R2*R3^3+450*R3^3));
(%o62) Zc=(900*R3*(2*R4+R3)*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2))/(420*R3*R4^3+900*R4^3+1050*R3^2*R4^2+5400*R3*R4^2+630*R3^3*R4+4500*R3^2*R4+105*R3^4+900*R3^3)
(%i63)
subst(2, R3, Zc=(900*R3*(2*R4+R3)*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2))/(420*R3*R4^3+900*R4^3+1050*R3^2*R4^2
+5400*R3*R4^2+630*R3^3*R4+4500*R3^2*R4+105*R3^4+900*R3^3));
(%o63) Zc=(1800*(2*R4+2)*(2*R4^2+8*R4+4))/(1740*R4^3+15000*R4^2+23040*R4+8880)
(%i64) subst(4, R4, Zc=(1800*(2*R4+2)*(2*R4^2+8*R4+4))/(1740*R4^3+15000*R4^2+23040*R4+8880));
(%o64) Zc=1020/377
(%i65) float(%), numer;
(%o65) Zc=2.705570291777188

Zc=2.71 [Ω]

ということになる。

残るは下半分の等価回路について解くだけ。

上半分の実際の回路と下半分の等価回路を見比べると

Io=Ioa
Ic=Ica
Icb=Ic7+Ic8

であることは自明なので、未知数はIob,Ra,Rb,Rcの４つということになる。

２つの等価回路に関する以下の４つの追加の方程式を追加する。

(%i115) e21;
(%o115) (Io-Iob)*Ra=E
(%i116) e22;
(%o116) Iob*Rc+Iob*Rb+(Iob-Io)*Ra=0
(%i117) e24;
(%o117) (-Ic8-Ic7+Ic)*Ra=E
(%i118) e25;
(%o118) (Ic8+Ic7)*Rb+(Ic8+Ic7-Ic)*Ra=0

これで全部について解くと

(%i119)
solve([e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,e8,e9,e11,e12,e13,e14,e15,e16,e17,e18,e19,e20,e21,e22,e24,e25],[Io,Io1,Io2,Io3,Io4,Io5,Io6,Io7,Zo,Ic,Ic1,Ic2,Ic3,Ic4,Ic5,Ic6,Ic7,Ic8,Zc,Ra,Rb,Rc,Iob]);
(%o119) [[Io=(((24*E*R2+8*E*R1)*R3+9*E*R2^2+6*E*R1*R2+E*R1^2)*R4^3+((60*E*R2+20*E*R1)*R3^2+(54*E*R2^2+48*E*R1*R2+6*E*R1^2)*R3+18*E*R1*R2^2+6*E*R1^2*R2)*R4^2+
((36*E*R2+12*E*R1)*R3^3+(45*E*R2^2+40*E*R1*R2+5*E*R1^2)*R3^2+(24*E*R1*R2^2+8*E*R1^2*R2)*R3)*R4+(6*E*R2+2*E*R1)*R3^4+(9*E*R2^2+8*E*R1*R2+E*R1^2)*R3^3+(6*E*R1*R2^2+2*E*R1^2*R2)*R3^2)/(
((16*R1*R2+4*R1^2)*R3+6*R1*R2^2+2*R1^2*R2)*R4^3+((40*R1*R2+10*R1^2)*R3^2+(36*R1*R2^2+12*R1^2*R2)*R3)*R4^2+((24*R1*R2+6*R1^2)*R3^3+(30*R1*R2^2+10*R1^2*R2)*R3^2)*R4+(4*R1*R2+R1^2)*R3^4+
(6*R1*R2^2+2*R1^2*R2)*R3^3),Io1=
(((24*E*R2+8*E*R1)*R3+9*E*R2^2+3*E*R1*R2)*R4^3+((60*E*R2+20*E*R1)*R3^2+(54*E*R2^2+24*E*R1*R2)*R3)*R4^2+((36*E*R2+12*E*R1)*R3^3+(45*E*R2^2+20*E*R1*R2)*R3^2)*R4+(6*E*R2+2*E*R1)*R3^4+(9*E*R2^2+4*E*R1*R2)*R3^3)/(((16*R1*R2+4*R1^2)*R3+6*R1*R2^2+2*R1^2*R2)*R4^3+((40*R1*R2+10*R1^2)*R3^2+(36*R1*R2^2+12*R1^2*R2)*R3)*R4^2+((24*R1*R2+6*R1^2)*R3^3+(30*R1*R2^2+10*R1^2*R2)*R3^2)*R4+(4*R1*R2+R1^2)*R3^4+(6*R1*R2^2+2*R1^2*R2)*R3^3),Io2=
((3*E*R2+E*R1)*R4^3+((24*E*R2+6*E*R1)*R3+18*E*R2^2+6*E*R1*R2)*R4^2+((20*E*R2+5*E*R1)*R3^2+(24*E*R2^2+8*E*R1*R2)*R3)*R4+(4*E*R2+E*R1)*R3^3+(6*E*R2^2+2*E*R1*R2)*R3^2)/(((16*R2+4*R1)*R3+6*R2^2+2*R1*R2)*R4^3+((40*R2+10*R1)*R3^2+(36*R2^2+12*R1*R2)*R3)*R4^2+((24*R2+6*R1)*R3^3+(30*R2^2+10*R1*R2)*R3^2)*R4+(4*R2+R1)*R3^4+(6*R2^2+2*R1*R2)*R3^3),Io3=
(((8*E*R2+4*E*R1)*R3+3*E*R2^2+E*R1*R2)*R4^3+((20*E*R2+10*E*R1)*R3^2+(18*E*R2^2+12*E*R1*R2)*R3)*R4^2+((12*E*R2+6*E*R1)*R3^3+(15*E*R2^2+10*E*R1*R2)*R3^2)*R4+(2*E*R2+E*R1)*R3^4+(3*E*R2^2+2*E*R1*R2)*R3^3)/(((16*R1*R2+4*R1^2)*R3+6*R1*R2^2+2*R1^2*R2)*R4^3+((40*R1*R2+10*R1^2)*R3^2+(36*R1*R2^2+12*R1^2*R2)*R3)*R4^2+((24*R1*R2+6*R1^2)*R3^3+(30*R1*R2^2+10*R1^2*R2)*R3^2)*R4+(4*R1*R2+R1^2)*R3^4+(6*R1*R2^2+2*R1^2*R2)*R3^3),Io4=
((3*E*R2+E*R1)*R4^3+((11*E*R2+3*E*R1)*R3+12*E*R2^2+4*E*R1*R2)*R4^2+((4*E*R2+E*R1)*R3^2+(6*E*R2^2+2*E*R1*R2)*R3)*R4)/(((16*R2+4*R1)*R3+6*R2^2+2*R1*R2)*R4^3+((40*R2+10*R1)*R3^2+(36*R2^2+12*R1*R2)*R3)*R4^2+((24*R2+6*R1)*R3^3+(30*R2^2+10*R1*R2)*R3^2)*R4+(4*R2+R1)*R3^4+(6*R2^2+2*R1*R2)*R3^3),Io5=
(4*E*R3*R4^3+(10*E*R3^2+12*E*R2*R3)*R4^2+(6*E*R3^3+10*E*R2*R3^2)*R4+E*R3^4+2*E*R2*R3^3)/(((16*R2+4*R1)*R3+6*R2^2+2*R1*R2)*R4^3+((40*R2+10*R1)*R3^2+(36*R2^2+12*R1*R2)*R3)*R4^2+((24*R2+6*R1)*R3^3+(30*R2^2+10*R1*R2)*R3^2)*R4+(4*R2+R1)*R3^4+(6*R2^2+2*R1*R2)*R3^3),Io6=
((3*E*R2+E*R1)*R4^3+((E*R2+E*R1)*R3+6*E*R2^2+2*E*R1*R2)*R4^2-E*R2*R3^2*R4)/(((16*R2+4*R1)*R3+6*R2^2+2*R1*R2)*R4^3+((40*R2+10*R1)*R3^2+(36*R2^2+12*R1*R2)*R3)*R4^2+((24*R2+6*R1)*R3^3+(30*R2^2+10*R1*R2)*R3^2)*R4+(4*R2+R1)*R3^4+(6*R2^2+2*R1*R2)*R3^3),Io7=-
((3*E*R2+E*R1)*R4^3-6*E*R2*R3*R4^2-5*E*R2*R3^2*R4-E*R2*R3^3)/(((16*R2+4*R1)*R3+6*R2^2+2*R1*R2)*R4^3+((40*R2+10*R1)*R3^2+(36*R2^2+12*R1*R2)*R3)*R4^2+((24*R2+6*R1)*R3^3+(30*R2^2+10*R1*R2)*R3^2)*R4+(4*R2+R1)*R3^4+(6*R2^2+2*R1*R2)*R3^3),Zo=(
((16*R1*R2+4*R1^2)*R3+6*R1*R2^2+2*R1^2*R2)*R4^3+((40*R1*R2+10*R1^2)*R3^2+(36*R1*R2^2+12*R1^2*R2)*R3)*R4^2+((24*R1*R2+6*R1^2)*R3^3+(30*R1*R2^2+10*R1^2*R2)*R3^2)*R4+(4*R1*R2+R1^2)*R3^4+
(6*R1*R2^2+2*R1^2*R2)*R3^3)/(((24*R2+8*R1)*R3+9*R2^2+6*R1*R2+R1^2)*R4^3+((60*R2+20*R1)*R3^2+(54*R2^2+48*R1*R2+6*R1^2)*R3+18*R1*R2^2+6*R1^2*R2)*R4^2+
((36*R2+12*R1)*R3^3+(45*R2^2+40*R1*R2+5*R1^2)*R3^2+(24*R1*R2^2+8*R1^2*R2)*R3)*R4+(6*R2+2*R1)*R3^4+(9*R2^2+8*R1*R2+R1^2)*R3^3+(6*R1*R2^2+2*R1^2*R2)*R3^2),Ic=
(((36*E*R2+16*E*R1)*R3+6*E*R1*R2+2*E*R1^2)*R4^3+((90*E*R2+40*E*R1)*R3^2+(36*E*R1*R2+12*E*R1^2)*R3)*R4^2+((54*E*R2+24*E*R1)*R3^3+(30*E*R1*R2+10*E*R1^2)*R3^2)*R4+(9*E*R2+4*E*R1)*R3^4+(6*E*R1*R2+2*E*R1^2)*R3^3)/((24*R1*R2+8*R1^2)*R3*R4^3+(60*R1*R2+20*R1^2)*R3^2*R4^2+(36*R1*R2+12*R1^2)*R3^3*R4+(6*R1*R2+2*R1^2)*R3^4),Ic1=
(9*E*R2+4*E*R1)/(6*R1*R2+2*R1^2),Ic2=(E*R4^3+6*E*R3*R4^2+5*E*R3^2*R4+E*R3^3)/(4*R3*R4^3+10*R3^2*R4^2+6*R3^3*R4+R3^4),Ic3=(3*E*R2+2*E*R1)/(6*R1*R2+2*R1^2),Ic4=(E*R4^3+3*E*R3*R4^2+E*R3^2*R4)/(4*R3*R4^3+10*R3^2*R4^2+6*R3^3*R4+R3^4),Ic5=E/(3*R2+R1),Ic6=(E*R4^3+E*R3*R4^2)/(4*R3*R4^3+10*R3^2*R4^2+6*R3^3*R4+R3^4),Ic7=E/(6*R2+2*R1),
Ic8=(E*R4^3)/(4*R3*R4^3+10*R3^2*R4^2+6*R3^3*R4+R3^4),Zc=
((24*R1*R2+8*R1^2)*R3*R4^3+(60*R1*R2+20*R1^2)*R3^2*R4^2+(36*R1*R2+12*R1^2)*R3^3*R4+(6*R1*R2+2*R1^2)*R3^4)/(((36*R2+16*R1)*R3+6*R1*R2+2*R1^2)*R4^3+((90*R2+40*R1)*R3^2+(36*R1*R2+12*R1^2)*R3)*R4^2+((54*R2+24*R1)*R3^3+(30*R1*R2+10*R1^2)*R3^2)*R4+(9*R2+4*R1)*R3^4+(6*R1*R2+2*R1^2)*R3^3),Ra=
(4*R1*R4^2+8*R1*R3*R4+2*R1*R3^2)/(6*R4^2+(12*R3+6*R1)*R4+3*R3^2+2*R1*R3),Rb=((24*R2+8*R1)*R3*R4^3+(60*R2+20*R1)*R3^2*R4^2+(36*R2+12*R1)*R3^3*R4+(6*R2+2*R1)*R3^4)/((4*R3+6*R2+2*R1)*R4^3+10*R3^2*R4^2+6*R3^3*R4+R3^4),Rc=(4*R2*R4^2+8*R2*R3*R4+2*R2*R3^2)/(2*R4^2+(4*R3+6*R2)*R4+R3^2+2*R2*R3),Iob=((8*E*R3+12*E*R2+4*E*R1)*
R4^5+(36*E*R3^2+(48*E*R2+8*E*R1)*R3+36*E*R2^2+12*E*R1*R2)*R4^4+(56*E*R3^3+(74*E*R2+2*E*R1)*R3^2+(12*E*R2^2+4*E*R1*R2)*R3)*R4^3+(36*E*R3^4+56*E*R2*R3^3)*R4^2+(10*E*R3^5+18*E*R2*R3^4)*R4+
E*R3^6+2*E*R2*R3^5)/(((64*R2+16*R1)*R3+24*R2^2+8*R1*R2)*R4^5+((288*R2+72*R1)*R3^2+(192*R2^2+64*R1*R2)*R3)*R4^4+((448*R2+112*R1)*R3^3+(420*R2^2+140*R1*R2)*R3^2)*R4^3+
((288*R2+72*R1)*R3^4+(336*R2^2+112*R1*R2)*R3^3)*R4^2+((80*R2+20*R1)*R3^5+(108*R2^2+36*R1*R2)*R3^4)*R4+(8*R2+2*R1)*R3^6+(12*R2^2+4*R1*R2)*R3^5)]]

と見事にすべての解が得られる。ここでRa,Rb,Rcの式にR1,R2,R3,R4の値を代入すると

(%i121) subst(15, R1, [Ra=(4*R1*R4^2+8*R1*R3*R4+2*R1*R3^2)/(6*R4^2+(12*R3+6*R1)*R4+3*R3^2+2*R1*R3),Rb=((24*R2
+8*R1)*R3*R4^3+(60*R2+20*R1)*R3^2*R4^2+(36*R2+12*R1)*R3^3*R4+(6*R2+2*R1)*R3^4)/((4*R3
+6*R2+2*R1)*R4^3+10*R3^2*R4^2+6*R3^3*R4+R3^4),Rc=(4*R2*R4^2+8*R2*R3*R4+2*R2*R3^2)/(2*R4^2
+(4*R3+6*R2)*R4+R3^2+2*R2*R3)]);
(%o121) [Ra=(60*R4^2+120*R3*R4+30*R3^2)/(6*R4^2+(12*R3+90)*R4+3*R3^2+30*R3),Rb=((24*R2+120)*R3*R4^3+(60*R2+300)*R3^2*R4^2+(36*R2+180)*R3^3*R4+(6*R2+30)*R3^4)/((4*R3+6*R2+30)*R4^3+10*R3^2*R4^2+6*R3^3*R4+R3^4),Rc=(4*R2*R4^2+8*R2*R3*R4+2*R2*R3^2)/(2*R4^2+(4*R3+6*R2)*R4+R3^2+2*R2*R3)]
(%i122) subst(5, R2, [Ra=(60*R4^2+120*R3*R4+30*R3^2)/(6*R4^2+(12*R3+90)*R4+3*R3^2+30*R3),Rb=((24*R2
+120)*R3*R4^3+(60*R2+300)*R3^2*R4^2+(36*R2+180)*R3^3*R4+(6*R2+30)*R3^4)/((4*R3+6*R2
+30)*R4^3+10*R3^2*R4^2+6*R3^3*R4+R3^4),Rc=(4*R2*R4^2+8*R2*R3*R4+2*R2*R3^2)/(2*R4^2
+(4*R3+6*R2)*R4+R3^2+2*R2*R3)]);
(%o122) [Ra=(60*R4^2+120*R3*R4+30*R3^2)/(6*R4^2+(12*R3+90)*R4+3*R3^2+30*R3),Rb=(240*R3*R4^3+600*R3^2*R4^2+360*R3^3*R4+60*R3^4)/((4*R3+60)*R4^3+10*R3^2*R4^2+6*R3^3*R4+R3^4),Rc=(20*R4^2+40*R3*R4+10*R3^2)/(2*R4^2+(4*R3+30)*R4+R3^2+10*R3)]
(%i123) subst(2, R3, [Ra=(60*R4^2+120*R3*R4+30*R3^2)/(6*R4^2+(12*R3+90)*R4+3*R3^2+30*R3),Rb=(240*R3*R4^3
+600*R3^2*R4^2+360*R3^3*R4+60*R3^4)/((4*R3+60)*R4^3+10*R3^2*R4^2+6*R3^3*R4+R3^4),Rc=(20*R4^2
+40*R3*R4+10*R3^2)/(2*R4^2+(4*R3+30)*R4+R3^2+10*R3)]);
(%o123) [Ra=(60*R4^2+240*R4+120)/(6*R4^2+114*R4+72),Rb=(480*R4^3+2400*R4^2+2880*R4+960)/(68*R4^3+40*R4^2+48*R4+16),Rc=(20*R4^2+80*R4+40)/(2*R4^2+38*R4+24)]
(%i124) subst(4, R4, [Ra=(60*R4^2+240*R4+120)/(6*R4^2+114*R4+72),Rb=(480*R4^3+2400*R4^2+2880*R4
+960)/(68*R4^3+40*R4^2+48*R4+16),Rc=(20*R4^2+80*R4+40)/(2*R4^2+38*R4+24)]);
(%o124) [Ra=85/26,Rb=204/13,Rc=85/26]
(%i125) float(%), numer;
(%o125) [Ra=3.269230769230769,Rb=15.69230769230769,Rc=3.269230769230769]

Ra=3.27 [Ω]
Rb=15.7 [Ω]
Rc=3.27 [Ω]

ということになる。これは著者の解と一致する。

方程式を立てるだけで回路図を教えたわけではないのに数学的に解けてしまうというのは気持ちが良い。これだけの回路になるとちょっと手で式を操作するのは大変だけど、後に学ぶマトリックスを使うと楽になる。

暑すぎて中断していた演習問題を再開

前回は網目電流法を使って解いたのを枝電流法で解いてみる。



出力端2-2'をオープンにした場合に回路全体を流れる電流をIoとして片方の抵抗ラダーネットワークに流れる電流をIo1として順番にリターン電流をIo2,Io3,Io4,Io5,Io6,Io7と定義して枝電流の式を決めてみた。このやり方には決まった方法は無い。

あとは閉ループ回路内の電圧降下の合計が０となるのと、ひとつのノードに流入する電流と流出する電流の合計は０になるキルヒホッフの法則を利用して以下の回路方程式をたてる。

(%i1) e1:Io2*R1=E;
(%o1) Io2*R1=E
(%i2) e2:(Io1-Io2)*R1+Io3*R1=Io2*R1;
(%o2) Io3*R1+(Io1-Io2)*R1=Io2*R1
(%i3) e3:(Io1-Io2-Io3)*R2+Io4*R2=Io3*R1;
(%o3) Io4*R2+(-Io3-Io2+Io1)*R2=Io3*R1
(%i4) e4:(Io1-Io2-Io3-Io4)*(R2+R3)+Io7*R4=Io4*R2;
(%o4) Io7*R4+(-Io4-Io3-Io2+Io1)*(R3+R2)=Io4*R2
(%i5) e5:Io7*R4+(Io-Io1-Io5-Io6)*R3=Io6*R4;
(%o5) Io7*R4+(-Io6-Io5-Io1+Io)*R3=Io6*R4
(%i6) e6:Io6*R4+(Io-Io1-Io5)*R3=Io5*R4;
(%o6) Io6*R4+(-Io5-Io1+Io)*R3=Io5*R4
(%i7) e7:(Io-Io1)*R3+Io5*R4=E;
(%o7) Io5*R4+(Io-Io1)*R3=E
(%i10) e8:Io=Io2+Io3+Io4+Io5+Io6+Io7;
(%o10) Io=Io7+Io6+Io5+Io4+Io3+Io2

回路全体のインピーダンスをZoとしてそれに関する方程式を追加する。

(%i11) e9:Io*Zo=E;
(%o11) Io*Zo=E

これをIo,Io1,Io2,Io3,Io4,Io5,Io6,Io7,Zに関する９元連立方程式として解けばZoの式を求めることが出来る。

(%i163) solve([e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,e8,e9],[Io,Io1,Io2,Io3,Io4,Io5,Io6,Io7,Zo]);
(%o163) [[Io=(((24*E*R2+8*E*R1)*R3+9*E*R2^2+6*E*R1*R2+E*R1^2)*R4^3+
((60*E*R2+20*E*R1)*R3^2+(54*E*R2^2+48*E*R1*R2+6*E*R1^2)*R3+18*E*R1*R2^2+6*E*R1^2*R2)*R4^2+
((36*E*R2+12*E*R1)*R3^3+(45*E*R2^2+40*E*R1*R2+5*E*R1^2)*R3^2+(24*E*R1*R2^2+8*E*R1^2*R2)*R3)*R4+
(6*E*R2+2*E*R1)*R3^4+(9*E*R2^2+8*E*R1*R2+E*R1^2)*R3^3+(6*E*R1*R2^2+2*E*R1^2*R2)*R3^2)/(
((16*R1*R2+4*R1^2)*R3+6*R1*R2^2+2*R1^2*R2)*R4^3+((40*R1*R2+10*R1^2)*R3^2+(36*R1*R2^2+12*R1^2*R2)*R3)*R4^2+
((24*R1*R2+6*R1^2)*R3^3+(30*R1*R2^2+10*R1^2*R2)*R3^2)*R4+(4*R1*R2+R1^2)*R3^4+(6*R1*R2^2+2*R1^2*R2)*R3^3),Io1
=(((24*E*R2+8*E*R1)*R3+9*E*R2^2+3*E*R1*R2)*R4^3+((60*E*R2+20*E*R1)*R3^2+(54*E*R2^2+24*E*R1*R2)*R3)*R4^2+
((36*E*R2+12*E*R1)*R3^3+(45*E*R2^2+20*E*R1*R2)*R3^2)*R4+(6*E*R2+2*E*R1)*R3^4+(9*E*R2^2+4*E*R1*R2)*R3^3)/(
((16*R1*R2+4*R1^2)*R3+6*R1*R2^2+2*R1^2*R2)*R4^3+((40*R1*R2+10*R1^2)*R3^2+(36*R1*R2^2+12*R1^2*R2)*R3)*R4^2+
((24*R1*R2+6*R1^2)*R3^3+(30*R1*R2^2+10*R1^2*R2)*R3^2)*R4+(4*R1*R2+R1^2)*R3^4+(6*R1*R2^2+2*R1^2*R2)*R3^3),Io2
=E/R1,Io3=((8*E*R2*R3+3*E*R2^2+E*R1*R2)*R4^3+(20*E*R2*R3^2+18*E*R2^2*R3)*R4^2+(12*E*R2*R3^3+15*E*R2^2*R3^2)*
R4+2*E*R2*R3^4+3*E*R2^2*R3^3)/(((16*R1*R2+4*R1^2)*R3+6*R1*R2^2+2*R1^2*R2)*R4^3+
((40*R1*R2+10*R1^2)*R3^2+(36*R1*R2^2+12*R1^2*R2)*R3)*R4^2+((24*R1*R2+6*R1^2)*R3^3+(30*R1*R2^2+10*R1^2*R2)*R3^2)*
R4+(4*R1*R2+R1^2)*R3^4+(6*R1*R2^2+2*R1^2*R2)*R3^3),Io4=((4*E*R3+3*E*R2+E*R1)*R4^3+(10*E*R3^2+6*E*R2*R3)*
R4^2+(6*E*R3^3+5*E*R2*R3^2)*R4+E*R3^4+E*R2*R3^3)/(((16*R2+4*R1)*R3+6*R2^2+2*R1*R2)*R4^3+
((40*R2+10*R1)*R3^2+(36*R2^2+12*R1*R2)*R3)*R4^2+((24*R2+6*R1)*R3^3+(30*R2^2+10*R1*R2)*R3^2)*R4+(4*R2+R1)*
R3^4+(6*R2^2+2*R1*R2)*R3^3),Io5=(((13*E*R2+3*E*R1)*R3+6*E*R2^2+2*E*R1*R2)*R4^2+
((16*E*R2+4*E*R1)*R3^2+(18*E*R2^2+6*E*R1*R2)*R3)*R4+(4*E*R2+E*R1)*R3^3+(6*E*R2^2+2*E*R1*R2)*R3^2)/(
((16*R2+4*R1)*R3+6*R2^2+2*R1*R2)*R4^3+((40*R2+10*R1)*R3^2+(36*R2^2+12*R1*R2)*R3)*R4^2+
((24*R2+6*R1)*R3^3+(30*R2^2+10*R1*R2)*R3^2)*R4+(4*R2+R1)*R3^4+(6*R2^2+2*R1*R2)*R3^3),Io6=(
((10*E*R2+2*E*R1)*R3+6*E*R2^2+2*E*R1*R2)*R4^2+((5*E*R2+E*R1)*R3^2+(6*E*R2^2+2*E*R1*R2)*R3)*R4)/(
((16*R2+4*R1)*R3+6*R2^2+2*R1*R2)*R4^3+((40*R2+10*R1)*R3^2+(36*R2^2+12*R1*R2)*R3)*R4^2+
((24*R2+6*R1)*R3^3+(30*R2^2+10*R1*R2)*R3^2)*R4+(4*R2+R1)*R3^4+(6*R2^2+2*R1*R2)*R3^3),Io7=(
((7*E*R2+E*R1)*R3+6*E*R2^2+2*E*R1*R2)*R4^2+4*E*R2*R3^2*R4+E*R2*R3^3)/(((16*R2+4*R1)*R3+6*R2^2+2*R1*R2)*
R4^3+((40*R2+10*R1)*R3^2+(36*R2^2+12*R1*R2)*R3)*R4^2+((24*R2+6*R1)*R3^3+(30*R2^2+10*R1*R2)*R3^2)*R4+
(4*R2+R1)*R3^4+(6*R2^2+2*R1*R2)*R3^3),Zo=(((16*R1*R2+4*R1^2)*R3+6*R1*R2^2+2*R1^2*R2)*R4^3+
((40*R1*R2+10*R1^2)*R3^2+(36*R1*R2^2+12*R1^2*R2)*R3)*R4^2+((24*R1*R2+6*R1^2)*R3^3+(30*R1*R2^2+10*R1^2*R2)*R3^2)*
R4+(4*R1*R2+R1^2)*R3^4+(6*R1*R2^2+2*R1^2*R2)*R3^3)/(((24*R2+8*R1)*R3+9*R2^2+6*R1*R2+R1^2)*R4^3+
((60*R2+20*R1)*R3^2+(54*R2^2+48*R1*R2+6*R1^2)*R3+18*R1*R2^2+6*R1^2*R2)*R4^2+
((36*R2+12*R1)*R3^3+(45*R2^2+40*R1*R2+5*R1^2)*R3^2+(24*R1*R2^2+8*R1^2*R2)*R3)*R4+(6*R2+2*R1)*R3^4+
(9*R2^2+8*R1*R2+R1^2)*R3^3+(6*R1*R2^2+2*R1^2*R2)*R3^2)]]

Zoの式にR1,R2,R3,R4の値を代入すると

(%i164)
subst(15, R1, Zo=(((16*R1*R2+4*R1^2)*R3+6*R1*R2^2+2*R1^2*R2)*R4^3+((40*R1*R2+10*R1^2)*R3^2
+(36*R1*R2^2+12*R1^2*R2)*R3)*R4^2+((24*R1*R2+6*R1^2)*R3^3+(30*R1*R2^2+10*R1^2*R2)*R3^2)*R4
+(4*R1*R2+R1^2)*R3^4+(6*R1*R2^2+2*R1^2*R2)*R3^3)/(((24*R2+8*R1)*R3+9*R2^2+6*R1*R2
+R1^2)*R4^3+((60*R2+20*R1)*R3^2+(54*R2^2+48*R1*R2+6*R1^2)*R3+18*R1*R2^2+6*R1^2*R2)*R4^2
+((36*R2+12*R1)*R3^3+(45*R2^2+40*R1*R2+5*R1^2)*R3^2+(24*R1*R2^2+8*R1^2*R2)*R3)*R4
+(6*R2+2*R1)*R3^4+(9*R2^2+8*R1*R2+R1^2)*R3^3+(6*R1*R2^2+2*R1^2*R2)*R3^2));
(%o164) Zo=(((240*R2+900)*R3+90*R2^2+450*R2)*R4^3+((600*R2+2250)*R3^2+(540*R2^2+2700*R2)*R3)*R4^2+
((360*R2+1350)*R3^3+(450*R2^2+2250*R2)*R3^2)*R4+(60*R2+225)*R3^4+(90*R2^2+450*R2)*R3^3)/(
((24*R2+120)*R3+9*R2^2+90*R2+225)*R4^3+
((60*R2+300)*R3^2+(54*R2^2+720*R2+1350)*R3+270*R2^2+1350*R2)*R4^2+
((36*R2+180)*R3^3+(45*R2^2+600*R2+1125)*R3^2+(360*R2^2+1800*R2)*R3)*R4+(6*R2+30)*R3^4+
(9*R2^2+120*R2+225)*R3^3+(90*R2^2+450*R2)*R3^2)
(%i165) subst(5, R2, Zo=(((240*R2+900)*R3+90*R2^2+450*R2)*R4^3+((600*R2+2250)*R3^2+(540*R2^2
+2700*R2)*R3)*R4^2+((360*R2+1350)*R3^3+(450*R2^2+2250*R2)*R3^2)*R4+(60*R2+225)*R3^4
+(90*R2^2+450*R2)*R3^3)/(((24*R2+120)*R3+9*R2^2+90*R2+225)*R4^3+((60*R2+300)*R3^2
+(54*R2^2+720*R2+1350)*R3+270*R2^2+1350*R2)*R4^2+((36*R2+180)*R3^3+(45*R2^2+600*R2
+1125)*R3^2+(360*R2^2+1800*R2)*R3)*R4+(6*R2+30)*R3^4+(9*R2^2+120*R2+225)*R3^3+(90*R2^2
+450*R2)*R3^2));
(%o165) Zo=
((2100*R3+4500)*R4^3+(5250*R3^2+27000*R3)*R4^2+(3150*R3^3+22500*R3^2)*R4+525*R3^4+4500*R3^3)/((240*R3+900)*R4^3+(600*R3^2+6300*R3+13500)*R4^2+(360*R3^3+5250*R3^2+18000*R3)*R4+60*R3^4+1050*R3^3+4500*R3^2)
(%i166)
subst(2, R3, Zo=((2100*R3+4500)*R4^3+(5250*R3^2+27000*R3)*R4^2+(3150*R3^3+22500*R3^2)*R4
+525*R3^4+4500*R3^3)/((240*R3+900)*R4^3+(600*R3^2+6300*R3+13500)*R4^2+(360*R3^3+5250*R3^2
+18000*R3)*R4+60*R3^4+1050*R3^3+4500*R3^2));
(%o166) Zo=(8700*R4^3+75000*R4^2+115200*R4+44400)/(1380*R4^3+28500*R4^2+59880*R4+27360)
(%i167) subst(4, R4, Zo=(8700*R4^3+75000*R4^2+115200*R4+44400)/(1380*R4^3+28500*R4^2+59880*R4
+27360));
(%o167) Zo=145/52
(%i168) float(Zo=145/52), numer;
(%o168) Zo=2.788461538461538

網目電流法と同じ結果が得られた。

従って

Zo=2.79 [Ω]

ということになる。

同様に端子2-2'を短絡した回路について方程式をたてると

(%i20) e10:Ic2*R1=E;
(%o20) Ic2*R1=E
(%i21) e11:(Ic1-Ic2)*R1+Ic3*R1=Ic2*R1;
(%o21) Ic3*R1+(Ic1-Ic2)*R1=Ic2*R1
(%i22) e12:(Ic1-Ic2-Ic3)*R2+Ic4*R2=Ic3*R1;
(%o22) Ic4*R2+(-Ic3-Ic2+Ic1)*R2=Ic3*R1
(%i23) e13:(Ic1-Ic2-Ic3-Ic4)*R2=Ic4*R2;
(%o23) (-Ic4-Ic3-Ic2+Ic1)*R2=Ic4*R2
(%i24) e14:(Ic-Ic1-Ic5-Ic6-Ic7)*R3=Ic7*R4;
(%o24) (-Ic7-Ic6-Ic5-Ic1+Ic)*R3=Ic7*R4
(%i25) e15:Ic7*R4+(Ic-Ic1-Ic5-Ic6)*R3=Ic6*R4;
(%o25) Ic7*R4+(-Ic6-Ic5-Ic1+Ic)*R3=Ic6*R4
(%i26) e16:Ic6*R4+(Ic-Ic1-Ic5)*R3=Ic5*R4;
(%o26) Ic6*R4+(-Ic5-Ic1+Ic)*R3=Ic5*R4
(%i27) e17:Ic5*R4+(Ic-Ic1)*R3=E;
(%o27) Ic5*R4+(Ic-Ic1)*R3=E
(%i28) e18:Ic*Zc=E;
(%o28) Ic*Zc=E

これをIc,Ic1,Ic2,Ic3,Ic4,Ic5,Ic6,Ic7,Zcに関する９元連立方程式として解くと

(%i29) solve([e10,e11,e12,e13,e14,e15,e16,e17,e18],[Ic,Ic1,Ic2,Ic3,Ic4,Ic5,Ic6,Ic7,Zc]);
(%o29) [[Ic=(((36*E*R2+16*E*R1)*R3+6*E*R1*R2+2*E*R1^2)*R4^3+
((90*E*R2+40*E*R1)*R3^2+(36*E*R1*R2+12*E*R1^2)*R3)*R4^2+((54*E*R2+24*E*R1)*R3^3+(30*E*R1*R2+10*E*R1^2)*R3^2)*
R4+(9*E*R2+4*E*R1)*R3^4+(6*E*R1*R2+2*E*R1^2)*R3^3)/((24*R1*R2+8*R1^2)*R3*R4^3+(60*R1*R2+20*R1^2)*R3^2*R4^2
+(36*R1*R2+12*R1^2)*R3^3*R4+(6*R1*R2+2*R1^2)*R3^4),Ic1=(9*E*R2+4*E*R1)/(6*R1*R2+2*R1^2),Ic2=E/R1,Ic3=(3*E*R2)/(6*R1*R2+2*R1^2),Ic4=
E/(6*R2+2*R1),Ic5=(3*E*R4^2+4*E*R3*R4+E*R3^2)/(4*R4^3+10*R3*R4^2+6*R3^2*R4+R3^3),Ic6=(E*R4)/(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2),Ic7=(E*R4^2)/(4*R4^3+10*R3*R4^2+6*R3^2*R4+R3^3),
Zc=((24*R1*R2+8*R1^2)*R3*R4^3+(60*R1*R2+20*R1^2)*R3^2*R4^2+(36*R1*R2+12*R1^2)*R3^3*R4+(6*R1*R2+2*R1^2)*R3^4
)/(((36*R2+16*R1)*R3+6*R1*R2+2*R1^2)*R4^3+((90*R2+40*R1)*R3^2+(36*R1*R2+12*R1^2)*R3)*R4^2+
((54*R2+24*R1)*R3^3+(30*R1*R2+10*R1^2)*R3^2)*R4+(9*R2+4*R1)*R3^4+(6*R1*R2+2*R1^2)*R3^3)]]

得られたZcの式にR1,R2,R3,R4の値をそれぞれ代入すると

(%i30) subst(15, R1, Zc=((24*R1*R2+8*R1^2)*R3*R4^3+(60*R1*R2+20*R1^2)*R3^2*R4^2+(36*R1*R2
+12*R1^2)*R3^3*R4+(6*R1*R2+2*R1^2)*R3^4)/(((36*R2+16*R1)*R3+6*R1*R2+2*R1^2)*R4^3+((90*R2
+40*R1)*R3^2+(36*R1*R2+12*R1^2)*R3)*R4^2+((54*R2+24*R1)*R3^3+(30*R1*R2+10*R1^2)*R3^2)*R4
+(9*R2+4*R1)*R3^4+(6*R1*R2+2*R1^2)*R3^3));
(%o30) Zc=((360*R2+1800)*R3*R4^3+(900*R2+4500)*R3^2*R4^2+(540*R2+2700)*R3^3*R4+(90*R2+450)*R3^4)/
(((36*R2+240)*R3+90*R2+450)*R4^3+((90*R2+600)*R3^2+(540*R2+2700)*R3)*R4^2+
((54*R2+360)*R3^3+(450*R2+2250)*R3^2)*R4+(9*R2+60)*R3^4+(90*R2+450)*R3^3)
(%i31)
subst(5, R2, Zc=((360*R2+1800)*R3*R4^3+(900*R2+4500)*R3^2*R4^2+(540*R2+2700)*R3^3*R4
+(90*R2+450)*R3^4)/(((36*R2+240)*R3+90*R2+450)*R4^3+((90*R2+600)*R3^2+(540*R2+2700)*R3)*R4^2
+((54*R2+360)*R3^3+(450*R2+2250)*R3^2)*R4+(9*R2+60)*R3^4+(90*R2+450)*R3^3));
(%o31) Zc=(3600*R3*R4^3+9000*R3^2*R4^2+5400*R3^3*R4+900*R3^4)/((420*R3+900)*R4^3+(1050*R3^2+5400*R3)*R4^2+(630*R3^3+4500*R3^2)*R4+105*R3^4+900*R3^3)
(%i32) subst(2, R3, Zc=(3600*R3*R4^3+9000*R3^2*R4^2+5400*R3^3*R4+900*R3^4)/((420*R3+900)*R4^3
+(1050*R3^2+5400*R3)*R4^2+(630*R3^3+4500*R3^2)*R4+105*R3^4+900*R3^3));
(%o32) Zc=(7200*R4^3+36000*R4^2+43200*R4+14400)/(1740*R4^3+15000*R4^2+23040*R4+8880)
(%i33) subst(4, R4, Zc=(7200*R4^3+36000*R4^2+43200*R4+14400)/(1740*R4^3+15000*R4^2+23040*R4
+8880));
(%o33) Zc=1020/377
(%i34) float(%), numer;
(%o34) Zc=2.705570291777188

と網目電流法と同じ結果が得られた。

従って

Zc=2.71 [Ω]

ということになる。

更に図の下の等価回路に関して

Ic-Ic2-Ic3-Ic4-Ic6-Ic7=Ic-Ica

であることが明らかなので

Ica=Ic2+Ic3+Ic4+Ic6+Ic7

となり未知数はRa,Rb,Rc,Ioaの４つだけとなる。従って以下の４つの方程式を追加すればすべてが解けることになる。

(%i35) e19:Ioa*Ra=E;
(%o35) Ioa*Ra=E
(%i36) e20:(Io-Ioa)*(Rb+Rc)=Ioa*Ra;
(%o36) (Io-Ioa)*(Rc+Rb)=Ioa*Ra
(%i40) e21:(Ic2+Ic3+Ic4+Ic5+Ic6+Ic7)*Ra=E;
(%o40) (Ic7+Ic6+Ic5+Ic4+Ic3+Ic2)*Ra=E
(%i41) e22:(Ic2+Ic3+Ic4+Ic5+Ic6+Ic7)*Ra=(Ic-Ic2-Ic3-Ic4-Ic5-Ic6-Ic7)*Rb;
(%o41) (Ic7+Ic6+Ic5+Ic4+Ic3+Ic2)*Ra=(-Ic7-Ic6-Ic5-Ic4-Ic3-Ic2+Ic)*Rb


これらをIo,Io1,Io2,Io3,Io4,Io5,Io6,Io7,Zo,Ic,Ic1,Ic2,Ic3,Ic4,Ic5,Ic6,Ic7,Zc,Ioa,Ra,Rb,Rcに関する二十二元連立方程式として解くと

(%i169)
solve([e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,e8,e9,e10,e11,e12,e13,e14,e15,e16,e17,e18,e19,e20,e21,e22],[Io,Io1,Io2,Io3,Io4,Io5,Io6,Io7,Zo,Ic,Ic1,Ic2,Ic3,Ic4,Ic5,Ic6,Ic7,Zc,Ioa,Ra,Rb,Rc]);
(%o169) [[Io=(((24*E*R2+8*E*R1)*R3+9*E*R2^2+6*E*R1*R2+E*R1^2)*R4^3+
((60*E*R2+20*E*R1)*R3^2+(54*E*R2^2+48*E*R1*R2+6*E*R1^2)*R3+18*E*R1*R2^2+6*E*R1^2*R2)*R4^2+
((36*E*R2+12*E*R1)*R3^3+(45*E*R2^2+40*E*R1*R2+5*E*R1^2)*R3^2+(24*E*R1*R2^2+8*E*R1^2*R2)*R3)*R4+
(6*E*R2+2*E*R1)*R3^4+(9*E*R2^2+8*E*R1*R2+E*R1^2)*R3^3+(6*E*R1*R2^2+2*E*R1^2*R2)*R3^2)/(
((16*R1*R2+4*R1^2)*R3+6*R1*R2^2+2*R1^2*R2)*R4^3+((40*R1*R2+10*R1^2)*R3^2+(36*R1*R2^2+12*R1^2*R2)*R3)*R4^2+
((24*R1*R2+6*R1^2)*R3^3+(30*R1*R2^2+10*R1^2*R2)*R3^2)*R4+(4*R1*R2+R1^2)*R3^4+(6*R1*R2^2+2*R1^2*R2)*R3^3),Io1
=(((24*E*R2+8*E*R1)*R3+9*E*R2^2+3*E*R1*R2)*R4^3+((60*E*R2+20*E*R1)*R3^2+(54*E*R2^2+24*E*R1*R2)*R3)*R4^2+
((36*E*R2+12*E*R1)*R3^3+(45*E*R2^2+20*E*R1*R2)*R3^2)*R4+(6*E*R2+2*E*R1)*R3^4+(9*E*R2^2+4*E*R1*R2)*R3^3)/(
((16*R1*R2+4*R1^2)*R3+6*R1*R2^2+2*R1^2*R2)*R4^3+((40*R1*R2+10*R1^2)*R3^2+(36*R1*R2^2+12*R1^2*R2)*R3)*R4^2+
((24*R1*R2+6*R1^2)*R3^3+(30*R1*R2^2+10*R1^2*R2)*R3^2)*R4+(4*R1*R2+R1^2)*R3^4+(6*R1*R2^2+2*R1^2*R2)*R3^3),Io2
=E/R1,Io3=((8*E*R2*R3+3*E*R2^2+E*R1*R2)*R4^3+(20*E*R2*R3^2+18*E*R2^2*R3)*R4^2+(12*E*R2*R3^3+15*E*R2^2*R3^2)*
R4+2*E*R2*R3^4+3*E*R2^2*R3^3)/(((16*R1*R2+4*R1^2)*R3+6*R1*R2^2+2*R1^2*R2)*R4^3+
((40*R1*R2+10*R1^2)*R3^2+(36*R1*R2^2+12*R1^2*R2)*R3)*R4^2+((24*R1*R2+6*R1^2)*R3^3+(30*R1*R2^2+10*R1^2*R2)*R3^2)*
R4+(4*R1*R2+R1^2)*R3^4+(6*R1*R2^2+2*R1^2*R2)*R3^3),Io4=((4*E*R3+3*E*R2+E*R1)*R4^3+(10*E*R3^2+6*E*R2*R3)*
R4^2+(6*E*R3^3+5*E*R2*R3^2)*R4+E*R3^4+E*R2*R3^3)/(((16*R2+4*R1)*R3+6*R2^2+2*R1*R2)*R4^3+
((40*R2+10*R1)*R3^2+(36*R2^2+12*R1*R2)*R3)*R4^2+((24*R2+6*R1)*R3^3+(30*R2^2+10*R1*R2)*R3^2)*R4+(4*R2+R1)*
R3^4+(6*R2^2+2*R1*R2)*R3^3),Io5=(((13*E*R2+3*E*R1)*R3+6*E*R2^2+2*E*R1*R2)*R4^2+
((16*E*R2+4*E*R1)*R3^2+(18*E*R2^2+6*E*R1*R2)*R3)*R4+(4*E*R2+E*R1)*R3^3+(6*E*R2^2+2*E*R1*R2)*R3^2)/(
((16*R2+4*R1)*R3+6*R2^2+2*R1*R2)*R4^3+((40*R2+10*R1)*R3^2+(36*R2^2+12*R1*R2)*R3)*R4^2+
((24*R2+6*R1)*R3^3+(30*R2^2+10*R1*R2)*R3^2)*R4+(4*R2+R1)*R3^4+(6*R2^2+2*R1*R2)*R3^3),Io6=(
((10*E*R2+2*E*R1)*R3+6*E*R2^2+2*E*R1*R2)*R4^2+((5*E*R2+E*R1)*R3^2+(6*E*R2^2+2*E*R1*R2)*R3)*R4)/(
((16*R2+4*R1)*R3+6*R2^2+2*R1*R2)*R4^3+((40*R2+10*R1)*R3^2+(36*R2^2+12*R1*R2)*R3)*R4^2+
((24*R2+6*R1)*R3^3+(30*R2^2+10*R1*R2)*R3^2)*R4+(4*R2+R1)*R3^4+(6*R2^2+2*R1*R2)*R3^3),Io7=(
((7*E*R2+E*R1)*R3+6*E*R2^2+2*E*R1*R2)*R4^2+4*E*R2*R3^2*R4+E*R2*R3^3)/(((16*R2+4*R1)*R3+6*R2^2+2*R1*R2)*
R4^3+((40*R2+10*R1)*R3^2+(36*R2^2+12*R1*R2)*R3)*R4^2+((24*R2+6*R1)*R3^3+(30*R2^2+10*R1*R2)*R3^2)*R4+
(4*R2+R1)*R3^4+(6*R2^2+2*R1*R2)*R3^3),Zo=(((16*R1*R2+4*R1^2)*R3+6*R1*R2^2+2*R1^2*R2)*R4^3+
((40*R1*R2+10*R1^2)*R3^2+(36*R1*R2^2+12*R1^2*R2)*R3)*R4^2+((24*R1*R2+6*R1^2)*R3^3+(30*R1*R2^2+10*R1^2*R2)*R3^2)*
R4+(4*R1*R2+R1^2)*R3^4+(6*R1*R2^2+2*R1^2*R2)*R3^3)/(((24*R2+8*R1)*R3+9*R2^2+6*R1*R2+R1^2)*R4^3+
((60*R2+20*R1)*R3^2+(54*R2^2+48*R1*R2+6*R1^2)*R3+18*R1*R2^2+6*R1^2*R2)*R4^2+
((36*R2+12*R1)*R3^3+(45*R2^2+40*R1*R2+5*R1^2)*R3^2+(24*R1*R2^2+8*R1^2*R2)*R3)*R4+(6*R2+2*R1)*R3^4+
(9*R2^2+8*R1*R2+R1^2)*R3^3+(6*R1*R2^2+2*R1^2*R2)*R3^2),Ic=(((36*E*R2+16*E*R1)*R3+6*E*R1*R2+2*E*R1^2)*R4^3
+((90*E*R2+40*E*R1)*R3^2+(36*E*R1*R2+12*E*R1^2)*R3)*R4^2+
((54*E*R2+24*E*R1)*R3^3+(30*E*R1*R2+10*E*R1^2)*R3^2)*R4+(9*E*R2+4*E*R1)*R3^4+(6*E*R1*R2+2*E*R1^2)*R3^3)/(
(24*R1*R2+8*R1^2)*R3*R4^3+(60*R1*R2+20*R1^2)*R3^2*R4^2+(36*R1*R2+12*R1^2)*R3^3*R4+(6*R1*R2+2*R1^2)*R3^4),
Ic1=(9*E*R2+4*E*R1)/(6*R1*R2+2*R1^2),Ic2=E/R1,Ic3=(3*E*R2)/(6*R1*R2+2*R1^2),Ic4=E/(6*R2+2*R1),Ic5=(3*E*R4^2+4*E*R3*R4+E*R3^2)/(4*R4^3+10*R3*R4^2+6*R3^2*R4+R3^3),Ic6=
(E*R4)/(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2),Ic7=(E*R4^2)/(4*R4^3+10*R3*R4^2+6*R3^2*R4+R3^3),Zc=((24*R1*R2+8*R1^2)*R3*R4^3+(60*R1*R2+20*R1^2)*
R3^2*R4^2+(36*R1*R2+12*R1^2)*R3^3*R4+(6*R1*R2+2*R1^2)*R3^4)/(((36*R2+16*R1)*R3+6*R1*R2+2*R1^2)*R4^3+
((90*R2+40*R1)*R3^2+(36*R1*R2+12*R1^2)*R3)*R4^2+((54*R2+24*R1)*R3^3+(30*R1*R2+10*R1^2)*R3^2)*R4+
(9*R2+4*R1)*R3^4+(6*R1*R2+2*R1^2)*R3^3),Ioa=(6*E*R4^2+(12*E*R3+6*E*R1)*R4+3*E*R3^2+2*E*R1*R3)/(4*R1*R4^2+8*R1*R3*R4+2*R1*R3^2),Ra=
(4*R1*R4^2+8*R1*R3*R4+2*R1*R3^2)/(6*R4^2+(12*R3+6*R1)*R4+3*R3^2+2*R1*R3),Rb=
((24*R2+8*R1)*R3*R4^3+(60*R2+20*R1)*R3^2*R4^2+(36*R2+12*R1)*R3^3*R4+(6*R2+2*R1)*R3^4)/((4*R3+6*R2+2*R1)*R4^3+10*R3^2*R4^2+6*R3^3*R4+R3^4),Rc=
(4*R2*R4^2+8*R2*R3*R4+2*R2*R3^2)/(2*R4^2+(4*R3+6*R2)*R4+R3^2+2*R2*R3)]]

得られたRa,Rb,Rcの式にR1,R2,R3,R4の値をそれぞれ代入すると

(%i170)
subst(15, R1, [Ra=(4*R1*R4^2+8*R1*R3*R4+2*R1*R3^2)/(6*R4^2+(12*R3+6*R1)*R4+3*R3^2
+2*R1*R3),Rb=((24*R2+8*R1)*R3*R4^3+(60*R2+20*R1)*R3^2*R4^2+(36*R2+12*R1)*R3^3*R4+(6*R2
+2*R1)*R3^4)/((4*R3+6*R2+2*R1)*R4^3+10*R3^2*R4^2+6*R3^3*R4+R3^4),Rc=(4*R2*R4^2+8*R2*R3*R4
+2*R2*R3^2)/(2*R4^2+(4*R3+6*R2)*R4+R3^2+2*R2*R3)]);
(%o170) [Ra=(60*R4^2+120*R3*R4+30*R3^2)/(6*R4^2+(12*R3+90)*R4+3*R3^2+30*R3),Rb=
((24*R2+120)*R3*R4^3+(60*R2+300)*R3^2*R4^2+(36*R2+180)*R3^3*R4+(6*R2+30)*R3^4)/((4*R3+6*R2+30)*R4^3+10*R3^2*R4^2+6*R3^3*R4+R3^4),Rc=(4*R2*R4^2+8*R2*R3*R4+2*R2*R3^2)/(2*R4^2+(4*R3+6*R2)*R4+R3^2+2*R2*R3)]
(%i171)
subst(5, R2, [Ra=(60*R4^2+120*R3*R4+30*R3^2)/(6*R4^2+(12*R3+90)*R4+3*R3^2+30*R3),Rb=((24*R2
+120)*R3*R4^3+(60*R2+300)*R3^2*R4^2+(36*R2+180)*R3^3*R4+(6*R2+30)*R3^4)/((4*R3+6*R2
+30)*R4^3+10*R3^2*R4^2+6*R3^3*R4+R3^4),Rc=(4*R2*R4^2+8*R2*R3*R4+2*R2*R3^2)/(2*R4^2
+(4*R3+6*R2)*R4+R3^2+2*R2*R3)]);
(%o171) [Ra=(60*R4^2+120*R3*R4+30*R3^2)/(6*R4^2+(12*R3+90)*R4+3*R3^2+30*R3),Rb=(240*R3*R4^3+600*R3^2*R4^2+360*R3^3*R4+60*R3^4)/((4*R3+60)*R4^3+10*R3^2*R4^2+6*R3^3*R4+R3^4),Rc=
(20*R4^2+40*R3*R4+10*R3^2)/(2*R4^2+(4*R3+30)*R4+R3^2+10*R3)]
(%i172)
subst(2, R3, [Ra=(60*R4^2+120*R3*R4+30*R3^2)/(6*R4^2+(12*R3+90)*R4+3*R3^2+30*R3),Rb=(240*R3*R4^3
+600*R3^2*R4^2+360*R3^3*R4+60*R3^4)/((4*R3+60)*R4^3+10*R3^2*R4^2+6*R3^3*R4+R3^4),Rc=(20*R4^2
+40*R3*R4+10*R3^2)/(2*R4^2+(4*R3+30)*R4+R3^2+10*R3)]);
(%o172) [Ra=(60*R4^2+240*R4+120)/(6*R4^2+114*R4+72),Rb=(480*R4^3+2400*R4^2+2880*R4+960)/(68*R4^3+40*R4^2+48*R4+16),Rc=(20*R4^2+80*R4+40)/(2*R4^2+38*R4+24)]
(%i173) subst(4, R4, [Ra=(60*R4^2+240*R4+120)/(6*R4^2+114*R4+72),Rb=(480*R4^3+2400*R4^2+2880*R4
+960)/(68*R4^3+40*R4^2+48*R4+16),Rc=(20*R4^2+80*R4+40)/(2*R4^2+38*R4+24)]);
(%o173) [Ra=85/26,Rb=204/13,Rc=85/26]
(%i174) float(%), numer;
(%o174) [Ra=3.269230769230769,Rb=15.69230769230769,Rc=3.269230769230769]

これも網目電流法と同じ結果が得られた。

従って

Ra=3.27 [Ω]
Rb=15.7 [Ω]
Rc=3.27 [Ω]

ということになる。

P.S

実際には最初の端子2-2'オープンのケースで端子２を流れる電流の式を間違えてしまって網目電流法と微妙に違う結果が出てしまっていた。

最後に出題の意図に沿ってΔ-Y変換の公式を使って解いてみよう。



最終的に単一のπ型（Δ型）抵抗ネットワークに合成するためにまず、Y接続を先にΔ接続に置き換えていく。

Y-Δ変換の公式により

R5=(R2*R2+R2*R2+R2*R2)/R2
=3*R2

R6=(R3*R4+R3*R4+R3*R3)/R4
=2*R3+R3*R3/R4

R7=(R3*R4+R3*R4+R3*R3/R3
=(2*R4+R3)

次ぎに中央部の並列接続抵抗をひとつに合成する。



R8=1/(1/R1+1/R5)
=R1*R5/(R1+R5)

R9=1/(1/R7+1/R4+1/R7)
=R4*R7/(2*R4+R7)

次ぎに中央に出来たY接続をΔ接続に変換する。



R10=(R1*R8+R1*R5+R8*R5)/R8
=(R1+R5)+R1*R5/R8

R11=(R1*R8+R1*R5+R8*R5)/R5
=(R1+R8)+R1*R8/R5

R12=(R1*R8+R1*R5+R8*R5)/R1
=(R8+R5)+R8*R5/R1

R13=(R6*R6+R6*R9+R6*R9)/R9
=2*R6+R6*R6/R9

R14=(R6*R6+R6*R9+R6*R9)/R6
=R6+2*R9

次ぎに並列接続抵抗をひとつに合成する。



R15=1/(1/R1+1/R11)
=R1*R11/(R1+R11)

R16=1/(1/R12+1/R5)
=R12*R5/(R12+R5)

R17=1/(1/R7+1/R14)
=R7*R14/(R7+R14)

最後に残った２つの並列接続されたΔ接続ネットワークを合成し一つにする。



Ra=1/(1/R15+1/R17)
=R15*R17/(R15+R17)

Rb=1/(1/R10+1/R13)
=R10*R13/(R10+R13)

Rc=1/(1/R16+1/R17)
=R16*R17/(R16+R17)

ということになる。

Ra,Rb,RcをR1,R2,R3,R4で表すように書き換えると

(%i175) [Ra=1/(1/R15+1/R17),Rb=1/(1/R10+1/R13),Rc=1/(1/R16+1/R17)];
(%o175) [Ra=1/(1/R17+1/R15),Rb=1/(1/R13+1/R10),Rc=1/(1/R17+1/R16)]
(%i176) subst(1/(1/R7+1/R14), R17, [Ra=1/(1/R17+1/R15),Rb=1/(1/R13+1/R10),Rc=1/(1/R17+1/R16)]);
(%o176) [Ra=1/(1/R7+1/R15+1/R14),Rb=1/(1/R13+1/R10),Rc=1/(1/R7+1/R16+1/R14)]
(%i177) subst(1/(1/R12+1/R5), R16, [Ra=1/(1/R7+1/R15+1/R14),Rb=1/(1/R13+1/R10),Rc=1/(1/R7
+1/R16+1/R14)]);
(%o177) [Ra=1/(1/R7+1/R15+1/R14),Rb=1/(1/R13+1/R10),Rc=1/(1/R7+1/R5+1/R14+1/R12)]
(%i178) subst(1/(1/R1+1/R11), R15, [Ra=1/(1/R7+1/R15+1/R14),Rb=1/(1/R13+1/R10),Rc=1/(1/R7
+1/R5+1/R14+1/R12)]);
(%o178) [Ra=1/(1/R7+1/R14+1/R11+1/R1),Rb=1/(1/R13+1/R10),Rc=1/(1/R7+1/R5+1/R14+1/R12)]
(%i179)
subst((R6*R6+R6*R9+R6*R9)/R6, R14, [Ra=1/(1/R7+1/R14+1/R11+1/R1),Rb=1/(1/R13+1/R10),Rc=1/(1/R7
+1/R5+1/R14+1/R12)]);
(%o179) [Ra=1/(R6/(2*R6*R9+R6^2)+1/R7+1/R11+1/R1),Rb=1/(1/R13+1/R10),Rc=1/(R6/(2*R6*R9+R6^2)+1/R7+1/R5+1/R12)]
(%i180) subst((R6*R6+R6*R9+R6*R9)/R9, R13, [Ra=1/(R6/(2*R6*R9+R6^2)+1/R7+1/R11+1/R1),Rb=1/(1/R13
+1/R10),Rc=1/(R6/(2*R6*R9+R6^2)+1/R7+1/R5+1/R12)]);
(%o180) [Ra=1/(R6/(2*R6*R9+R6^2)+1/R7+1/R11+1/R1),Rb=1/(R9/(2*R6*R9+R6^2)+1/R10),Rc=1/(R6/(2*R6*R9+R6^2)+1/R7+1/R5+1/R12)]
(%i181)
subst((R1*R8+R1*R5+R8*R5)/R1, R12, [Ra=1/(R6/(2*R6*R9+R6^2)+1/R7+1/R11+1/R1),Rb=1/(R9/(2*R6*R9
+R6^2)+1/R10),Rc=1/(R6/(2*R6*R9+R6^2)+1/R7+1/R5+1/R12)]);
(%o181) [Ra=1/(R6/(2*R6*R9+R6^2)+1/R7+1/R11+1/R1),Rb=1/(R9/(2*R6*R9+R6^2)+1/R10),Rc=1/(R6/(2*R6*R9+R6^2)+R1/(R5*R8+R1*R8+R1*R5)+1/R7+1/R5)]
(%i182)
subst((R1*R8+R1*R5+R8*R5)/R5, R11, [Ra=1/(R6/(2*R6*R9+R6^2)+1/R7+1/R11+1/R1),Rb=1/(R9/(2*R6*R9
+R6^2)+1/R10),Rc=1/(R6/(2*R6*R9+R6^2)+R1/(R5*R8+R1*R8+R1*R5)+1/R7+1/R5)]);
(%o182) [Ra=1/(R6/(2*R6*R9+R6^2)+R5/(R5*R8+R1*R8+R1*R5)+1/R7+1/R1),Rb=1/(R9/(2*R6*R9+R6^2)+1/R10),Rc=
1/(R6/(2*R6*R9+R6^2)+R1/(R5*R8+R1*R8+R1*R5)+1/R7+1/R5)]
(%i183) subst((R1*R8+R1*R5+R8*R5)/R8, R10, [Ra=1/(R6/(2*R6*R9+R6^2)+R5/(R5*R8+R1*R8+R1*R5)
+1/R7+1/R1),Rb=1/(R9/(2*R6*R9+R6^2)+1/R10),Rc=1/(R6/(2*R6*R9+R6^2)+R1/(R5*R8+R1*R8
+R1*R5)+1/R7+1/R5)]);
(%o183) [Ra=1/(R6/(2*R6*R9+R6^2)+R5/(R5*R8+R1*R8+R1*R5)+1/R7+1/R1),Rb=1/(R9/(2*R6*R9+R6^2)+R8/(R5*R8+R1*R8+R1*R5)),Rc=
1/(R6/(2*R6*R9+R6^2)+R1/(R5*R8+R1*R8+R1*R5)+1/R7+1/R5)]
(%i184) subst(1/(1/R7+1/R4+1/R7), R9, [Ra=1/(R6/(2*R6*R9+R6^2)+R5/(R5*R8+R1*R8+R1*R5)+1/R7
+1/R1),Rb=1/(R9/(2*R6*R9+R6^2)+R8/(R5*R8+R1*R8+R1*R5)),Rc=1/(R6/(2*R6*R9+R6^2)+R1/(R5*R8
+R1*R8+R1*R5)+1/R7+1/R5)]);
(%o184) [Ra=1/(R5/(R5*R8+R1*R8+R1*R5)+1/R7+R6/((2*R6)/(2/R7+1/R4)+R6^2)+1/R1),Rb=1/(R8/(R5*R8+R1*R8+R1*R5)+1/(((2*R6)/(2/R7+1/R4)+R6^2)*(2/R7+1/R4))),Rc=
1/(R1/(R5*R8+R1*R8+R1*R5)+1/R7+R6/((2*R6)/(2/R7+1/R4)+R6^2)+1/R5)]
(%i185)
subst(1/(1/R1+1/R5), R8, [Ra=1/(R5/(R5*R8+R1*R8+R1*R5)+1/R7+R6/((2*R6)/(2/R7+1/R4)
+R6^2)+1/R1),Rb=1/(R8/(R5*R8+R1*R8+R1*R5)+1/(((2*R6)/(2/R7+1/R4)+R6^2)*(2/R7+1/R4))),Rc=1/(R1/(R5*R8
+R1*R8+R1*R5)+1/R7+R6/((2*R6)/(2/R7+1/R4)+R6^2)+1/R5)]);
(%o185) [Ra=1/(1/R7+R6/((2*R6)/(2/R7+1/R4)+R6^2)+R5/(R5/(1/R5+1/R1)+R1*R5+R1/(1/R5+1/R1))+1/R1),Rb=1/(1/(((2*R6)/(2/R7+1/R4)+R6^2)*(2/R7+1/R4))+1/((1/R5+1/R1)*(R5/(1/R5+1/R1)+R1*R5+R1/(1/R5+1/R1)))),
Rc=1/(1/R7+R6/((2*R6)/(2/R7+1/R4)+R6^2)+R1/(R5/(1/R5+1/R1)+R1*R5+R1/(1/R5+1/R1))+1/R5)]
(%i186) subst((R3*R4+R3*R4+R3*R3)/R3, R7, [Ra=1/(1/R7+R6/((2*R6)/(2/R7+1/R4)+R6^2)+R5/(R5/(1/R5
+1/R1)+R1*R5+R1/(1/R5+1/R1))+1/R1),Rb=1/(1/(((2*R6)/(2/R7+1/R4)+R6^2)*(2/R7+1/R4))
+1/((1/R5+1/R1)*(R5/(1/R5+1/R1)+R1*R5+R1/(1/R5+1/R1)))),Rc=1/(1/R7+R6/((2*R6)/(2/R7
+1/R4)+R6^2)+R1/(R5/(1/R5+1/R1)+R1*R5+R1/(1/R5+1/R1))+1/R5)]);
(%o186) [Ra=1/(R6/(R6^2+(2*R6)/((2*R3)/(2*R3*R4+R3^2)+1/R4))+R5/(R5/(1/R5+1/R1)+R1*R5+R1/(1/R5+1/R1))+R3/(2*R3*R4+R3^2)+1/R1),Rb=
1/(1/(((2*R3)/(2*R3*R4+R3^2)+1/R4)*(R6^2+(2*R6)/((2*R3)/(2*R3*R4+R3^2)+1/R4)))+1/((1/R5+1/R1)*(R5/(1/R5+1/R1)+R1*R5+R1/(1/R5+1/R1)))),Rc=
1/(R6/(R6^2+(2*R6)/((2*R3)/(2*R3*R4+R3^2)+1/R4))+R1/(R5/(1/R5+1/R1)+R1*R5+R1/(1/R5+1/R1))+1/R5+R3/(2*R3*R4+R3^2))]
(%i187)
subst((R3*R4+R3*R4+R3*R3)/R4, R6, [Ra=1/(R6/(R6^2+(2*R6)/((2*R3)/(2*R3*R4+R3^2)+1/R4))
+R5/(R5/(1/R5+1/R1)+R1*R5+R1/(1/R5+1/R1))+R3/(2*R3*R4+R3^2)+1/R1),Rb=1/(1/(((2*R3)/(2*R3*R4
+R3^2)+1/R4)*(R6^2+(2*R6)/((2*R3)/(2*R3*R4+R3^2)+1/R4)))+1/((1/R5+1/R1)*(R5/(1/R5
+1/R1)+R1*R5+R1/(1/R5+1/R1)))),Rc=1/(R6/(R6^2+(2*R6)/((2*R3)/(2*R3*R4+R3^2)+1/R4))
+R1/(R5/(1/R5+1/R1)+R1*R5+R1/(1/R5+1/R1))+1/R5+R3/(2*R3*R4+R3^2))]);
(%o187) [Ra=1/(R5/(R5/(1/R5+1/R1)+R1*R5+R1/(1/R5+1/R1))+(2*R3*R4+R3^2)/(R4*((2*(2*R3*R4+R3^2))/(R4*((2*R3)/(2*R3*R4+R3^2)+1/R4))+(2*R3*R4+R3^2)^2/R4^2))+R3/(2*R3*R4+R3^2)+1/R1),Rb=
1/(1/((1/R5+1/R1)*(R5/(1/R5+1/R1)+R1*R5+R1/(1/R5+1/R1)))+1/(((2*R3)/(2*R3*R4+R3^2)+1/R4)*((2*(2*R3*R4+R3^2))/(R4*((2*R3)/(2*R3*R4+R3^2)+1/R4))+(2*R3*R4+R3^2)^2/R4^2))),Rc=
1/(R1/(R5/(1/R5+1/R1)+R1*R5+R1/(1/R5+1/R1))+1/R5+(2*R3*R4+R3^2)/(R4*((2*(2*R3*R4+R3^2))/(R4*((2*R3)/(2*R3*R4+R3^2)+1/R4))+(2*R3*R4+R3^2)^2/R4^2))+R3/(2*R3*R4+R3^2))]
(%i188)
subst((R2*R2+R2*R2+R2*R2)/R2, R5, [Ra=1/(R5/(R5/(1/R5+1/R1)+R1*R5+R1/(1/R5+1/R1))
+(2*R3*R4+R3^2)/(R4*((2*(2*R3*R4+R3^2))/(R4*((2*R3)/(2*R3*R4+R3^2)+1/R4))+(2*R3*R4
+R3^2)^2/R4^2))+R3/(2*R3*R4+R3^2)+1/R1),Rb=1/(1/((1/R5+1/R1)*(R5/(1/R5+1/R1)+R1*R5
+R1/(1/R5+1/R1)))+1/(((2*R3)/(2*R3*R4+R3^2)+1/R4)*((2*(2*R3*R4+R3^2))/(R4*((2*R3)/(2*R3*R4
+R3^2)+1/R4))+(2*R3*R4+R3^2)^2/R4^2))),Rc=1/(R1/(R5/(1/R5+1/R1)+R1*R5+R1/(1/R5+1/R1))
+1/R5+(2*R3*R4+R3^2)/(R4*((2*(2*R3*R4+R3^2))/(R4*((2*R3)/(2*R3*R4+R3^2)+1/R4))+(2*R3*R4
+R3^2)^2/R4^2))+R3/(2*R3*R4+R3^2))]);
(%o188) [Ra=1/((2*R3*R4+R3^2)/(R4*((2*(2*R3*R4+R3^2))/(R4*((2*R3)/(2*R3*R4+R3^2)+1/R4))+(2*R3*R4+R3^2)^2/R4^2))+R3/(2*R3*R4+R3^2)+(3*R2)/((3*R2)/(1/(3*R2)+1/R1)+3*R1*R2+R1/(1/(3*R2)+1/R1))+1/R1),Rb=
1/(1/(((2*R3)/(2*R3*R4+R3^2)+1/R4)*((2*(2*R3*R4+R3^2))/(R4*((2*R3)/(2*R3*R4+R3^2)+1/R4))+(2*R3*R4+R3^2)^2/R4^2))+1/((1/(3*R2)+1/R1)*((3*R2)/(1/(3*R2)+1/R1)+3*R1*R2+R1/(1/(3*R2)+1/R1)))),Rc=
1/((2*R3*R4+R3^2)/(R4*((2*(2*R3*R4+R3^2))/(R4*((2*R3)/(2*R3*R4+R3^2)+1/R4))+(2*R3*R4+R3^2)^2/R4^2))+R3/(2*R3*R4+R3^2)+R1/((3*R2)/(1/(3*R2)+1/R1)+3*R1*R2+R1/(1/(3*R2)+1/R1))+1/(3*R2))]
(%i189) factor(%);
(%o189) [Ra=(2*R1*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2))/(6*R4^2+12*R3*R4+6*R1*R4+3*R3^2+2*R1*R3),Rb=(2*(3*R2+R1)*R3*(2*R4+R3)*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2))/(4*R3*R4^3+6*R2*R4^3+2*R1*R4^3+10*R3^2*R4^2+6*R3^3*R4+R3^4)
,Rc=(2*R2*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2))/(2*R4^2+4*R3*R4+6*R2*R4+R3^2+2*R2*R3)]

最終的に得られたRa,Rb,Rcの式にR1,R2,R3,R4の値をそれぞれ代入すると

(%i190)
subst(15, R1, [Ra=(2*R1*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2))/(6*R4^2+12*R3*R4+6*R1*R4+3*R3^2+2*R1*R3),Rb=(2*(3*R2
+R1)*R3*(2*R4+R3)*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2))/(4*R3*R4^3+6*R2*R4^3+2*R1*R4^3+10*R3^2*R4^2
+6*R3^3*R4+R3^4),Rc=(2*R2*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2))/(2*R4^2+4*R3*R4+6*R2*R4+R3^2+2*R2*R3)]);
(%o190) [Ra=(30*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2))/(6*R4^2+12*R3*R4+90*R4+3*R3^2+30*R3),Rb=(2*(3*R2+15)*R3*(2*R4+R3)*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2))/(4*R3*R4^3+6*R2*R4^3+30*R4^3+10*R3^2*R4^2+6*R3^3*R4+R3^4),Rc
=(2*R2*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2))/(2*R4^2+4*R3*R4+6*R2*R4+R3^2+2*R2*R3)]
(%i191)
subst(5, R2, [Ra=(30*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2))/(6*R4^2+12*R3*R4+90*R4+3*R3^2+30*R3),Rb=(2*(3*R2
+15)*R3*(2*R4+R3)*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2))/(4*R3*R4^3+6*R2*R4^3+30*R4^3+10*R3^2*R4^2
+6*R3^3*R4+R3^4),Rc=(2*R2*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2))/(2*R4^2+4*R3*R4+6*R2*R4+R3^2+2*R2*R3)]);
(%o191) [Ra=(30*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2))/(6*R4^2+12*R3*R4+90*R4+3*R3^2+30*R3),Rb=(60*R3*(2*R4+R3)*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2))/(4*R3*R4^3+60*R4^3+10*R3^2*R4^2+6*R3^3*R4+R3^4),Rc=
(10*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2))/(2*R4^2+4*R3*R4+30*R4+R3^2+10*R3)]
(%i192)
subst(2, R3, [Ra=(30*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2))/(6*R4^2+12*R3*R4+90*R4+3*R3^2+30*R3),Rb=(60*R3*(2*R4
+R3)*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2))/(4*R3*R4^3+60*R4^3+10*R3^2*R4^2+6*R3^3*R4+R3^4),Rc=(10*(2*R4^2
+4*R3*R4+R3^2))/(2*R4^2+4*R3*R4+30*R4+R3^2+10*R3)]);
(%o192) [Ra=(30*(2*R4^2+8*R4+4))/(6*R4^2+114*R4+72),Rb=(120*(2*R4+2)*(2*R4^2+8*R4+4))/(68*R4^3+40*R4^2+48*R4+16),Rc=(10*(2*R4^2+8*R4+4))/(2*R4^2+38*R4+24)]
(%i193) subst(4, R4, [Ra=(30*(2*R4^2+8*R4+4))/(6*R4^2+114*R4+72),Rb=(120*(2*R4+2)*(2*R4^2
+8*R4+4))/(68*R4^3+40*R4^2+48*R4+16),Rc=(10*(2*R4^2+8*R4+4))/(2*R4^2+38*R4+24)]);
(%o193) [Ra=85/26,Rb=204/13,Rc=85/26]
(%i194) float(%), numer;
(%o194) [Ra=3.269230769230769,Rb=15.69230769230769,Rc=3.269230769230769]

従って

Ra=3.27 [Ω]
Rb=15.7 [Ω]
Rc=3.27 [Ω]

一方端子2-2'がオープンの時とクローズの時の回路インピーダンスはそれぞれ

Zo=1/(1/Ra+1/(Rb+Rc))
=1/(1/3.27+1/(15.7+3.27))
=2.79 [Ω]

Zc=1/(1/Ra+1/Rb)
=1/(1/3.27+1/15.7)
=2.71 [Ω]

ということになる。

他の解法によるものと同じ結果が得られた。

以降は相互誘導回路に関する問題が３０問ほど続く。

相互誘導作用を発見したのは英国のマイケル・ファラデーであるが、同時期に米国でヘンリーも研究していたが発表がファラデーの方が先だったのでファラデーの功績とされている。ヘンリーはファラデーが発見しなかった自己誘導作用についてその功績を認められて、インダクタンスの単位であるHにその名を残している。ファラデーは静電容量の単位であるFにその名を刻んでいる。

交流回路でつきもののインダクタンスの誘導作用は目に見えないためになかなか直感的にピンとこない。しかしなんとか目に見えないものでも予め計算で予測したりできないと電気回路の設計や解析は不可能になってしまう。ファラデーの功績は後にマックスウェルの電磁気学として大成されて多くの近代科学者の卵や技術者の卵が学ばされるはめになる。これも電磁気作用を計算で求めることが近代技術では必須になっているためである。

したがって一見して作用が目に見えないけど、ある一定の法則がある相互誘導作用についても計算によってその動作が予測できるようにマスターしないといけない。詳しい理論的な背景は電磁気学を学ぶ時に譲るとして、ここでは今まで知っている電気回路理論によって相互誘導回路の等価回路を導く問題を最初に解くことになる。



問題の趣旨は理論の時に出てきた相互誘導回路と等価回路が本当に等価であることを証明せよというもの。

これは困った、図に書いてしまうとあまりに自明であるため、証明というと答えを知っているだけに難しい。

調べてみるといくつか方法はあるのだが、やはり２つの回路の方程式をたてて、それらが等価であることを示すのが良いようだ。

最初に左の相互誘導回路について

e1=jωL1*i1+jωM*i2

e2=jωL2*i2+jωM*i1

が成り立つ。

次ぎに右の等価回路について

e1=Z1*i1+Z2*(i1+i2)
=(Z1+Z2)*i1+Z2*i2

e2=Z3*i2+Z2*(i1+i2)
=(Z3+Z2)*i2+Z2*i1

が成り立つ。

このままだと未知数がi1,i2,Z1,Z2,Z3の５つになり方程式があと一つ足らないため解けない。

しかし上記の式を後に学ぶマトリックスで表すと

[e1,e2]=[[jωL1,jωM],[jωM,jωL2]].[i1,i2]

[e1,e2]=[[(Z1+Z2),Z2],[Z2,(Z3+Z2)]].[i1,i2]

と書き直すことが出来る。この２つの式が等価であるためには

[[jωL1,jωM],[jωM,jωL2]]=[[(Z1+Z2),Z2],[Z2,(Z3+Z2)]]

でなければならない。２つの行列が等しいのは各要素が等しくなければならず

(Z1+Z2)=jωL1
Z2=jωM
(Z3+Z2)=jωL2

が成り立たなければならない。これはちょうどZ1,Z2,Z3に関する３元連立方程式なのでこれを解くと

(%i23) solve([Z1+Z2=%i*o*L1,Z2=%i*o*M,Z3+Z2=%i*o*L2],[Z1,Z2,Z3]);
(%o23) [[Z1=%i*o*L1-%i*o*M,Z2=%i*o*M,Z3=%i*o*(L2-M)]]

Z1=jω*(L1-M)
Z2=jωM
Z3=jω*(L2-M)

ということになり、等価回路と一致する。

著者の解では行列は使用せずに式を巧妙に書き換えてi1,i2の項が等しくなる関係を直感的に見いだす方法で行っている。聡明な読者であれば、先の４つの方程式を見比べるだけでZ1,Z2,Z3に関する三元連立方程式が思い浮かぶだろう。

あともうひとつ元の４つの回路方程式にひとつ追加して解けないかとやってみたがうまくいかない。読者の課題としよう。

現実の相互誘導回路はこのような理想的なものとは少し異なっている。コイルの巻き線には直列抵抗要素があり、磁気コアには鉄損がある。これらの要素を加味すると違った等価回路となる。電力回路とかで用いられる逆L字型等価回路がそれであるが、本書ではそれは扱っていない。電力回路に関する用語とかが電気回路の用語や概念と一致しない部分があるため混乱を避ける目的だと思われる。