次ぎも以前理論でやったことのあるインピーダンスの逆数であるアドミッタンスの軌跡を描く問題。



もう一度おさらいしないといけない。

インピーダンスが

Z=R+jX

一方アドミッタンスはインピーダンスの逆数なので

Y=1/Z
=1/(R+jX)
=(R-jX)/(R^2+X^2)
=R/(R^2+X^2)-jX/(R^2+X^2)

と表される。ここで

G=R/(R^2+X^2)

B=-X/(R^2+X^2)

と置くと

Y=G+jB

と表される。

また

G^2+B^2=R^2/(R^2+X^2)^2+(-X)^2/(R^2+X^2)^2
=1/(R^2+X^2)
=G/R
=-B/X

であることから

G^2+B^2-G/R=0

従って

(G-1/(2*R))^2+B^2=1/(2*R)^2

これは中心を(1/(2*R),0)とする半径1/(2*R)の円を描く式である。

また同様に

G^2+B^2+B/X=0

従って

G^2+(B+1/(2*X))^2=(1/(2*X))^2

これは中心を(0,-1/(2*X))とする半径1/(2*X)の円を描く式である。

これも理論でやった問題のおさらい。



直線を描くベクトルの座標(x,y)には以下の関係が成り立つ

y=-m*x+k

mは直線の実軸に対する傾き、kは直線の虚軸との交点。

そのベクトルは

Z=x+j*y

で表される。

従ってその逆数は

Y=1/Z=1/(x+j*y)
=(x-j*y)/(x^2+y^2)
=x/(x^2+y^2)-j*y/(x^2+y^2)

ここで

G=x/(x^2+y^2)

B=-y/(x^2+y^2)

とすると

Y=B+jG

で表される。

一方

G^2+B^2=x^2/(x^2+y^2)^2+(-y)^2/(x^2+y^2)
=(x^2+y^2)/(x^2+y^2)^2
=1/(x^2+y^2)
=G/x
=-B/y

従って

x=G/(G^2+B^2)

y=-B/(G^2+B^2)

これを最初の直線の式に代入すると

-B/(G^2+B^2)=-m*G/(G^2+B^2)+k

両辺に(G^2+B^2)/kを乗じると

-B/k=-(m/k)*G+(G^2+B^2)

整理すると

G^2-(m/k)*G+B^2+B/k=0

従って

(G-m/2*k)^2+(B+1/2*k)^2=(m/2*k)^2+(1/2*k)^2

(G-m/2*k)^2+(B+1/2*k)^2=(m^2+1)/(2*k))^2

従ってこれは中心を(m/2*k,-1/2*k)とする半径sqrt(m^2+1)/2*kの円の式となる。



直線が実軸と並行な場合(m=0）円の中心は(0,-1/2*k)となり半径は1/2*kとなる。

一方直線が

x=n*y+l

で表される時同様に

x=G/(G^2+B^2)

y=-B/(G^2+B^2)

を代入すると

G/(G^2+B^2)=n*(-B/(G^2+B^2))+l

両辺に(G^2+B^2)/lを乗じると

G/l=-B*(n/l)+(G^2+B^2)

整理すると

G^2-G/l+B^2-B*(n/l)=0

従って

(G-1/2*l)^2+(B-n/2*l)^2=(1/2*l)^2+(n/2*l)^2

(G-1/2*l)^2+(B-n/2*l)^2=(1+n^2)/(2*l)^2

従って逆数のベクトルは中心を(1/2*l,n/2*l)とし半径をsqrt(1+n^2)/2*lとする円を描く。

直線が虚軸と交わらない場合(n=0の場合）、中心が(1/2*l,0)で半径が1/2*lの円を描く。

これも既に理論のときにやってしまったおさらい。

あるベクトルの軌跡が(a,b)を中心に持ち半径rの円を描くとして、そのベクトルの逆数の軌跡がまた円を描くことを示せというもの。

任意の円を描くベクトルの軌跡では

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

なる関係が成り立つ。

そのベクトルを

Z=x+jy

で表すとその逆数のベクトルは

Y=1/Z=1/(x+jy)
=(x-jy)/(x^2+y^2)
=x/(x^2+y^2)-jy/(x^2+y^2)

と表される。ここで

G=x/(x^2+y^2)

B=-y/(x^2+y^2)

とすると

Y=G+jB

と表される。

ここで

G^2+B^2=x^2/(x^2+y^2)^2+(-y)^2/(x^2+y^2)^2
=(x^2+y^2)/(x^2+y^2)^2
=1/(x^2+y^2)
=G/x
=-B/y

であるので。

x=G/(G^2+B^2)

y=-B/(G^2+B^2)

これを元の円を描くベクトルの式に代入すると

(G/(G^2+B^2)-a)^2+(-B/(G^2+B^2)-b)^2=r^2

G^2/(G^2+B^2)^2-2*a*G/(G^2+B^2)+a^2+B^2/(G^2+B^2)^2+2*b*B/(G^2+B^2)+b^2=r^2

両辺に(G^2+B^2)を乗じると

G^2/(G^2+B^2)-2*a*G+a^2*(G^2+B^2)+B^2/(G^2+B^2)+2*b*B+b^2*(G^2+B^2)=r^2*(G^2+B^2)

整理すると

(G^2+B^2)/(G^2+B^2)^2-2*a*G+2*b*B=(r^2-a^2-b^2)*(G^2+B^2)

1-2*a*G+2*b*B=(r^2-a^2-b^2)*(G^2+B^2)

ここで

R=a^2+b^2-r^2

(a^2+b^2) > r^2

とすると

1-2*a*G+2*b*B=-R*(G^2+B^2)

両辺をRで割って整理すると

G^2-(2*a/R)*G+B^2+(2*b/R)*B+1/R=0

従って

(G-a/R)^2+(B+b/R)^2=a^2/R^2+b^2/R^2-1/R

(G-a/R)^2+(B+b/R)^2=(a^2+b^2-R)/R^2

(G-a/R)^2+(B+b/R)^2=(a^2+b^2-(a^2+b^2-r^2))/R^2

(G-a/R)^2+(B+b/R)^2=r^2/R^2

従って中心が(a/R,-b/R)で半径をr/Rとする円を描くことになる。

次ぎは基本的なRLC並列回路のインピーダンス軌跡に関する問題。



RLC並列回路のインピーダンスは

Z=1/(1/R+j*(ωC-1/ωL))
=(1/R-j*(ωC-1/ωL))/((1/R)^2+(ωC-1/ωL)^2)
=(1/R)/((1/R)^2+(ωC-1/ωL)^2)-j*(ωC-1/ωL)/((1/R)^2+(ωC-1/ωL)^2)

x=(1/R)/((1/R)^2+(ωC-1/ωL)^2)

y=-(ωC-1/ωL)/((1/R)^2+(ωC-1/ωL)^2)

Z=x+jy

逆数であるアドミッタンスは

Y=1/Z=1/R+j*(ωC-1/ωL)

G=1/R

B=(ωC-1/ωL)

Y=G+jB

これはωを0〜∞に変化させた場合、虚軸から1/Rだけ離れて虚軸と並行に伸びる直線を描く。

x^2+y^2=(1/R)^2/((1/R)^2+(ωC-1/ωL)^2)^2+(-(ωC-1/ωL))^2/((1/R)^2+(ωC-1/ωL)^2)^2
=((1/R)^2+(ωC-1/ωL)^2)/((1/R)^2+(ωC-1/ωL)^2)^2
=1/((1/R)^2+(ωC-1/ωL)^2)
=x/G

整理すると

x^2-x/G+y^2=0

(x-1/2*G)^2+y^2=(1/2*G)^2

G=1/R

を代入すると

(x-R/2)^2+y^2=(R/2)^2

従ってその逆数であるインピーダンスは中心が(R/2,0)として半径をR/2の原点を通る円を描くことは明らかである。



インピーダンスが最大になるのはω0=1/sqrt(LC)の時の

|Z|=R

ということになる。

ちなみに著者の解ではインピーダンス最大時の角周波数ω0の式が周波数の式になっている(２πで割っている）。

次ぎはRC直列回路のインピーダンスとアドミッタンスの軌跡を描く問題。



回路のインピーダンスは

Z=R1+R-jXc

x=R1+R

y=-Xc

Z=x+jy

で表される。

従ってインピーダンスはRが0〜∞に変換するとき実軸からXcだけ離れて実軸に並行な直線を描くことがわかる。

一方アドミッタンスはその逆数であるので

Y=1/Z=1/(R1+R-jXc)
=(R1+R+jXc)/((R1+R)^2+Xc^2)
=(R1+R)/((R1+R)^2+Xc^2)+jXc/((R1+R)^2+Xc^2)

G=(R1+R)/((R1+R)^2+Xc^2)

B=Xc/((R1+R)^2+Xc^2)

G^2+B^2=(R1+R)^2/((R1+R)^2+Xc^2)^2+Xc^2/((R1+R)^2+Xc^2)^2
=((R1+R)^2+Xc^2)/((R1+R)^2+Xc^2)^2
=1/((R1+R)^2+Xc^2)
=G/Xc

整理すると

G^2-G/Xc+B^2=0

(G-1/2*Xc)^2+B^2=(1/2*Xc)^2

従ってアドミッタンスは中心を(0,1/2*Xc)として半径が1/2*Xcである円を描くことが明らか。

次ぎはRL並列回路のベクトル軌跡を描く問題。



角周波数は一定でRかLを可変した場合のインピーダンスの軌跡を描くというもの。

並列回路なのでそのアドミッタンスは

Y=1/R-j/ωL

G=1/R

B=-1/ωL

Y=G+jB

インピーダンスはその逆数なので

Z=1/Y=1/(1/R-j/ωL)
=(1/R+j/ωL)/((1/R)^2+(1/ωL)^2)
=(1/R)/((1/R)^2+(1/ωL)^2)+j(1/ωL)/((1/R)^2+(1/ωL)^2)

x=(1/R)/((1/R)^2+(1/ωL)^2

y=(1/ωL)/((1/R)^2+(1/ωL)^2)

x^2+y^2=(1/R)^2/((1/R)^2+(1/ωL)^2)^2+(1/ωL)^2/((1/R)^2+(1/ωL)^2)^2
=((1/R)^2+(1/ωL)^2)/((1/R)^2+(1/ωL)^2)^2
=1/((1/R)^2+(1/ωL)^2)
=x/G
=-y/B

整理すると

x^2-x/G+y^2=0

(x-1/2*G)^2+y^2=(1/2*G)^2

G=1/R

を代入すると

(x-R/2)^2+y^2=(R/2)^2

従ってRとωが固定でLが0〜∞に変化する場合には、中心が(R/2,0)で半径がR/2の円を描く。

また

x^2+y^2+y/B=0

x^2+(y+1/2*B)^2=(1/2*B)^2

B=-1/ωLを代入すると

x^2+(y-ωL/2)^2=(ωL/2)^2

従ってLとωが固定でRが0〜∞に変化する場合には、中心が(0,ωL/2)で半径がωL/2の円を描く。

次ぎはRL直並列回路を流れる電流のベクトル軌跡。



回路はRL直列回路に抵抗が並列接続されている。アドミッタンスのベクトルはRL直列回路のベクトルに並列抵抗R1の固定アドミッタンスベクトルを加えたものであるので、RL直列回路のアドミッタンスを求めると

Y=1/(R2+jωL)
=(R2-jωL)/(R2^2+(ωL)^2)
=R2/(R2^2+(ωL)^2)-jωL/(R2^2+(ωL)^2)

x=R2/(R2^2+(ωL)^2)

y=-ωL/(R2^2+(ωL)^2)

x^2+y^2=R2^2/(R^2+(ωL)^2)^2+(-ωL)^2/(R^2+(ωL)^2)^2
=(R2^2+(ωL)^2)/(R2^2+(ωL)^2)^2
=1/(R2^2+(ωL)^2)
=x/R2

整理すると

x^2-x/R2+y^2=0

(x-1/2*R2)^2+y^2=(1/2*R2)^2

従ってRL直列回路のアドミッタンスは(1/2*R2,0)を中心として半径1/2*R2の円を描く。

回路全体のアドミッタンス軌跡としてはRL直列回路のアドミッタンスが描く円を実軸方向に並列固定抵抗R1によるアドミッタンスを加算する形で1/R1だけ並行移動したものにとなるので、電流のベクトルの軌跡はそれらにEを乗じた形となる。



ベクトルの合成という形ではなくそのまま中心が(1/R1+1/2*R,0)で半径が1/2*Rの円という式が導けないか試みたがωLの項が消去できなくてうまくいかなかった。読者の課題としよう（´ー｀　）

アドミッタンスの軌跡が原点を通らない円となることから、インピーダンスの軌跡も同様に原点を通らない円を描くはず。

次ぎは交流ブリッジのベクトル軌跡を描く問題。



ブリッジのAB端の電圧Eの実効値とE0に対する位相差の変化をベクトル図で描けというもの。

電圧については想像が付くが位相差は今まで扱っていなかったのでちょっと難しい。

これも変動ベクトルと固定ベクトルの合成で描く方が簡単そうである。

以下の関係が成り立つ

I1=E0/(R+(1/jωC))

I2=E0/2*r

E=(1/jωC)*I1-r*I2

∴E=E0/(1+jωCR)-E0/2

従って電圧Eのベクトル軌跡は

E1=E0/(1+jωCR)

が描く軌跡を

E0/2だけ実軸に並行移動したものとなる。

E1=E0/(1+jωCR)

を直交形式に書き直すと

E1=E0*(1-jωCR)/(1+(ωCR)^2)
=E0/(1+(ωCR)^2)-jωCR*E0/(1+(ωCR)^2)

x=E0/(1+(ωCR)^2)

y=-ωCR*E0/(1+(ωCR)^2)

x^2+y^2=E0^2/(1+(ωCR)^2)^2+(-ωCR*E0)^2/(1+(ωCR)^2)^2
=E0^2*(1+(ωCR)^2)/(1+(ωCR)^2)^2
=E0^2/(1+(ωCR)^2)
=x*E0

整理すると

x^2-x*E0+y^2=0

(x-E0/2)^2+y^2=(E0/2)^2

従って中心が(E0/2,0)で半径がE0/2の原点を通る円を描く。

E=E1-E0/2

なのでEの軌跡はその軌跡を実軸の負の方向へE0/2だけ並行移動したものとなる。

次ぎも難しい相互誘導回路のベクトル軌跡の問題。



抵抗Rを変化させる時に抵抗を流れる電流のベクトル軌跡を描けというもの。

以下の関係が成り立つ。

jωL1*I1+R*I2+jωM*(I1-I2)=E

jωL1*I1+jωL2*(I1-I2)+jωM*(I1-I2)+jωM*I1=E

これをI1,I2について解くと

(%i1) e1:%i*o*L1*I1+R*I2-%i*o*M*(I1-I2)=E;
(%o1) I2*R-%i*o*(I1-I2)*M+%i*o*I1*L1=E
(%i2) e2:%i*o*L1*I1+%i*o*L2*(I1-I2)-%i*o*M*(I1-I2)-%i*o*M*I1=E;
(%o2) -%i*o*(I1-I2)*M-%i*o*I1*M+%i*o*(I1-I2)*L2+%i*o*I1*L1=E
(%i3) solve([e1,e2],[I1,I2]);
(%o3) [[I1=-(E*R+%i*o*E*L2)/((2*%i*o*M-%i*o*L2-%i*o*L1)*R-o^2*M^2+o^2*L1*L2),I2=(%i*E*M-%i*E*L2)/((2*%i*M-%i*L2-%i*L1)*R-o*M^2+o*L1*L2)]]

I2について整理すると

I2=(j*E*M-j*E*L2)/((2*j*M-j*L2-j*L1)*R-ω*M^2+ω*L1*L2)
=j*(M-L2)*E/(ω*(L1*L2-M^2)+j*(2*M-L2-L1)*R)
=j*(M-L2)*E*(ω*(L1*L2-M^2)-j*(2*M-L2-L1)*R)/(ω^2*(L1*L2-M^2)^2+(2*M-L2-L1)^2*R^2)
=E*(M-L2)*((2*M-L2-L1)*R+jω*(L1*L2-M^2))/(ω^2*(L1*L2-M^2)^2+(2*M-L2-L1)^2*R^2)
=E*(M-L2)*(2*M-L2-L1)*R/(ω^2*(L1*L2-M^2)^2+(2*M-L2-L1)^2*R^2)+jω*(M-L2)*(L1*L2-M^2)*E/(ω^2*(L1*L2-M^2)^2+(2*M-L2-L1)^2*R^2)

x=E*(M-L2)*(2*M-L2-L1)*R/(ω^2*(L1*L2-M^2)^2+(2*M-L2-L1)^2*R^2)

y=ω*(M-L2)*(L1*L2-M^2)*E/(ω^2*(L1*L2-M^2)^2+(2*M-L2-L1)^2*R^2)

x^2+y^2=E^2*(M-L2)^2*(2*M-L2-L1)^2*R^2/(ω^2*(L1*L2-M^2)^2+(2*M-L2-L1)^2*R^2)^2+ω^2*(M-L2)^2*(L1*L2-M^2)^2*E^2/(ω^2*(L1*L2-M^2)^2+(2*M-L2-L1)^2*R^2)^2
=E^2*((M-L2)^2*(2*M-L2-L1)^2*R^2+ω^2*(M-L2)^2*(L1*L2-M^2)^2)/(ω^2*(L1*L2-M^2)^2+(2*M-L2-L1)^2*R^2)^2
=E^2*(M-L2)^2*((2*M-L2-L1)^2*R^2+ω^2*(L1*L2-M^2)^2)/(ω^2*(L1*L2-M^2)^2+(2*M-L2-L1)^2*R^2)^2
=E^2*(M-L2)^2/(ω^2*(L1*L2-M^2)^2+(2*M-L2-L1)^2*R^2)
=y/(ω*(L1*L2-M^2)/(M-L2)*E)

整理すると

x^2+y^2-y/(ω*(L1*L2-M^2)/(M-L2)*E)=0

x^2+(y-E*(M-L2)/2*ω*(L1*L2-M^2))^2=((M-L2)/2*ω*(L1*L2-M^2))^2

従って(0,E*(M-L2)/2*ω*(L1*L2-M^2))を中心として半径E*(M-L2)/2*ω*(L1*L2-M^2)とする円を描く。

ここで

M^2 < L1*L2

M < L2

とすると中心は(0,-E*(L2-M)/2*ω*(L1*L2-M^2))で半径をE*(M-L2)/2*ω*(L1*L2-M^2)とする円を描くことになる。

著者の図は中心が(0,-(L2+M)*E/2*ω(L1*L2-M^2))と逆数の軌跡とも辻褄が合っていない。明らかに誤りである。

次ぎの問題は難問。今までは回路を与えられてベクトル軌跡を描くだけだったが、今度のはベクトル軌跡から回路を予測しろというもの。



図を見ると第四象限に半円を描いている。R=0の時に-X2から出発して、R=∞で-X2に至る。

このことから、インピーダンスZは、中心が(,-(X2-X1)/2)で半径が(X2-X1)/2の円を描くベクトルZ0と-jX1なる固定ベクトルZ1を加えた合成ベクトルであると言える。

Z=Z0+Z1

Z1=-jX1

∴Z=Z0-jX1

またZ0は原点を通る円を描くのでその逆数であるアドミッタンスY0はは実軸から1/(X2-X1)だけ離れて実軸に並行な直線を描くことは明らかであるので

Y0=1/Z0
=R+j/(X2-X1)

と表すことが出来る。

従って

Z0=1/Y0
=1/(R+j/(X2-X1)

Z=Z0-jX1
=1/(R+j/(X2-X1)-jX1



これを抵抗Rg,コンデンサC1,C2で表すには

R=1/Rg

∴Rg=1/R

1/(X2-X1)=ωC1

∴C1=1/ω*(X2-X1)

X1=1/ωC2

∴C2=1/ωX1

とすればよく

Z=1/(1/Rg+jωC1)-j/ωC2

と表すことができる。これを回路図で描くと



RgとC1が並列接続され、それに直列にC2がつながることになる。