次ぎはこれも交流ブリッジなのだろうかと思えるCampbell周波数ブリッジの問題。



検索すると覚悟はしていたけどやっぱり世界中のあちこちにキャンベル橋というのがあるらしい。それと真っ先に出てくるのがGren Campbell作詞の有名なBridge over trouble water。昔サイモンとガーファンクルでヒットしたよね。みんな知らないか。目的のCampbell周波数ブリッジに関する記事は中国の大学の論文しかなかった。日本発の記事は皆無。とほほ。

以下の関係が成り立つ

(jωL1-j/ωC)*I1+(-jωM-(-j/ωC))*I=E

(jωL2-j/ωC)*I+(-jωM-(-j/ωC))*I1=0

これをI1,Iについて解くと

(%i12) e1:(%i*o*L1-%i/(o*C))*I1+(-%i*o*M-(-%i/(o*C)))*I=E;
(%o12) I*(%i/(o*C)-%i*o*M)+I1*(%i*o*L1-%i/(o*C))=E
(%i13) e2:(%i*o*L2-%i/(o*C))*I+(-%i*o*M-(-%i/(o*C)))*I1=0;
(%o13) I1*(%i/(o*C)-%i*o*M)+I*(%i*o*L2-%i/(o*C))=0
(%i14) solve([e1,e2],[I1,I]);
(%o14) [[I1=(E*(%i*o^2*C*L2-%i))/(o^3*C*M^2-2*o*M+L1*(o-o^3*C*L2)+o*L2),I=(%i*o^2*C*E*M-%i*E)/(o^3*C*M^2-2*o*M+L1*(o-o^3*C*L2)+o*L2)]]
(%i15) factor(%);
(%o15) [[I1=(%i*E*(o^2*C*L2-1))/(o*(o^2*C*M^2-2*M-o^2*C*L1*L2+L2+L1)),I=(%i*E*(o^2*C*M-1))/(o*(o^2*C*M^2-2*M-o^2*C*L1*L2+L2+L1))]]

I=(j*E*(ω^2*C*M-1))/(ω*(ω^2*C*M^2-2*M-ω^2*C*L1*L2+L2+L1))

I=0となるためには

ω^2*C*M-1=0

∴ω=1/sqrt(C*M)

ということになる。

最初Mの符号を正として式を立てて解いたらω^2*C*M+1=0が条件となり、Mの符号は負でなければならないとわかる。

次ぎも相互誘導回路を伴った交流ブリッジの問題。



Sを閉じてもSに電流が流れない条件を導けというもの。

以下の関係が成り立つ

2*(jωL+(-j/ωC))*I1-2*jωM*I1-jωL*I3+jωM*I3-(-j/ωC)*I2=0

(-j/ωC)*I2-(-j/ωC)*I1=E

jωL*I3-jωL*I1+jωM*I1=0

Is=I3-I2

これをI1,I2,I3,Isについて解くと

(%i22) e1:2*(%i*o*L+(-%i/(o*C))-%i*o*M)*I1-%i*o*L*I3+%i*o*M*I3-(-%i/(o*C))*I2=0;
(%o22) 2*I1*(-%i*o*M+%i*o*L-%i/(o*C))+%i*o*I3*M-%i*o*I3*L+(%i*I2)/(o*C)=0
(%i23) e2:(-%i/(o*C))*I2-(-%i/(o*C))*I1=E;
(%o23) (%i*I1)/(o*C)-(%i*I2)/(o*C)=E
(%i24) e3:%i*o*L*I3-%i*o*L*I1+%i*o*M*I1=0;
(%o24) %i*o*I1*M+%i*o*I3*L-%i*o*I1*L=0
(%i25) e4:Is=I3-I2;
(%o25) Is=I3-I2
(%i26) solve([e1,e2,e3,e4],[I1,I2,I3,Is]);
(%o26) [[I1=-(o*C*E*L)/(%i*o^2*C*M^2-%i*o^2*C*L^2+%i*L),I2=-(o^3*C^2*E*M^2-o^3*C^2*E*L^2+2*o*C*E*L)/(%i*o^2*C*M^2-%i*o^2*C*L^2+%i*L),I3=
(o*C*E*M-o*C*E*L)/(%i*o^2*C*M^2-%i*o^2*C*L^2+%i*L),Is=(o^3*C^2*E*M^2+o*C*E*M-o^3*C^2*E*L^2+o*C*E*L)/(%i*o^2*C*M^2-%i*o^2*C*L^2+%i*L)]]
(%i27) factor(%);
(%o27) [[I1=(%i*o*C*E*L)/(o^2*C*M^2-o^2*C*L^2+L),I2=(%i*o*C*E*(o^2*C*M^2-o^2*C*L^2+2*L))/(o^2*C*M^2-o^2*C*L^2+L),I3=-(%i*o*C*E*(M-L))/(o^2*C*M^2-o^2*C*L^2+L),Is=-
(%i*o*C*E*(M+L)*(o^2*C*M-o^2*C*L+1))/(o^2*C*M^2-o^2*C*L^2+L)]]

従ってIs=0となるためには

M+L=0

∴M=-L

ということになる。

もう一つの項からも

ω^2*C*M-ω^2*C*L+1=0

という条件があるがこれは整理すると

ω^2*C*(M-L)+1=0

ω=1/sqrt(C*(L-M))

ということになる。これは漏洩インダクタンス(L-M)とCとの直列共振点である。

著者の解にはこれは含まれていないが、たてた回路方程式がどっか間違っているのだろうか？　それとも著者はこの条件を見落としているのか？

試しに相互誘導回路を等価回路に置き換えて式を立ててみると



以下の関係が成り立つ

2*(jω*(L-M)+(-j/ωC))*I1-jωM*I-(-j/ωC)*I2=0

(R+(-j/ωC))*I2-R*I-(-j/ωC)*I1=E

(R+jωM+jω*(L-M))*I-jω*(L-M)*I1-R*I2=0

Is=I2-I

これをI,I1,I2,Isについて解くと
(%i47) e1:2*(%i*o*(L-M)+(-%i/(o*C)))*I1-%i*o*(L-M)*I-(-%i/(o*C))*I2=0;
(%o47) -%i*o*I*(L-M)+2*I1*(%i*o*(L-M)-%i/(o*C))+(%i*I2)/(o*C)=0
(%i48) e2:(%i*o*M+%i*o*(L-M)+R)*I-%i*o*(L-M)*I1-R*I2=0;
(%o48) I*(R+%i*o*M+%i*o*(L-M))-I2*R-%i*o*I1*(L-M)=0
(%i49) e3:(R+(-%i/(o*C)))*I2-R*I-(-%i/(o*C))*I1=E;
(%o49) I2*(R-%i/(o*C))-I*R+(%i*I1)/(o*C)=E
(%i50) e4:Is=I2-I;
(%o50) Is=I2-I
(%i51) solve([e1,e2,e3,e4],[I,I1,I2,Is]);
(%o51) [[I=-(M*(2*%i*o^3*C^2*E*R+o^2*C*E)+L*(-2*%i*o^3*C^2*E*R-o^2*C*E)+2*%i*o*C*E*R)/(M^2*(o^4*C^2*R-%i*o^3*C)+L^2*(%i*o^3*C-o^4*C^2*R)+L*(2*o^2*C*R-%i*o)-R),I1=-
(L*(-%i*o^3*C^2*E*R-o^2*C*E)+%i*o^3*C^2*E*M*R+%i*o*C*E*R)/(M^2*(o^4*C^2*R-%i*o^3*C)+L^2*(%i*o^3*C-o^4*C^2*R)+L*(2*o^2*C*R-%i*o)-R),I2=
(L*(2*%i*o^3*C^2*E*R+2*o^2*C*E)-2*%i*o^3*C^2*E*M*R-2*%i*o*C*E*R+o^4*C^2*E*M^2-o^4*C^2*E*L^2)/(M^2*(o^4*C^2*R-%i*o^3*C)+L^2*(%i*o^3*C-o^4*C^2*R)+L*(2*o^2*C*R-%i*o)-R),Is=
(o^4*C^2*E*M^2+o^2*C*E*M-o^4*C^2*E*L^2+o^2*C*E*L)/(M^2*(o^4*C^2*R-%i*o^3*C)+L^2*(%i*o^3*C-o^4*C^2*R)+L*(2*o^2*C*R-%i*o)-R)]]
(%i52) factor(%);
(%o52) [[I=-(o*C*E*(2*%i*o^2*C*M*R-2*%i*o^2*C*L*R+2*%i*R+o*M-o*L))/(o^4*C^2*M^2*R-o^4*C^2*L^2*R+2*o^2*C*L*R-R-%i*o^3*C*M^2+%i*o^3*C*L^2-%i*o*L),I1=-
(o*C*E*(%i*o^2*C*M*R-%i*o^2*C*L*R+%i*R-o*L))/(o^4*C^2*M^2*R-o^4*C^2*L^2*R+2*o^2*C*L*R-R-%i*o^3*C*M^2+%i*o^3*C*L^2-%i*o*L),I2=-
(o*C*E*(2*%i*o^2*C*M*R-2*%i*o^2*C*L*R+2*%i*R-o^3*C*M^2+o^3*C*L^2-2*o*L))/(o^4*C^2*M^2*R-o^4*C^2*L^2*R+2*o^2*C*L*R-R-%i*o^3*C*M^2+%i*o^3*C*L^2-%i*o*L),Is=
(o^2*C*E*(M+L)*(o^2*C*M-o^2*C*L+1))/(o^4*C^2*M^2*R-o^4*C^2*L^2*R+2*o^2*C*L*R-R-%i*o^3*C*M^2+%i*o^3*C*L^2-%i*o*L)]]

やはりIs=0となる条件は

M+L=0

ω^2*C*M-ω^2*C*L+1=0

と２つであることがわかる。

第一の条件から

∴M=-L

第二の条件から

∴ω=1/sqrt(C*(L-M))

ということになる。

P.S

試しにIsの実効値をR=0の条件でプロットしてみると、やはり共振点付近(M=1uH,L=1.82uH,C=0.001uFの時約175.757MHz）で電流がぐっと落ち込んでいるのが確認できる。式の上では分子が０となる点なのでこれも条件としては間違いがないと思われる。ピークがある点は分母の式が０となる条件（f=(1/2π)*sqrt(L/C*(L^2-M^2)),上と同じ回路定数で約141.197MHz)でこちらは電流が∞になることを意味する。

(%i51)
plot2d([(%pi^2*x^2*sqrt(((-1.0599680000000002*10^-34*%pi^4*x^4+1.4559999999999996*10^
-17*%pi^2*x^2+1)/1000000000000+1.9155190015999995*10^-46*%pi^4*x^4+(3.6399999999999995*10^
-6-2.6499199999999998*10^-23*%pi^2*x^2)/1000000-4.0228543999999993*10^-29*%pi^2*x^2
+3.3123999999999983*10^-12)/((5.8239999999999998*10^-17*%pi^4*x^4-4.2398720000000008*10^
-34*%pi^6*x^6)/1000000000000+7.662076006399998*10^-46*%pi^6*x^6-1.9291417599999991*10^
-28*%pi^4*x^4+1.3249599999999992*10^-11*%pi^2*x^2)))/(250000000000)], [x,1000,10^9],
[gnuplot_preamble, "set logscale x; set grid;set logscale y;"])$



回路シミュレーターで同じ定数の等価回路のAC特性を取ってみると共振周波数が違うが同じ傾向が確認できる。

不思議な回路である。

ただよく考えたらスイッチを開いた状態(R=∞）の場合には、Isの式の分母の実数部が∞になるのでIsは０になってしまうことになる。これも問題としてはなんだかなということになる。

もはや禁断の領域へ踏み込んでしまったか。

この問題は面白いので後日実験してみよう。

次ぎは交流ブリッジを応用した損失のあるケーブルの容量の測定回路の問題。



交流ブリッジの平衡条件

Z1*Z4=Z2*Z3

∴Z4=Z2*Z3/Z1

これに

Z1=1/(1/P+jωC)
Z2=Q
Z3=1/jωCs

を代入すると

Z4=Q*(1/jωCs)/(1/(1/P+jωC))
=-j*(Q/ωCs)/(P/(1+jωC*P))
=-j*(Q/ωCs)*(1+jωC*P)/P
=(Q/ωCs)*(ωC*P-j)/P
=Q*C/Cs-j*Q/ωCs*P

一方

Z4=1/(1/Rx+jωCx)
=Rx/(1+jωCx*Rx)
=Rx*(1-jωCx*Rx)/(1+ω^2*Cx^2*Rx^2)
=(Rx-jωCx*Rx^2)/(1+ω^2*Cx^2*Rx^2)

２つの式が等価であるためにはそれぞれの実数部と虚数部が等しくなければならず

Q*C/Cs=Rx/(1+ω^2*Cx^2*Rx^2)

Q/ωCs*P=ωCx*Rx^2/(1+ω^2*Cx^2*Rx^2)

が成り立つ必要がある。

上記の２式をCx,Rxに関する連立方程式として解くと

(%i71) e1:Q*C/Cs=Rx/(1+o^2*Cx^2*Rx^2);
(%o71) (C*Q)/Cs=Rx/(Cx^2*o^2*Rx^2+1)
(%i72) e2:Q/(o*Cs*P)=o*Cx*Rx^2/(1+o^2*Cx^2*Rx^2);
(%o72) Q/(Cs*o*P)=(Cx*o*Rx^2)/(Cx^2*o^2*Rx^2+1)
(%i73) solve([e1,e2],[Cx,Rx]);
(%o73) [[Cx=(Cs*P)/((o^2*C^2*P^2+1)*Q),Rx=((o^2*C^2*P^2+1)*Q)/(Cs*o^2*C*P^2)]]

従って

Cx=(Cs*P)/((ω^2*C^2*P^2+1)*Q)

Rx=((ω^2*C^2*P^2+1)*Q)/(Cs*ω^2*C*P^2)

ということになる。

従って力率cosφは

cosφ=Rx/|Z4|
=Rx/sqrt(Rx^2/(Cx^2*ω^2*Rx^2+1)^2+(Cx^2*ω^2*Rx^4)/(Cx^2*ω^2*Rx^2+1)^2)
=Rx*(Cx^2*ω^2*Rx^2+1)/sqrt(Rx^2+(Cx^2*ω^2*Rx^4))
=Rx*(Cx^2*ω^2*Rx^2+1)/(Rx*sqrt(1+(Cx^2*ω^2*Rx^2)))
=(Cx^2*ω^2*Rx^2+1)/sqrt(1+(Cx^2*ω^2*Rx^2))
=1/sqrt(1+(Cx^2*ω^2*Rx^2))
=1/sqrt(1+(((Cs*P)/((ω^2*C^2*P^2+1)*Q))^2*ω^2*(((ω^2*C^2*P^2+1)*Q)/(Cs*ω^2*C*P^2))^2)
=1/sqrt(1+((Cs*P)^2*ω^2/(Cs*ω^2*C*P^2))^2)
=1/sqrt(1+1/(ω*C*P)^2)
=ω*C*P/sqrt(1+ω^2*C^2*P^2)

ということになる。

著者は平衡条件の式をアドミッタンスの式に直して解いている。そっちの方が素直に解ける。

次ぎも相互誘導回路のある難問奇問。



平衡時のLをR1,R2,R3,R4,Mでその時の角周波数をL,R1,R2,R3,R4を用いて表せというもの。

平衡条件を導くために検流計を流れる電流Igの式を導くことにする。

以下の関係が成り立つ。

R1*I1+R3*(I1-Ig)-jωM*Ig=E

R2*I2+(R4+jωL)*(I2+Ig)-jωM*Ig=E

R1*I1-jωM*(I1+I2)-R2*I2=0

これをI1,I2,Igについて解くと

(%i10) e1:R1*I1+R3*(I1-Ig)-%i*o*M*Ig=E;
(%o10) (I1-Ig)*R3+I1*R1-%i*Ig*o*M=E
(%i11) e2:R2*I2+(R4+%i*o*L)*(I2+Ig)-%i*o*M*Ig=E;
(%o11) (I2+Ig)*(R4+%i*o*L)+I2*R2-%i*Ig*o*M=E
(%i12) e3:R1*I1-%i*o*M*(I1+I2)-R2*I2=0;
(%o12) -I2*R2+I1*R1-%i*o*(I2+I1)*M=0
(%i13) solve([e1,e2,e3],[I1,I2,Ig]);
(%o13) [[I1=(E*(R2*R4+%i*o*L*R2)+E*M*(%i*o*R4-o^2*L)+(E*R2+%i*o*E*M)*R3)/(R1*
(M*(2*%i*o*R4-2*o^2*L)+R2*R4+%i*o*L*R2+o^2*M^2)+R3*
(R1*(R4+R2+%i*o*L)+R2*R4-2*%i*o*M*R2+%i*o*L*R2+o^2*M^2)+M^2*(o^2*(R4+R2)+%i*o^3*L)),I2=(E*M*
(o^2*L-%i*o*R4)+E*R1*(R4+%i*o*L)+(E*R1-%i*o*E*M)*R3)/(R1*
(M*(2*%i*o*R4-2*o^2*L)+R2*R4+%i*o*L*R2+o^2*M^2)+R3*
(R1*(R4+R2+%i*o*L)+R2*R4-2*%i*o*M*R2+%i*o*L*R2+o^2*M^2)+M^2*(o^2*(R4+R2)+%i*o^3*L)),Ig=(E*M*
(%i*o*(R4+R2)-o^2*L)+R1*(E*(-R4-%i*o*L)+%i*o*E*M)+(E*R2+%i*o*E*M)*R3)/(R1*
(M*(2*%i*o*R4-2*o^2*L)+R2*R4+%i*o*L*R2+o^2*M^2)+R3*
(R1*(R4+R2+%i*o*L)+R2*R4-2*%i*o*M*R2+%i*o*L*R2+o^2*M^2)+M^2*(o^2*(R4+R2)+%i*o^3*L))]]
(%i14) factor(%);
(%o14) [[I1=(E*(R2*R4+%i*o*M*R4+R2*R3+%i*o*M*R3+%i*o*L*R2-o^2*L*M))/(R2*R3*R4+R1*R3*R4+R1*R2*
R4+2*%i*o*M*R1*R4+o^2*M^2*R4+R1*R2*R3-2*%i*o*M*R2*R3+%i*o*L*R2*R3+%i*o*L*R1*R3+o^2*M^2*R3+%i*o*L*R1*R2+
o^2*M^2*R2+o^2*M^2*R1-2*o^2*L*M*R1+%i*o^3*L*M^2),I2=(E*
(R1*R4-%i*o*M*R4+R1*R3-%i*o*M*R3+%i*o*L*R1+o^2*L*M))/(R2*R3*R4+R1*R3*R4+R1*R2*R4+2*%i*o*M*R1*R4+
o^2*M^2*R4+R1*R2*R3-2*%i*o*M*R2*R3+%i*o*L*R2*R3+%i*o*L*R1*R3+o^2*M^2*R3+%i*o*L*R1*R2+o^2*M^2*R2+o^2*M^2*R1-
2*o^2*L*M*R1+%i*o^3*L*M^2),Ig=-(E*
(R1*R4-%i*o*M*R4-R2*R3-%i*o*M*R3-%i*o*M*R2-%i*o*M*R1+%i*o*L*R1+o^2*L*M))/(R2*R3*R4+R1*R3*R4+R1*
R2*R4+2*%i*o*M*R1*R4+o^2*M^2*R4+R1*R2*R3-2*%i*o*M*R2*R3+%i*o*L*R2*R3+%i*o*L*R1*R3+o^2*M^2*R3+%i*o*L*R1*
R2+o^2*M^2*R2+o^2*M^2*R1-2*o^2*L*M*R1+%i*o^3*L*M^2)]]

Igについて整理すると

Ig=-(E*(R1*R4-j*ω*M*R4-R2*R3-j*ω*M*R3-j*ω*M*R2-j*ω*M*R1+j*ω*L*R1+ω^2*L*M))/(R2*R3*R4+R1*R3*R4+R1*
R2*R4+2*j*ω*M*R1*R4+ω^2*M^2*R4+R1*R2*R3-2*j*ω*M*R2*R3+j*ω*L*R2*R3+j*ω*L*R1*R3+ω^2*M^2*R3+j*ω*L*R1*
R2+ω^2*M^2*R2+ω^2*M^2*R1-2*ω^2*L*M*R1+j*ω^3*L*M^2)

従ってIg=0となる条件は分子が０となる条件

R1*R4-j*ω*M*R4-R2*R3-j*ω*M*R3-j*ω*M*R2-j*ω*M*R1+j*ω*L*R1+ω^2*L*M=0

を満たす必要がある。

直交形式に整理すると

R1*R4-R2*R3+ω^2*L*M-j*ω*(M*(R4+R3+R2+R1)-L*R1)=0

実数部と虚数部が共に０となる必要から

R1*R4-R2*R3+ω^2*L*M=0

M*(R1+R2+R3+R4)-L*R1=0

が成り立つ必要がある。

第二式より

∴L=M*(R1+R2+R3+R4)/R1

第一式より

ω^2=(R2*R3-R1*R4)/L*M

ここで第二式より

M=L*R1/(R1+R2+R3+R4)

を代入すると

ω^2=(R2*R3-R1*R4)/L*(L*R1/(R1+R2+R3+R4))
=(R2*R3-R1*R4)*(R1+R2+R3+R4)/(L^2*R1)

∴ω=(1/L)*sqrt((R2*R3-R1*R4)*(R1+R2+R3+R4)/R1)

ということになる。

この解析の難所は相互インダクタンスのみ扱う総合誘導回路であるということ、結合係数k=1でかつ一次側と二次側の巻き線のインダクタンスが等しいという前提で考えなければならない点である。もちろん一般的な漏洩インダクタンスがある場合のケースでも解析可能だが、題意とは異なる。Mの符号を最初逆にして式を立てたらLが負になってしまって慌てて逆にした。

次ぎも相互誘導回路のあるブリッジの問題。



R5に流れる電流Igが０になる平衡条件を導けというもの。

以下の関係が成り立つ。

R1*I1+(R3+jωL2)*(I1-Ig)=E

R2*I2+jωL3*I2+R4*(I2-Ig)+jωM*Ig=E

R1*I1+R5*Ig+jωL4*Ig+R4*(I2-Ig)+jωM*I2=E

これをI1,I2,Igに関して解くと

(%i36) e1:R1*I1+(R3+%i*o*L2)*(I1-Ig)=E;
(%o36) (I1-Ig)*(R3+%i*o*L2)+I1*R1=E
(%i37) e2:R2*I2+%i*o*L3*I2+R4*(I2-Ig)+%i*o*M*Ig=E;
(%o37) (I2-Ig)*R4+I2*R2+%i*Ig*o*M+%i*o*I2*L3=E
(%i38) e3:R1*I1+R5*Ig+%i*o*L4*Ig+R4*(I2-Ig)+%i*o*M*I2=E;
(%o38) Ig*R5+(I2-Ig)*R4+I1*R1+%i*o*I2*M+%i*Ig*o*L4=E
(%i39) solve([e1,e2,e3],[I1,I2,Ig]);
(%o39) [[I1=-(E*(%i*o*(-L3*R5+(L3-L4)*R4-L4*R2)-R2*R5+R4*(R2-R5)+o^2*(L3*L4-M^2))+E*
(%i*o*(M-L3)-R2)*R3+E*L2*(o^2*(L3-M)-%i*o*R2))/(L2*
(%i*o*(R4*(R5-R2)+R2*R5)+o^2*(-L3*R5+(L3-L4)*R4-L4*R2)+%i*o^3*(M^2-L3*L4))+R1*
(%i*o*(L3*R5+(L4-L3)*R4+L4*R2)+R4*(R5-R2)+R2*R5+L2*(%i*o*(R4+R2)-o^2*L3)+o^2*(M^2-L3*L4))+R3*
(%i*o*(L3*R5+(L4-L3)*R4+L4*R2)+R4*(R5-R2)+R2*R5+R1*(R4+R2+%i*o*L3)+o^2*(M^2-L3*L4))),I2=(R1*
(E*(R5-R4+%i*o*L4)+%i*o*E*L2)+R3*(E*(R5+%i*o*(L4-M))+E*R1)+E*L2*(%i*o*R5+o^2*(M-L4)))/(L2*
(%i*o*(R4*(R5-R2)+R2*R5)+o^2*(-L3*R5+(L3-L4)*R4-L4*R2)+%i*o^3*(M^2-L3*L4))+R1*
(%i*o*(L3*R5+(L4-L3)*R4+L4*R2)+R4*(R5-R2)+R2*R5+L2*(%i*o*(R4+R2)-o^2*L3)+o^2*(M^2-L3*L4))+R3*
(%i*o*(L3*R5+(L4-L3)*R4+L4*R2)+R4*(R5-R2)+R2*R5+R1*(R4+R2+%i*o*L3)+o^2*(M^2-L3*L4))),Ig=-(E*
R1*(R4+%i*o*M)+E*(%i*o*(M-L3)-R2)*R3+E*L2*(o^2*(L3-M)-%i*o*R2))/(L2*
(%i*o*(R4*(R5-R2)+R2*R5)+o^2*(-L3*R5+(L3-L4)*R4-L4*R2)+%i*o^3*(M^2-L3*L4))+R1*
(%i*o*(L3*R5+(L4-L3)*R4+L4*R2)+R4*(R5-R2)+R2*R5+L2*(%i*o*(R4+R2)-o^2*L3)+o^2*(M^2-L3*L4))+R3*
(%i*o*(L3*R5+(L4-L3)*R4+L4*R2)+R4*(R5-R2)+R2*R5+R1*(R4+R2+%i*o*L3)+o^2*(M^2-L3*L4)))]]
(%i40) factor(%);
(%o40) [[I1=(E*(R4*R5+R2*R5+%i*o*L3*R5-R2*R4+%i*o*L4*R4-%i*o*L3*R4+R2*R3-%i*o*M*R3+%i*o*L3*
R3+%i*o*L4*R2+%i*o*L2*R2+o^2*M^2+o^2*L2*M-o^2*L3*L4-o^2*L2*L3))/(R3*R4*R5+R1*R4*R5+%i*o*L2*R4*R5+
R2*R3*R5+%i*o*L3*R3*R5+R1*R2*R5+%i*o*L2*R2*R5+%i*o*L3*R1*R5-o^2*L2*L3*R5-R2*R3*R4+R1*R3*R4+%i*o*L4*
R3*R4-%i*o*L3*R3*R4-R1*R2*R4-%i*o*L2*R2*R4+%i*o*L4*R1*R4-%i*o*L3*R1*R4+%i*o*L2*R1*R4-o^2*L2*L4*R4+o^2*
L2*L3*R4+R1*R2*R3+%i*o*L4*R2*R3+%i*o*L3*R1*R3+o^2*M^2*R3-o^2*L3*L4*R3+%i*o*L4*R1*R2+%i*o*L2*R1*R2-o^2*
L2*L4*R2+o^2*M^2*R1-o^2*L3*L4*R1-o^2*L2*L3*R1+%i*o^3*L2*M^2-%i*o^3*L2*L3*L4),I2=(E*
(R3*R5+R1*R5+%i*o*L2*R5-R1*R4+R1*R3-%i*o*M*R3+%i*o*L4*R3+%i*o*L4*R1+%i*o*L2*R1+o^2*L2*M-o^2*L2*L4)
)/(R3*R4*R5+R1*R4*R5+%i*o*L2*R4*R5+R2*R3*R5+%i*o*L3*R3*R5+R1*R2*R5+%i*o*L2*R2*R5+%i*o*L3*R1*R5-o^2*
L2*L3*R5-R2*R3*R4+R1*R3*R4+%i*o*L4*R3*R4-%i*o*L3*R3*R4-R1*R2*R4-%i*o*L2*R2*R4+%i*o*L4*R1*R4-%i*o*L3*
R1*R4+%i*o*L2*R1*R4-o^2*L2*L4*R4+o^2*L2*L3*R4+R1*R2*R3+%i*o*L4*R2*R3+%i*o*L3*R1*R3+o^2*M^2*R3-o^2*L3*L4*
R3+%i*o*L4*R1*R2+%i*o*L2*R1*R2-o^2*L2*L4*R2+o^2*M^2*R1-o^2*L3*L4*R1-o^2*L2*L3*R1+%i*o^3*L2*M^2-%i*o^3*L2*L3*
L4),Ig=-(E*(R1*R4-R2*R3+%i*o*M*R3-%i*o*L3*R3-%i*o*L2*R2+%i*o*M*R1-o^2*L2*M+o^2*L2*L3))/(R3*R4*
R5+R1*R4*R5+%i*o*L2*R4*R5+R2*R3*R5+%i*o*L3*R3*R5+R1*R2*R5+%i*o*L2*R2*R5+%i*o*L3*R1*R5-o^2*L2*L3*R5-
R2*R3*R4+R1*R3*R4+%i*o*L4*R3*R4-%i*o*L3*R3*R4-R1*R2*R4-%i*o*L2*R2*R4+%i*o*L4*R1*R4-%i*o*L3*R1*R4+%i*
o*L2*R1*R4-o^2*L2*L4*R4+o^2*L2*L3*R4+R1*R2*R3+%i*o*L4*R2*R3+%i*o*L3*R1*R3+o^2*M^2*R3-o^2*L3*L4*R3+%i*o*
L4*R1*R2+%i*o*L2*R1*R2-o^2*L2*L4*R2+o^2*M^2*R1-o^2*L3*L4*R1-o^2*L2*L3*R1+%i*o^3*L2*M^2-%i*o^3*L2*L3*L4)]]

Igについて整理すると

Ig=-(E*(R1*R4-R2*R3+j*ω*M*R3-j*ω*L3*R3-j*ω*L2*R2+j*ω*M*R1-ω^2*L2*M+ω^2*L2*L3))/(R3*R4*
R5+R1*R4*R5+j*ω*L2*R4*R5+R2*R3*R5+j*ω*L3*R3*R5+R1*R2*R5+j*ω*L2*R2*R5+j*ω*L3*R1*R5-ω^2*L2*L3*R5-
R2*R3*R4+R1*R3*R4+j*ω*L4*R3*R4-j*ω*L3*R3*R4-R1*R2*R4-j*ω*L2*R2*R4+j*ω*L4*R1*R4-j*ω*L3*R1*R4+j*
ω*L2*R1*R4-ω^2*L2*L4*R4+ω^2*L2*L3*R4+R1*R2*R3+j*ω*L4*R2*R3+j*ω*L3*R1*R3+ω^2*M^2*R3-ω^2*L3*L4*R3+j*ω*
L4*R1*R2+j*ω*L2*R1*R2-ω^2*L2*L4*R2+ω^2*M^2*R1-ω^2*L3*L4*R1-ω^2*L2*L3*R1+j*ω^3*L2*M^2-j*ω^3*L2*L3*L4)

従ってIg=0になるのは分子が０となる条件なので

R1*R4-R2*R3+j*ω*M*R3-j*ω*L3*R3-j*ω*L2*R2+j*ω*M*R1-ω^2*L2*M+ω^2*L2*L3=0

直交形式に整理すると

R1*R4-R2*R3-ω^2*L2*M+ω^2*L2*L3+j*ω*(M*(R1+R3)-L3*R3-L2*R2))=0

従って実数部と虚数部が共に０とならなければならないので

R1*R4-R2*R3-ω^2*L2*M+ω^2*L2*L3=0

∴R1*R4=R2*R3+ω^2*L2*(M-L3)

M*(R1+R3)-L3*R3-L2*R2=0

∴M*(R1+R3)=L3*R3+L2*R2

ということになる。

ちょっと回路定数名の割り当て方が変則的なので最初間違った式をたててしまった。

著者は相互誘導回路を等価回路に置き換えてブリッジの両端の電位が等しい条件で簡単に導いている。

またしても難問な相互誘導回路のあるブリッジ。



以下の関係が成り立つ

(R1+jωL1)*I1+jωM*(I2-Ig)=E

R2*I2+(R4+jωL4)*(I2-Ig)+jωM*I1=E

(R4+jωL4)*(I2-Ig)+jωM*I1=0

これをI1,I2,Igに関して解くと

(%i50) e1:(R1+%i*o*L1)*I1+%i*o*M*(I2-Ig)=E;
(%o50) I1*(R1+%i*o*L1)+%i*o*(I2-Ig)*M=E
(%i51) e2:R2*I2+(R4+%i*o*L4)*(I2-Ig)+%i*o*M*I1=E;
(%o51) (I2-Ig)*(R4+%i*o*L4)+I2*R2+%i*o*I1*M=E
(%i52) e3:(R4+%i*o*L4)*(I2-Ig)+%i*o*M*I1=0;
(%o52) (I2-Ig)*(R4+%i*o*L4)+%i*o*I1*M=0
(%i53) solve([e1,e2,e3],[I1,I2,Ig]);
(%o53) [[I1=(E*(R4+%i*o*L4))/(L1*(%i*o*R4-o^2*L4)+R1*(R4+%i*o*L4)+o^2*M^2),I2=E/R2,Ig=
(E*L1*(%i*o*R4-o^2*L4)+E*R1*(R4+%i*o*L4)+%i*o*E*M*R2+o^2*E*M^2)/(L1*(%i*o*R2*R4-o^2*L4*R2)+R1*(R2*R4+%i*o*L4*R2)+o^2*M^2*R2)]]
(%i54) factor(%);
(%o54) [[I1=(E*(R4+%i*o*L4))/(R1*R4+%i*o*L1*R4+%i*o*L4*R1+o^2*M^2-o^2*L1*L4),I2=E/R2,Ig=
(E*(R1*R4+%i*o*L1*R4+%i*o*M*R2+%i*o*L4*R1+o^2*M^2-o^2*L1*L4))/(R2*(R1*R4+%i*o*L1*R4+%i*o*L4*R1+o^2*M^2-o^2*L1*L4))]]

Igについて整理すると

Ig=(E*(R1*R4+j*ω*L1*R4+j*ω*M*R2+j*ω*L4*R1+ω^2*M^2-ω^2*L1*L4))/(R2*(R1*R4+j*ω*L1*R4+j*ω*L4*R1+ω^2*M^2-ω^2*L1*L4))

従ってIg=0となるためには

R1*R4+j*ω*L1*R4+j*ω*M*R2+j*ω*L4*R1+ω^2*M^2-ω^2*L1*L4=0

が成り立つ必要がある。

直交形式に整理すると

R1*R4+ω^2*M^2-ω^2*L1*L4+j*ω*(L1*R4+M*R2+L4*R1)=0

実数部と虚数部が共に０になる必要から

R1*R4+ω^2*M^2-ω^2*L1*L4=0

∴R1*R4=ω^2*(L1*L4-M^2)

L1*R4+M*R2+L4*R1=0

∴M=-(L1*R4+L4*R1)/R2

ということになる。

回路方程式さえ間違えなければ正しく解ける。

まだまだ続く難問奇問。



以下の関係が成り立つ。

(R1+jωL)*I1+jωM*Ig=E

(1/jωC1)*I2+(1/(1/R2+jωC2))*(I2-Ig)=E

(1/jωC1)*I2+jωL*Ig+jωM*I1=E

これをI1,I2,Igに関して解くと

(%i57) e1:(R1+%i*o*L)*I1+%i*o*M*Ig=E;
(%o57) I1*(R1+%i*o*L)+%i*Ig*o*M=E
(%i58) e2:(-%i/(o*C1))*I2+(1/(1/R2+%i*o*C2))*(I2-Ig)=E;
(%o58) (I2-Ig)/(1/R2+%i*o*C2)-(%i*I2)/(o*C1)=E
(%i59) e3:(-%i/(o*C1))*I2+%i*o*L*Ig+%i*o*M*I1=E;
(%o59) %i*o*I1*M+%i*Ig*o*L-(%i*I2)/(o*C1)=E
(%i60) solve([e1,e2,e3],[I1,I2,Ig]);
(%o60) [[I1=-(E*L*(%i*o^2*(-C2-C1)*R2-o)+%i*o^2*C1*E*M*R2+%i*E*R2)/(R1*(L*(%i*o^2*(C2+C1)*R2+o)-%i*R2)+M^2*(o^3*(C2+C1)*R2-%i*o^2)+L^2*(o^3*(-C2-C1)*R2+%i*o^2)+o*L*R2),
I2=-(R1*(E*L*(o^3*C1*C2*R2-%i*o^2*C1)-o*C1*E*R2)+E*L^2*(%i*o^4*C1*C2*R2+o^3*C1)+E*M^2*
(-%i*o^4*C1*C2*R2-o^3*C1)+%i*o^2*C1*E*M*R2-%i*o^2*C1*E*L*R2)/(R1*(L*(%i*o^2*(C2+C1)*R2+o)-%i*R2)+M^2*
(o^3*(C2+C1)*R2-%i*o^2)+L^2*(o^3*(-C2-C1)*R2+%i*o^2)+o*L*R2),Ig=
(E*M*(%i*o^2*(-C2-C1)*R2-o)+o*C1*E*R1*R2+%i*o^2*C1*E*L*R2)/(R1*(L*(%i*o^2*(C2+C1)*R2+o)-%i*R2)+M^2*(o^3*(C2+C1)*R2-%i*o^2)+L^2*(o^3*(-C2-C1)*R2+%i*o^2)+o*L*R2)]]
(%i61) factor(%);
(%o61) [[I1=-(E*(%i*o^2*C1*M*R2-%i*o^2*C2*L*R2-%i*o^2*C1*L*R2+%i*R2-o*L))/(%i*o^2*C2*L*R1*R2+%i*o^2*
C1*L*R1*R2-%i*R1*R2+o^3*C2*M^2*R2+o^3*C1*M^2*R2-o^3*C2*L^2*R2-o^3*C1*L^2*R2+o*L*R2+o*L*R1-%i*o^2*M^2+%i*o^2*
L^2),I2=-(o*C1*E*
(o^2*C2*L*R1*R2-R1*R2-%i*o^3*C2*M^2*R2+%i*o*M*R2+%i*o^3*C2*L^2*R2-%i*o*L*R2-%i*o*L*R1-o^2*M^2+o^2*L^2))/(
%i*o^2*C2*L*R1*R2+%i*o^2*C1*L*R1*R2-%i*R1*R2+o^3*C2*M^2*R2+o^3*C1*M^2*R2-o^3*C2*L^2*R2-o^3*C1*L^2*R2+o*L*R2+o*
L*R1-%i*o^2*M^2+%i*o^2*L^2),Ig=(o*E*(C1*R1*R2-%i*o*C2*M*R2-%i*o*C1*M*R2+%i*o*C1*L*R2-M))/(%i*o^2*C2*L*
R1*R2+%i*o^2*C1*L*R1*R2-%i*R1*R2+o^3*C2*M^2*R2+o^3*C1*M^2*R2-o^3*C2*L^2*R2-o^3*C1*L^2*R2+o*L*R2+o*L*R1-%i*
o^2*M^2+%i*o^2*L^2)]]

Igについて整理すると

Ig=(ω*E*(C1*R1*R2-j*ω*C2*M*R2-j*ω*C1*M*R2+j*ω*C1*L*R2-M))/(j*ω^2*C2*L*R1*R2+j*ω^2*C1*L*R1*R2-j*R1*R2+ω^3*C2*M^2*R2+ω^3*C1*M^2*R2-ω^3*C2*L^2*R2-ω^3*C1*L^2*R2+ω*L*R2+ω*L*R1-j*ω^2*M^2+j*ω^2*L^2)

従ってIg=0となる条件は分子が０となる条件

C1*R1*R2-j*ω*C2*M*R2-j*ω*C1*M*R2+j*ω*C1*L*R2-M=0

を満たす必要がある。

直交形式に整理すると

C1*R1*R2-M-j*ω*R2*(C2*M+C1*M-C1*L)=0

実数部と虚数部が共に０でなければならないので

C1*R1*R2-M=0

∴M=C1*R1*R2

C2*M+C1*M-C1*L=0

∴C2*M=C1*(L-M)

また

L=M*(C1+C2)/C1

これに

M=C1*R1*R2

を代入すると

L=R1*R2*(C1+C2)

ということになる。

これが交流ブリッジの最後の問題。幸いにして相互誘導回路は無いが今まで無かったようなタップのある可変抵抗回路を含む。



以下の関係が成り立つ。

(R1+jωL)*I1+R3*(I1-Ig)+R*(I1+I2-Ic)=E

(R2-Rx)*I2+Rx*(I2-Ic)+R4*(I2-Ic+Ig)+R*(I1+I2-Ic)=E

(R2-Rx)*I2+(1/jωC)*Ic=E

(R1+jωL)*I1+R4*(I2-Ic+Ig)+R*(I1+I2-Ic)=E

これをI1,I2,Ic,Igについて解くと

(%i66) e1:(R1+%i*o*L)*I1+R3*(I1-Ig)+R*(I1+I2-Ic)=E;
(%o66) (I1-Ig)*R3+I1*(R1+%i*o*L)+(I2+I1-Ic)*R=E
(%i67) e2:(R2-Rx)*I2+Rx*(I2-Ic)+R4*(I2-Ic+Ig)+R*(I1+I2-Ic)=E;
(%o67) (I2+Ig-Ic)*R4+I2*(R2-Rx)+(I2+I1-Ic)*R+Rx*(I2-Ic)=E
(%i68) e3:(R2-Rx)*I2+(-%i/(o*C))*Ic=E;
(%o68) I2*(R2-Rx)-(%i*Ic)/(o*C)=E
(%i69) e4:(R1+%i*o*L)*I1+R4*(I2-Ic+Ig)+R*(I1+I2-Ic)=E;
(%o69) (I2+Ig-Ic)*R4+I1*(R1+%i*o*L)+(I2+I1-Ic)*R=E
(%i70) solve([e1,e2,e3,e4],[I1,I2,Ic,Ig]);
(%o70) [[I1=(R3*(E*(o*((C*R2-Rx*C)*R4+Rx*C*R2-Rx^2*C)-%i*R2)+o*E*R*(C*R2-Rx*C))+E*
(o*(Rx*C*R2-Rx^2*C)*R4-%i*R2*R4)+o*E*R*(C*R2-Rx*C)*R4)/(R3*(L*
(%i*o^2*((C*R2-Rx*C)*R4+Rx*C*R2-Rx^2*C)+o*(R4+R2))+R1*
(o*((C*R2-Rx*C)*R4+Rx*C*R2-Rx^2*C)+%i*(-R4-R2)+R*(o*(C*R2-Rx*C)-%i))+o*(Rx*C*R2-Rx^2*C)*R4-%i*R2*R4
+R*(L*(%i*o^2*(C*R2-Rx*C)+o)+o*(Rx*C*R2-Rx^2*C)-%i*R2))+R*
(L*(%i*o^2*(C*R2-Rx*C)*R4+o*R4)+o*(Rx*C*R2-Rx^2*C)*R4-%i*R2*R4)+R1*
(R*(o*(C*R2-Rx*C)*R4-%i*R4)+o*(Rx*C*R2-Rx^2*C)*R4-%i*R2*R4)+L*(%i*o^2*(Rx*C*R2-Rx^2*C)*R4+o*R2*R4)),I2=
(R3*(R1*(E*(o*(C*R4+Rx*C)-%i)+o*C*E*R)+E*L*(%i*o^2*(C*R4+Rx*C)+o)+o*Rx*C*E*R4+(%i*o^2*C*E*L+o*Rx*C*E)*R)+
R1*(E*(o*Rx*C*R4-%i*R4)+o*C*E*R*R4)+R*(%i*o^2*C*E*L*R4+o*Rx*C*E*R4)+E*L*(%i*o^2*Rx*C*R4+o*R4))/(R3*(L*
(%i*o^2*((C*R2-Rx*C)*R4+Rx*C*R2-Rx^2*C)+o*(R4+R2))+R1*
(o*((C*R2-Rx*C)*R4+Rx*C*R2-Rx^2*C)+%i*(-R4-R2)+R*(o*(C*R2-Rx*C)-%i))+o*(Rx*C*R2-Rx^2*C)*R4-%i*R2*R4
+R*(L*(%i*o^2*(C*R2-Rx*C)+o)+o*(Rx*C*R2-Rx^2*C)-%i*R2))+R*
(L*(%i*o^2*(C*R2-Rx*C)*R4+o*R4)+o*(Rx*C*R2-Rx^2*C)*R4-%i*R2*R4)+R1*
(R*(o*(C*R2-Rx*C)*R4-%i*R4)+o*(Rx*C*R2-Rx^2*C)*R4-%i*R2*R4)+L*(%i*o^2*(Rx*C*R2-Rx^2*C)*R4+o*R2*R4)),Ic=
(R3*(R1*(o*E*(C*R4+Rx*C)+o*C*E*R)+%i*o^2*E*L*(C*R4+Rx*C)+o*C*E*R2*R4+R*(o*C*E*R2+%i*o^2*C*E*L))+R*
(o*C*E*R2*R4+%i*o^2*C*E*L*R4)+R1*(o*C*E*R*R4+o*Rx*C*E*R4)+%i*o^2*Rx*C*E*L*R4)/(R3*(L*
(%i*o^2*((C*R2-Rx*C)*R4+Rx*C*R2-Rx^2*C)+o*(R4+R2))+R1*
(o*((C*R2-Rx*C)*R4+Rx*C*R2-Rx^2*C)+%i*(-R4-R2)+R*(o*(C*R2-Rx*C)-%i))+o*(Rx*C*R2-Rx^2*C)*R4-%i*R2*R4
+R*(L*(%i*o^2*(C*R2-Rx*C)+o)+o*(Rx*C*R2-Rx^2*C)-%i*R2))+R*
(L*(%i*o^2*(C*R2-Rx*C)*R4+o*R4)+o*(Rx*C*R2-Rx^2*C)*R4-%i*R2*R4)+R1*
(R*(o*(C*R2-Rx*C)*R4-%i*R4)+o*(Rx*C*R2-Rx^2*C)*R4-%i*R2*R4)+L*(%i*o^2*(Rx*C*R2-Rx^2*C)*R4+o*R2*R4)),Ig=
(R3*(E*(o*((C*R2-Rx*C)*R4+Rx*C*R2-Rx^2*C)-%i*R2)+o*E*R*(C*R2-Rx*C))+o*E*R*(C*R2-Rx*C)*R4+%i*E*R1*R4-o*
E*L*R4)/(R3*(L*(%i*o^2*((C*R2-Rx*C)*R4+Rx*C*R2-Rx^2*C)+o*(R4+R2))+R1*
(o*((C*R2-Rx*C)*R4+Rx*C*R2-Rx^2*C)+%i*(-R4-R2)+R*(o*(C*R2-Rx*C)-%i))+o*(Rx*C*R2-Rx^2*C)*R4-%i*R2*R4
+R*(L*(%i*o^2*(C*R2-Rx*C)+o)+o*(Rx*C*R2-Rx^2*C)-%i*R2))+R*
(L*(%i*o^2*(C*R2-Rx*C)*R4+o*R4)+o*(Rx*C*R2-Rx^2*C)*R4-%i*R2*R4)+R1*
(R*(o*(C*R2-Rx*C)*R4-%i*R4)+o*(Rx*C*R2-Rx^2*C)*R4-%i*R2*R4)+L*(%i*o^2*(Rx*C*R2-Rx^2*C)*R4+o*R2*R4))]]
(%i71) factor(%);
(%o71) [[I1=(E*(o*C*R2*R3*R4-o*Rx*C*R3*R4+o*C*R*R2*R4+o*Rx*C*R2*R4-%i*R2*R4-o*Rx*C*R*R4-o*Rx^2*C*R4
+o*C*R*R2*R3+o*Rx*C*R2*R3-%i*R2*R3-o*Rx*C*R*R3-o*Rx^2*C*R3))/(o*C*R1*R2*R3*R4+%i*o^2*C*L*R2*R3*R4+o*Rx*
C*R2*R3*R4-%i*R2*R3*R4-o*Rx*C*R1*R3*R4-%i*R1*R3*R4-%i*o^2*Rx*C*L*R3*R4+o*L*R3*R4-o*Rx^2*C*R3*R4+o*C*R*R1*
R2*R4+o*Rx*C*R1*R2*R4-%i*R1*R2*R4+%i*o^2*C*L*R*R2*R4+o*Rx*C*R*R2*R4-%i*R*R2*R4+%i*o^2*Rx*C*L*R2*R4+o*L*R2*
R4-o*Rx*C*R*R1*R4-%i*R*R1*R4-o*Rx^2*C*R1*R4-%i*o^2*Rx*C*L*R*R4+o*L*R*R4-o*Rx^2*C*R*R4-%i*o^2*Rx^2*C*L*R4+o*
C*R*R1*R2*R3+o*Rx*C*R1*R2*R3-%i*R1*R2*R3+%i*o^2*C*L*R*R2*R3+o*Rx*C*R*R2*R3-%i*R*R2*R3+%i*o^2*Rx*C*L*R2*R3+
o*L*R2*R3-o*Rx*C*R*R1*R3-%i*R*R1*R3-o*Rx^2*C*R1*R3-%i*o^2*Rx*C*L*R*R3+o*L*R*R3-o*Rx^2*C*R*R3-%i*o^2*Rx^2*C*L*
R3),I2=(E*(o*C*R1*R3*R4+%i*o^2*C*L*R3*R4+o*Rx*C*R3*R4+o*C*R*R1*R4+o*Rx*C*R1*R4-%i*R1*R4+%i*o^2*C*L*R*
R4+o*Rx*C*R*R4+%i*o^2*Rx*C*L*R4+o*L*R4+o*C*R*R1*R3+o*Rx*C*R1*R3-%i*R1*R3+%i*o^2*C*L*R*R3+o*Rx*C*R*R3+%i*
o^2*Rx*C*L*R3+o*L*R3))/(o*C*R1*R2*R3*R4+%i*o^2*C*L*R2*R3*R4+o*Rx*C*R2*R3*R4-%i*R2*R3*R4-o*Rx*C*R1*R3*R4-
%i*R1*R3*R4-%i*o^2*Rx*C*L*R3*R4+o*L*R3*R4-o*Rx^2*C*R3*R4+o*C*R*R1*R2*R4+o*Rx*C*R1*R2*R4-%i*R1*R2*R4+%i*
o^2*C*L*R*R2*R4+o*Rx*C*R*R2*R4-%i*R*R2*R4+%i*o^2*Rx*C*L*R2*R4+o*L*R2*R4-o*Rx*C*R*R1*R4-%i*R*R1*R4-o*Rx^2*C*
R1*R4-%i*o^2*Rx*C*L*R*R4+o*L*R*R4-o*Rx^2*C*R*R4-%i*o^2*Rx^2*C*L*R4+o*C*R*R1*R2*R3+o*Rx*C*R1*R2*R3-%i*R1*R2*
R3+%i*o^2*C*L*R*R2*R3+o*Rx*C*R*R2*R3-%i*R*R2*R3+%i*o^2*Rx*C*L*R2*R3+o*L*R2*R3-o*Rx*C*R*R1*R3-%i*R*R1*R3-
o*Rx^2*C*R1*R3-%i*o^2*Rx*C*L*R*R3+o*L*R*R3-o*Rx^2*C*R*R3-%i*o^2*Rx^2*C*L*R3),Ic=(o*C*E*(R2*R3*R4+R1*R3*R4
+%i*o*L*R3*R4+R*R2*R4+R*R1*R4+Rx*R1*R4+%i*o*L*R*R4+%i*o*Rx*L*R4+R*R2*R3+R*R1*R3+Rx*R1*R3+%i*o*L*R*
R3+%i*o*Rx*L*R3))/(o*C*R1*R2*R3*R4+%i*o^2*C*L*R2*R3*R4+o*Rx*C*R2*R3*R4-%i*R2*R3*R4-o*Rx*C*R1*R3*R4-%i*
R1*R3*R4-%i*o^2*Rx*C*L*R3*R4+o*L*R3*R4-o*Rx^2*C*R3*R4+o*C*R*R1*R2*R4+o*Rx*C*R1*R2*R4-%i*R1*R2*R4+%i*o^2*C*
L*R*R2*R4+o*Rx*C*R*R2*R4-%i*R*R2*R4+%i*o^2*Rx*C*L*R2*R4+o*L*R2*R4-o*Rx*C*R*R1*R4-%i*R*R1*R4-o*Rx^2*C*R1*R4
-%i*o^2*Rx*C*L*R*R4+o*L*R*R4-o*Rx^2*C*R*R4-%i*o^2*Rx^2*C*L*R4+o*C*R*R1*R2*R3+o*Rx*C*R1*R2*R3-%i*R1*R2*R3+%i*
o^2*C*L*R*R2*R3+o*Rx*C*R*R2*R3-%i*R*R2*R3+%i*o^2*Rx*C*L*R2*R3+o*L*R2*R3-o*Rx*C*R*R1*R3-%i*R*R1*R3-o*Rx^2*C*
R1*R3-%i*o^2*Rx*C*L*R*R3+o*L*R*R3-o*Rx^2*C*R*R3-%i*o^2*Rx^2*C*L*R3),Ig=(E*(o*C*R2*R3*R4-o*Rx*C*R3*R4+o*C*
R*R2*R4+%i*R1*R4-o*Rx*C*R*R4-o*L*R4+o*C*R*R2*R3+o*Rx*C*R2*R3-%i*R2*R3-o*Rx*C*R*R3-o*Rx^2*C*R3))/(o*
C*R1*R2*R3*R4+%i*o^2*C*L*R2*R3*R4+o*Rx*C*R2*R3*R4-%i*R2*R3*R4-o*Rx*C*R1*R3*R4-%i*R1*R3*R4-%i*o^2*Rx*C*L*R3*
R4+o*L*R3*R4-o*Rx^2*C*R3*R4+o*C*R*R1*R2*R4+o*Rx*C*R1*R2*R4-%i*R1*R2*R4+%i*o^2*C*L*R*R2*R4+o*Rx*C*R*R2*R4-
%i*R*R2*R4+%i*o^2*Rx*C*L*R2*R4+o*L*R2*R4-o*Rx*C*R*R1*R4-%i*R*R1*R4-o*Rx^2*C*R1*R4-%i*o^2*Rx*C*L*R*R4+o*L*R*
R4-o*Rx^2*C*R*R4-%i*o^2*Rx^2*C*L*R4+o*C*R*R1*R2*R3+o*Rx*C*R1*R2*R3-%i*R1*R2*R3+%i*o^2*C*L*R*R2*R3+o*Rx*C*R*
R2*R3-%i*R*R2*R3+%i*o^2*Rx*C*L*R2*R3+o*L*R2*R3-o*Rx*C*R*R1*R3-%i*R*R1*R3-o*Rx^2*C*R1*R3-%i*o^2*Rx*C*L*R*R3
+o*L*R*R3-o*Rx^2*C*R*R3-%i*o^2*Rx^2*C*L*R3)]]

Igについて整理すると

Ig=(E*(ω*C*R2*R3*R4-ω*Rx*C*R3*R4+ω*C*
R*R2*R4+j*R1*R4-ω*Rx*C*R*R4-ω*L*R4+ω*C*R*R2*R3+ω*Rx*C*R2*R3-j*R2*R3-ω*Rx*C*R*R3-ω*Rx^2*C*R3))/(ω*
C*R1*R2*R3*R4+j*ω^2*C*L*R2*R3*R4+ω*Rx*C*R2*R3*R4-j*R2*R3*R4-ω*Rx*C*R1*R3*R4-j*R1*R3*R4-j*ω^2*Rx*C*L*R3*
R4+ω*L*R3*R4-ω*Rx^2*C*R3*R4+ω*C*R*R1*R2*R4+ω*Rx*C*R1*R2*R4-j*R1*R2*R4+j*ω^2*C*L*R*R2*R4+ω*Rx*C*R*R2*R4-
j*R*R2*R4+j*ω^2*Rx*C*L*R2*R4+ω*L*R2*R4-ω*Rx*C*R*R1*R4-j*R*R1*R4-ω*Rx^2*C*R1*R4-j*ω^2*Rx*C*L*R*R4+ω*L*R*
R4-ω*Rx^2*C*R*R4-j*ω^2*Rx^2*C*L*R4+ω*C*R*R1*R2*R3+ω*Rx*C*R1*R2*R3-j*R1*R2*R3+j*ω^2*C*L*R*R2*R3+ω*Rx*C*R*
R2*R3-j*R*R2*R3+j*ω^2*Rx*C*L*R2*R3+ω*L*R2*R3-ω*Rx*C*R*R1*R3-j*R*R1*R3-ω*Rx^2*C*R1*R3-j*ω^2*Rx*C*L*R*R3
+ω*L*R*R3-ω*Rx^2*C*R*R3-j*ω^2*Rx^2*C*L*R3)

従ってIg=0となるためには分子が０となる条件

ω*C*R2*R3*R4-ω*Rx*C*R3*R4+ω*C*R*R2*R4+j*R1*R4-ω*Rx*C*R*R4-ω*L*R4+ω*C*R*R2*R3+ω*Rx*C*R2*R3-j*R2*R3-ω*Rx*C*R*R3-ω*Rx^2*C*R3=0

を満たす必要がある。

直交形式に整理すると

ω*(C*(R2-Rx)*((R3+R)*R4+(R+Rx)*R3)-L*R4)+j*(R1*R4-R2*R3)=0

実数部と虚数部がそれぞれ０でなければならないので

実数部より

C*(R2-Rx)*((R3+R)*R4+(R+Rx)*R3)-L*R4=0

∴L=C*(R2-Rx)*((R3+R)*R4+(R+Rx)*R3)/R4

虚数部より

R1*R4-R2*R3=0

∴R1*R4=R2*R3

ということになる。

著者はR2-RxをR2'、RxをR2''として網目電流法で方程式をたてて同じ結果を得ている。

残りの問題はベクトルの軌跡に関する問題。



最初は単純なRL直列回路のベクトル軌跡を考える。電源の角周波数を変えた時のインピーダンスの軌跡を描くと共に、回路に流れる電流Iを一定に保つ電圧Eの軌跡を描けというもの。

RL直列回路のインピーダンスは

Z=R+jωL

で表される。従って、ωが0〜∞に変化するとZは虚軸からRだけ離れた虚軸に並行の直線を描くことがわかる。

一方回路の電流Iが一定の場合、RL直列回路の電圧降下は

E=Z*I=(R+jωL)*I
=R*I+jωL*I

で表される。従って、ωが0〜∞に変化するとEは虚軸からR*Iだけ離れた虚軸に並行な直線を描くことがわかる。

これも基礎的な理解を確認する問題。



リアクタンスが誘導性の場合には、インピーダンスの虚数部は正の値を取るが、容量性になると負の値を取る。従ってインピーダンスの実効抵抗Rが一定の場合にωを0〜∞に変化させると、リアクタンスが誘導性の場合には虚軸からRだけ離れて虚軸に並行に0から∞に伸びる直線に、容量性の場合には同様に虚軸からRだけ離れて虚軸に並行に0から-∞まで伸びる直線を描くことになる。２つ合わせると虚軸からRだけ離れて虚軸に並行に∞〜-∞まで伸びる直線となる。



またリアクタンスが一定で、抵抗値が変化する場合には、実軸からXだけ離れた実軸に並行な0〜∞に伸びる直線を描くことになる。