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投稿者 スレッド
webadm
投稿日時: 2012-2-4 9:41
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3068
続:電荷量不変の理
次も前問と似たような問題。

直流電圧Eで充電されたキャパシタンスC1に抵抗RとキャパシタンスC2を直列に接続して充電した。このときの放電電流iとキャパシタンスの電圧e1,e2を求めよ。また定常状態においてC1,C2に蓄積されるエネルギーの和とt=0におけるエネルギーとの差は抵抗Rで消費されることを証明せよ。ただしC2に初期電荷はないものとする。



というもの。

前問とはC1,C2の初期条件が異なる。それだけではなく、題意も捻ってあって、回路の電流だけでなくC1,C2の電圧を求める必要がある。更にエネルギー分配の証明問題のおまけつき。

C1,C2の電圧はC1,C2の電荷がわかれば前問の水タンクモデルのように水位を求めることができる。

以下の関係が成り立つ



これをHeavisideオペレータとベクトルで書き直すと



これを演算子法で解くと



ということになる。

従ってC1,C2の電圧は



ということになる。

一方定常状態でC1,C2に蓄積されるエネルギー量W1,W2は



ということになる。

従って題意にある定常状態のC1とC2のに蓄積されたエネルギーの和と、初期状態に蓄積されているエネルギーの差、それに抵抗Rで消費されるエネルギーは



ということで抵抗Rで消費されるエネルギーが初期状態でC1,C2に蓄えられていたエネルギーから定常状態でC1,C2に蓄えられているエネルギーを差し引いたものと等しいことが証明できた。

P.S

立式はもはや微分方程式ではなく、積分方程式を含む状態方程式となっている。戸惑うかもしれないが、電気回路理論を学んでいるのであって、微分方程式論を学んでいるのではないのだ。微分方程式で表すよりも積分方程式で表す方が見通しが良ければそれを使うべきである。Hevisideオペレーターが優れているのは微分作用素だけでなく積分作用素が混在する作用素方程式の問題に帰着させるためである。この方法は見通しが良いため物理学で多用されてきている。
webadm
投稿日時: 2012-2-7 6:22
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3068
断続部のあるRC直列回路
次の問題はRC直列回路だが、断続部を伴ったもの。

下図のように抵抗RとキャパシタンスCの直列回路において、t=0でスイッチS1を閉じて直流電圧Eを加え、T秒後にスイッチS2を閉じて抵抗の1/n(1≦n)を短絡する。このときの電流iを求め図示せよ。ただしキャパシタンスCに初期電荷はなかったものとする。



というもの。

一見簡単そうだが、以前にもRL直列回路で同じような問題があったときに苦労した覚えがある。

単位ステップ関数をU(t)とすれば、以下の関係が成り立つ



問題は方程式が定数係数形ではないという点だ。今までの問題はほとんどといっていいほど定数係数形だったので解くのは簡単だったが、変数係数形の解き方は教わってないぞ。

これをHeavisideオペレータとベクトルで書き直すと



これを演算子法で解くと



ということになる。

今までにも登場した演算子の変換公式の定数が関数に置き換わったところで危うく躓くところだった。



定数係数aが関数a(t)に置き換わったものは公式集や演算子法の本には書いていないと記憶するが今回の問題を解くために考案した。線型作用素自身が関数空間の元でもあるので一般に関数を含んでいて当然なのである。それを扱うには線型代数を関数空間に拡張する必要があるなど高度なので数学専攻か大学院でない限り教わることはない。しかしこれからは常識になるだろう。ここだけの秘密である。

C=E=R=T=1,n=2として電流iをMaximaでプロットしてみると



ということになる。t=Tに電流の不連続点があり、抵抗が小さくなったため時定数が小さくなり充電速度が速くなっているのが見てとれる。

著者の解にあるプロットを良く見比べてみると、著者のはt>Tで傾斜がむしろ緩くなっているように見える。これは計算に基づくプロットではないことを如実に示している。確かにMaxima等の数式処理ソフトがないと、指数関数のグラフを描くのは容易ではない。それにしても重要な特性が誤って描かれているのはだめだろう。

P.S

この問題でも作用素方程式を解く問題に帰着している。演算子法とベクトルのコンビネーションは依然として最強である。下巻で初歩の直流回路の回路解析が連立一次方程式を解く問題に帰着していたのとシームレスにつながる見通しの良い方法である。こうした作用素方程式は物理学、特に量子力学理論で多用されている。
webadm
投稿日時: 2012-2-10 9:18
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3068
続:断続部のあるRC直列回路
次も断続部のある問題

定常状態にある下図の回路において、スイッチを閉じてからt秒後に抵抗rを流れる電流を求めよ。



問題があまり簡単に思われないように問題文は回りくどい言い方をしているが、要するに抵抗rを流れる電流を時間tを変数とする関数として求める問題である。もっと回りくどくなってしまった。

前問と違って時間遅れ要素は無いので易しい雰囲気があるが油断はできない。

回路はスイッチを閉じる前には既に定常状態であるのでR1,R2,Cと電源で構成される閉回路電流は0である。従ってCの両端の電圧が電源電圧Eと等しくなっていることは自明である。そうするとCに蓄えられている電荷やエネルギーも自ずときまる。

あとはスイッチを閉じた際に電源側から電流i1がキャパシタンスC側から電流i2がそれぞれ抵抗rに流れることが予想される。

この予想が正しければCに蓄えられた電荷qと抵抗rに流れ込む電流i1,i2に関して以下の関係が成り立つ



3元連立方程式となってしまったが、qを消去してi1,i2のみの二元連立方程式にすることができるかもしれない。とりあえず見通しが良いのでこのままHeavisideオペレータとベクトルで書き直すと、



これを演算子法で解くと



ということになる。抵抗rに流れる電流iはi1とi2の和であるので



ということになる。

導出途中は3次元配列になりページからはみ出てしまうので省略した。導出に間違いがないかを確認するのは読者の課題としよう(´∀` )

代数操作は面倒だけど間違えなければ答えは正しいとわかっているので精神的にも楽で見通しが良い。

問題がぬるぽ過ぎる(´∀` )

P.S

作用素方程式に帰着ぜずに微分方程式として解くならば、この問題は十分手強い。積分方程式をわざわざ微分して微分方程式にしなければならないし、そうすると非同次形であったものが同次形になり、初期値問題を解かねばならないという手間が増える。更に連立しているので同時にすべての解が得られるはずもなく。これでは工学モデルをたててそれを解くというおもしろさや痛快さが味わえないばかりか茨の道でもある。

かくいう自分自身も3つの不定元(関数)が演算子法で3つ同時に解けた瞬間を味わって若い学生時代に戻れたら苦痛でしかたのなかった応用力学とかの記憶を塗り替えられるのではと妄想に耽るのであった。体験するのがいささか遅きに過ぎたとは言えHeavisideの演算子法を再発見できた喜びは大きい。

19世紀のビクトリア王朝時代、Heavisideは演算子法に関する2つめのshifting theoryの論文を発表後、王立アカデミーは彼の以降の論文を拒否する決定を下した。演算子法に関する批判にHeavisideが火に油を注ぐような反論をしたためだ。彼は今使っている整数べきの演算子にとどまらず、分数べきの演算子を含む形に拡張していた。その論文は掲載を拒否されたので一般の知るところとは成らなかった。機会があれば探し出して見てみたいものである。
webadm
投稿日時: 2012-2-12 20:06
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3068
続々:断続部のあるRC直列回路
次も断続部のあるRC直列回路の問題

下図の回路はスイッチを開いたままの定常状態にあるものとする。いまt=0でスイッチを閉じるときキャパシタンスCにはどのような電流が流れるか。



というもの。

前問と似ているが、断続部の位置関係が異なる。

スイッチが閉じる前は定常状態なので、R1,R2,R4の抵抗分圧で定まる電圧にCが充電済みである。従ってこの時点でCに蓄えられている電荷が定まる。

スイッチが閉じるとR2が短絡されるためR1,R4だけの閉回路となり、以前より電流が増すことになる。同時にR4の電圧降下は上昇し、Cとの電圧差によって充電電流が流れることになる。と予想される。

この予想が正しければ以下の関係が成り立つ。



これをHeavisideオペレータとベクトルで書き直すと



これを演算子法で解くと



ということになる。

題意ではi2だけ問われているのでq,i1については未整理のままである。整理するのは読者の課題としよう(´∀` )

P.S

この問題も断続部が伴うが微分方程式的には典型的な初期値問題である。断続部は初期条件を与える鍵であるがひっかけ問題でもある。いずれにしても、作用素方程式に帰着すれば演算子法で解くぶんにはどれも変わりない。ぬるぽ過ぎる。
webadm
投稿日時: 2012-2-12 23:06
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3068
まだまだ:断続部のあるRC直列回路
次はようやく時間差断続のあるRC直列回路の問題

下図のような回路において、t=0でスイッチS1だけを閉じ、ついでt=TのときスイッチS2を閉じると同時にスイッチS1を開く。この回路に流れる電流を求めこれを図示せよ。



というもの。

これはT時間幅の単一パルス電源をRC直列回路に接続したのと等価である



以下の関係が成り立つ



これをHeavisideオペレータとベクトルで書き直すと



これを演算子法で解くと



ということになる。

C=E=R=T=1としてMaximaでプロットすると



ということになる。t=Tでiの不連続点がある。

ここでも市販の公式集や演算子法の本では紹介されていない以下の変換公式を考案して用いた



まだまだぬるぽ(´∀` )
webadm
投稿日時: 2012-2-14 7:38
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3068
もうひとつの:断続部のあるRC直列回路
次も断続部もの

以下の回路のスイッチS1をt=0で閉じ、ついでt=TでスイッチS2を閉じる。キャパシタンスCには初期電荷Q(Q≧CE)が蓄えられているものとしてこの回路に流れる電流を求めよ。



というもの。

Cの電荷がCEより大きいということはCの両端の電圧がEより大きいということになるので、スイッチS1を閉じた際にCから電荷が電源側に流れ込むことが予想される。その電流はR1とR2によって制限されるが、t=TでR1が短絡されるので、制限が緩和され更に放電が加速することが予想される。

この予想に従って関係式をたててみると



という関係が成り立つ。

これをHeavisideオペレータとベクトルで書き直すと



ということになる。

これを演算子法で解くと



ということになる。

Q≧CEなので電流は回路を閉じた瞬間から図のiの方向とは逆向きに流れることになる。t=Tで電流iの不連続点が生じる。

C=E=R1=R2=1,Q=2としてMaximaでプロットしてみると



ということになる。t=Tの前後を比べると明らかにスイッチS2を閉じることによって時定数が短くなり放電が加速しているのが見てとれる。

著者のグラフと見比べてみると以下の違いがあることに気づく。

・t=0の電流の値が誤っている
・t=Tの値が電流iではなく電荷qの式になっている。

明らかに原稿上のミスだろう。
webadm
投稿日時: 2012-2-14 8:48
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3068
RC並列回路
今度はRC並列回路の問題

下図の回路はスイッチが開かれ、キャパシタンスCの両端の電位差が0という定常状態にある。いまt=0からT秒間スイッチを閉じキャパシタンスCを充電し、ついでつぎのT秒間スイッチを開いて放電する。このようにスイッチをT秒間隔で断続を繰り返すとき、十分に時間が経過した後のキャパシタンスCの電位差eと抵抗rを流れる電流irはどうなるか。



というもの。

最初のRC並列回路の問題としては難しい部類かもしれない。

最初以下のようにスイッチと電池を矩形波出力の電圧源に置き換えて計算し始めたのだが、途中でそれは間違いであることに気づいた。



以前の問題はRL直列回路だったので、回路は閉じたまま矩形波出力の電源が接続されているケースで電源出力が0の時も回路は閉じたままであった。今回はRC並列回路で電源側回路は開放になってしまい電流は流れなくなる点が大きく異なる。

上の回路だと電源出力電圧が0になると、C側から電源方向にも放電電流が流れることになってしまい題意とは異なる。

どうすんだこれ(;´Д`)

等価電源を用いるとすると、等価電流源にすれば電流0という状態は作り出せるが定電流電源とはならない。

見通しよく解くには解析関数で電源を表すことができればいいのだが。

2012/2/18

夕食時に以下の様な等価回路を思いついた



スイッチと並列にR∞という抵抗を接続する。今日では顧みられることのない18世紀のEulerの無限解析という手法を引っ張り出すことにする。すなわちR∞≠0の抵抗値を持つとして解析し、解が得られた後、R∞を無限大に移行する。これによってスイッチが開いた状態では電流icが流れないので題意の回路と等価になるはずである。

単位ステップ関数をU(t)とすると以下の関係が成り立つ



これをHeavisideオペレータとベクトルで表すと



これを演算子法で解くと




(2012/3/3)
むう、見通しがたたなくなってきた。どっかで間違いをしでかしたとしか思えない。もっと初期の段階でtの区間のケース分けをして考えるべきだったかもしれない(;´Д`)

(2012/3/6)
もういちど原点に立ち返って立式から見直してみよう。

積分方程式を使わなくても同じ回路で以下の関係が成り立つ



R∞(t)は最初に考えた立式に出てくる単位ステップ関数の級数からなるスイッチング関数である。長いので表現を短くした。

これは良く見ると、第1式と第3式からic,irを求めて第2の式に代入するとic,irを消去することができる。Cの両端の電圧に関する一階非同次常微分方程式



ということになる。これなら演算子法を持ち出すまでもなく、公式によって一般解は



ということになる。

ここで初期条件としてt=+0でec(+0)=0を与えて未定積分定数Kを求めると



ということになる。従って特解は



ということになる。

結局最初に演算子法で導いたのと同じ結果になった。問題はいつも登場するこのへんてこな積分をどうにかしないといけないという点である。

どうすんだこれ(;´Д`)

どうやら古い「演算子法と其の応用」という本に、以前から登場するへんてこな積分がDuhamel積分として紹介されている。演算子法の時代にも回路に加えられる電源が演算子法の変換表に無い任意の関数の場合にどうしてもDuhamel積分を用いて新たに変換公式を導く必要があった。

今日Duhamel積分は畳み込み積分(Convolution)もしくは合成積と呼ばれている。

畳み込み積分というと大抵の本には



というような形で最初から登場しているので、以下のDuhamel積分表記とはまったく違うものと思われるかもしれない。



しかしこれは積分変数tをuに置き換えることで以下の様に書き換えることができる



演算子法ではこのDuhamel積分を使って既に知られている様々な変換公式を予め導いて使用する。面倒な積分やよく登場する外部入力に関する関数に関して予めDuhamel積分を計算しておけば演算子法で簡単に解が得られるというわけである。

さて問題に立ち戻ると、この積分をどうやって計算すればよいのかということになる。

(2012/3/11)
暗い、寒いので寝床で悶々と考えていたら、先の電圧の解の性質は以前に似たような矩形関数を伴うRL直列回路の問題(またひとつの:RL直列回路)の電流の解とそっくりなことが気になった。そして良く考えたら、この問題の回路は以前にやった回路と相対であることに気づいた。相対回路では

・並列⇔直列
・L⇔C
・電流⇔電圧
・R(抵抗)⇔1/R=G(コンダクタンス)
・開放⇔短絡

という関係があるのを上巻の最初に学んだのを憶えているだろうか?

つまりこの問題は、以前にやった「またひとつの:RL直列回路」と相対な問題(すなわち同じ問題の言い換え)だったというわけ。

なんだそういうことだったのか(´∀` )

問題の回路と双対なRL直列回路を描いてみると



ということになる。以下の双対関係に注意。

・キャパシタンスCの両端の電圧(ec)⇔インダクタンスLに流れる電流(i)
・抵抗rに流れる電流⇔抵抗1/rの両端の電圧
・Cとrの並列回路に流れる電流⇔Lと1/r直列回路に加わる電圧

つまり下のRL直列回路の電流(i)を解くことは、上のRC並列回路のCの両端の電圧(ec)を解くのと同値である。

よく見ると電圧と電流の関係が逆になっている点で厳密には以前に解いたRL直列回路とは電源部が異なるが、同じように重ね合わせの理を使って解く事もできそうである。

さて依然としてDuhamel積分計算が課題として残っている。

(2012/3/20)
いろいろ思考錯誤した途中経過は誤りがあるので割愛した。0≦t≦Tの区間で計算してみた場合に微分方程式の解と異なる結果になってしまうからだ。おそらく定積分に部分積分の公式を用いたあたりでどっかミスを犯して導出した式が間違ってしまっていたのだと思われる。いずれにせよそれらの計算は面倒で間違え易いのでアプローチとしては望ましくない。

やはり演繹法的に一発解というのは現段階では難しいとしかいいようがない。IQが低いので先のDuhamel積分をエレガントに計算する術をもたないのが敗因だ。

そうなるとGaussのようにやるしかない。特殊から一般へ、帰納法的に地道に行くしかないだろう。

(2012/3/27)
突破口が見えたかにみえたが蜃気楼だった(;´Д`)

とりあえず今のところ正しいと思われる先の解について0≦t≦Tの場合について考えてみよう。この場合にはR∞はスイッチによって短絡されているので式の上からは消失する。



ということになる。これは正しい。

続いてT≦t≦2Tの区間を考えると、この場合にはスイッチが開くのでR∞が回路に挿入され、R∞→∞とすれば実質左の電源とR∞、Rは式の上から消失する。t=Tの時点で電荷量保存則によりCの電荷はスイッチを開いた時点では変化しないので、電圧も前の区間と後の区間でec(T)は等しいことになる。従って直前の区間でのec(T)を求めると



ということになる。これを初期条件としてecの一般解から特解を求めると



従って



ということになる。

ここまでをE=r=R=C=T=1としてグラフにプロットすると



以前の似たような問題の波形と良くにた波形が現れる。同じ問題の言い換えだから当然か。上限は抵抗分圧できまるE*r/(R+r)を超えることはない。

(2012/3/28)
さて続いて2T≦t≦3Tの区間のec1を求めてみよう。再びスイッチは閉じるので式の上にRが現れ代わりにR∞が消失する。元の一般解の式より特解を求めるための初期条件として直前の区間でのec(2T)の値を計算しておく



従って以前の似たような問題でも問われたように、ec(T)とec(2T)の比は一目瞭然で



ということになる。r,C,Tいずれも正の実数であればこの値は常に非零かつ1未満ということになる。これは後で役立ちそうである。

同様にして区間2T≦t≦3Tへ解析接続すると



従って



なんですかこれは(;´Д`)

たしかにt=2Tを代入すると前区間のec(2T)と一致するので正しいのだろう。

更に解析接続するためにt=3Tを上の式に代入してec(3T)を求めると



ということになる。

すでに計算力の限界に来ているので、Maximaで検算を行った。

さてここまでくれば次の解析接続区間でのec(4T)の値を予想することができる。それは



である。予想が正しいかどうか計算して確かめてみよう

同様にして区間3T≦t≦4Tへ解析接続すると



従って特解は



ということになる。t=4Tを代入するとec(4T)は



予想通りじゃないか(´∀` )

少し自信が湧いてきたo(^-^)o。

これで2サイクル分の区間が解析できたことになるので、ここまでの結果をグラフにプロットすると



ということになる。

さていよいよ任意の2nサイクル(2nT≦t≦(2n+1)Tの区間)と2n+1サイクル((2n+1)T≦t≦(2n+2)Tの区間)の解を洞察する段階に来た。

まずこれまで解析接続で導いた区間の解の式をまとめると



これらから類推して2nT≦t≦(2n+1)Tと(2n+1)T≦t≦(2n+2)T、n=0,1,2,...,に関する一般形が思いつくだろうか。

わがんね(;´Д`)

区間境界の値についても整理すると



こちらはだいぶ規則性が認められる。

上記の2つの結果を交互に見比べるとようやく解の一般形が見えてくきた( ̄ー ̄)ニヤリ



しかし上の表現で肝心なec(2nT)とec((2n+1)T)の一般形が見えない(;´Д`)

いいアイデアを思いついた(´∀` )
上の一般形式が正しいと仮定すると、t=(2n+1)Tでは2つの式は等しいので



これを先の一般形に代入すると



ということになる。

残るec(2nT)の一般形がわがんね(;´Д`)

あともう一歩なんだけどなあ( ´д`)

(2012/4/2)
もう問題に取り組み始めて一ヶ月近くが経過しようとしている。時間制限はないのだから自分が納得するやりかたでやるのだ。

ここまで来てだいぶ問題のDuhamel積分の計算の仕方がわかってきた感じがする。いよいよ一般的な2nT≦t≦(2n+1)Tの区間の解を計算する時がきたのかもしれない。



さて上の括弧内の数列の和をSとすると



ということになる。

従って区間2nT≦t≦(2n+1)Tの解は



ということになる。これにt=2nTを代入するとec(2nT)は



ということになる。

これを先の一般形式に代入すれば



ということになる。

できたじゃないか(´∀` )

やったよママン(ノД`)

さてこれで終わったわけではない。

題意では十分時間が経過したときのecを問われているので、n→∞へ移行した極値を求める必要がある。

先のec(2nT)の極値を計算すると



ということになる。

また抵抗rを流れる電流irの極値も同様にして



ということになる。

最後に解の一般形が得られたので、5サイクル分の波形をプロットしてみよう。これはMaximaを使って容易に可能だ。



波形の極値も計算通りであることが確かめられた(´∀` )

級数の和の計算は手元の「級数論」の最初の章にさりげなく結論だけ示されていて、常識のような扱いだったが、意外に公式集には乗っていない。そういえば「エレガントな問題解決」の最初の部分に同様の例題があったのを思い出して自分で導いてみた。これも自分で導いた経験が無いとすぐには思いつかない。

本当は数学的帰納法によって導いた一般形が正しいか証明する必要があるが、それは読者の課題としよう(´∀` )

途中、他の驚くべき別解方法についてもアイデアが浮かんだが、後書きに書こうかと思ったらもう忘れてしまっていた( ´д`)

確かHeavisideは演算子法の最初の論文(展開定理を含む)の次の論文である関数を時間軸上にシフトした場合の簡単な計算方法としてShifting Theoryというのを書いたと記憶している。それはちょうど、この問題のように、1サイクルの動作(2T時間)を2T時間だけシフトして重ね合わせれば簡単になるはずである。このあたりのテクニックは名前はそのままでLaplace変換でも利用可能である。Laplace変換は後で学ぶのでそのときまでは伏せておこう。

この種の問題はLaplace変換でも難しい部類に入る。戦後、リレーロジック回路の設計者達は、リレーのもつ微妙な時間遅れ要素を考慮しつつほとんど当時は計算不能と思われるタイミングを頭にぜんぶ入れて試行錯誤で確実に動作する装置を開発していた。Shanonがベル研で学生として研修していた時に、日本で世界に先かげてリレー論理代数を独自に編み出した日本電気の中島もベル研を訪れその話題について話し合ったらしい。中島は今では当たり前のブール代数というものを当時知らず独自の代数を考案していたのに対して、Shanonはそれを学んでいたのでそれをベースに中島と同様にリレー論理代数を整理し修士論文とした。後にそれが有名になって、中島にスポットライトがあたることは無かった。ベル研で合った際にShanonは中島の先駆的な仕事からインスパイアされたと考えるのが自然である。

その後リレー回路に代表される論理回路はパルス回路として後のテレビジョン回路などにも多用されデジタルICが登場するまでは必修理論だった。しかしデジタルICが普及すると、面倒なタイミング計算中心から、複雑な論理そのものを扱うのが設計の中心と移り変わった。今日では論理合成ツールやシミュレーターが手計算に代わるツールとして普及している。

パルス回路(アナログとデジタルの中間)は離散的線形回路と呼ばれ。代表的なのがスイッチドキャパシタ回路である。この問題の回路は典型的なローパスフィルタの特性だけでなくスイッチ周波数に比例して出力電圧が減衰する可変抵抗素子の特性も副産物として備えている。集積回路上で実現できる微少なキャパシタンスで、等価な可変抵抗を実現するスイッチドキャパシタ回路に応用されている。その典型例がプッシュホンのプッシュ音から押された数字キーを判別するDTMF信号復号回路がスイッチドキャパシタフィルタで実現された。

そうした歴史の一端を垣間見ることができる問題である。

P.S

著者の解は、下巻ではめずらしく誤植と原稿ミスが目立つ。見通しは良くないが、しょっぱな演繹的に一般解を示し、後半は帰納的に一般形式を求めている。後半の式にも誤植があり最終的な式の導出にギャップがあり疑わしい。それと最後に執筆の時間が無かったのか題意ではrに流れる電流を求めよとなっているのに、何故かRに流れる電流を導く方法を述べて終わっている。これは明らかに題意と違うのでほとんど出来ているのに点数は半分しかもらえないだろう。いずれにせよ著者にとっても極めて面倒な問題であったのは確かだろう。

いずれにしてもこの問題は受験者に満点をとらせないための問題としては良いかもしれない。よっぽど勉強していないとこれを短時間に解くのは難しい。
webadm
投稿日時: 2012-4-5 10:59
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3068
続:RC並列回路
前問を解くのにぴったり1ヶ月を要したので、次の問題はどんだけ難しいのだろうと恐れていたが、そうでもなかった。

といっても簡単ではなく、RC並列回路が2つ直列になっているので、RC直並列回路というべきかもしれない。

以下の回路でt=0でスイッチを閉じる場合、電流iおよびキャパシタンスC1,C3の電荷q1,q3を求めよ。ただしC1,C3に初期電荷はなかったものとする。



電圧Eが直列に接続された2つのRC並列回路にステップ入力されると考えることができる。

以下の関係式が成り立つ



これをHeaviside演算子とベクトルで書き直すと



これを演算子法で解くと



ということになる。

簡単に解けたように見えるが、実はここで矛盾が生じる。題意ではt=0でC1,C3の初期電荷は0ということになっているが、上記の解にt=0を代入すると



ということになり、初期電荷が0でないということになってしまう。

どうしてこういうことになってしまうのだろう( ´д`)

宇宙の始まりのビッグバンが発生する以前に、既に宇宙があったことになってしまう。これでは矛盾する。それと同じである。

また電流iに関しても、初期状態でC1,C3の電荷は0だとすると電圧降下が0の素子が直列に接続して電源を短絡する状態で待ち受けていることになる。t=0で無限大の電流が流れることになる(最初の電荷がC1,C3どちらかに蓄積されるまでの一瞬)。それはどうなってしまったのだろうか?解からだとt=0の電流は



ということになる。括弧内の第一項は抵抗R2,R4直列部分に流れる分で、残りがC1,C3直列部分に流れる電流ということになる。有限値というのが予め電荷が蓄積されているということを意味する。これも矛盾である。

最初の立式を微分方程式ではなく積分方程式にすれば電荷の初期条件を0にできると思われるが



これを解いても少なくともq1,q3については先の結果と変わらなかった。おそらくiも同じ結果だろう。それを確認するのは読者の課題としよう(´ー` )

どうすんだこれ(;´Д`)

t=0は特異点ということで目をつぶれば済むはなしではないだろう。納得がいかない。

この問題の困難な点は定電圧源と並列にキャパシタが接続されていることにある。キャパシタの初期電荷が0とすると、初期の電圧降下は0となるためt=0ではv1+v3=Eの条件を満たさないという矛盾が生じる。

この回路と相対な以下の回路で考えても同様のことが言える



みての通り先の回路とは以下の相対関係がある

・キャパシタンスC1⇔インダクタンスL1
・キャパシタンスC3⇔インダクタンスL3
・抵抗R2⇔コンダクタンスR2
・抵抗R4⇔コンダクタンスR4
・電流i⇔電圧v
・電圧v1⇔電流i1
・電圧v3⇔電流i3
・電圧源E⇔電流源E
・スイッチ短絡⇔スイッチ開放

t<0ではスイッチが閉じているため、v=0である。しかしt=0でスイッチが開くと電流源Eは回路に定電流Eを流そうとし、L1,L3は逆に鎖交磁束不変の理で流れる電流を保とうとするために無限大の電圧降下が発生する、電流源は電流を流そうとして出力電圧を無限大に上昇させる・・・押しくらまんじゅうになる。結局t=0ではi1+i3=0が保たれる。

どこからこの状態が決壊するのだろうか?

それを考えるためには以下のように捉える必要がある



すなわちスイッチが開く前に予めL1,L3にはそれぞれ非零なるポテンシャルエネルギーが蓄えられていて、それによるi1(-0)=-i3(-0)≠0というポテンシャル電流が流れていると仮定する。スイッチは閉じているのだから、v=0であり初期条件は満足する。抵抗の両端の電圧降下については条件を付けていないのでi1(-0),i3(-0)を非零な任意の値を与えることができる。

そしてt=0でスイッチが開くと、それまで閉じたスイッチを流れていたポテンシャル電流i1(+0),i3(+0)は逃げ場を失い、L1,L3,1/R2,1/R4で構成される閉回路を流れるようになる。この場合i1(+0),i3(+0)は互いにに打ち消し合い、見かけ上0となる。

そこに同時期に電流源Eから流し込まされる電流が重ね合わされることになる。この場合は、鎖交磁束不変の理で電流を保とうとするためL1,L3の両端に同じ極性の電圧降下が発生しv≠0となる。

これであればt<0でなんらかのポテンシャル電流i1(-0)=i(+0)=-i3(-0)=-i3(+0)≠0が存在する仮定を除いてはなんの疑問も生じない。

疑り深い読者は上記のt<0のときと同じ閉回路をこしらえて抵抗の両端の電圧を測定したら0だったから電流など流れていないと反論するかもしれない。しかしi1(-0),i3(-0)の値は任意に決められるので、測定できないような限りなく0に近い微少な値でもよいのである(対称性にわずかでも揺らぎがあればよい)。

従って、著者が解で注記しているのと同様に、u1(-0)+u3(-0)=0を満足するようにt<0でi2(-0)=-i4(-0)のポテンシャル電流が予め流れているとする考えることができる。q1,q3の式はあくまでC1,C3に蓄積された電荷の量なので、C1とC3のポテンシャル電荷の極性が同じである必要は無い。ということだった。

以下の様にi4,u3の極性を逆にして解けばよい(´ー` )



以下の関係が成り立つ



これを解くと




ということになる。従ってq1(-0)+q3(-0)=q1(+0)+q3(+0)=0となり題意の初期条件を(電荷量保存則の観点から)満足するのでまったく問題ない。強いて言えば、"ただしC1,C3に初期電荷はなかったものとする"という問題文に問題があるというべきかもしれない。

P.S

簡単そうに見える回路だが、そこには宇宙の起源にも関係する深淵な理論が隠されていたのだった。そのためか、ほとんど一般に見られる出版物や講義ではこの種の問題を華麗にスルーしている。その意味では本書にこの問題を掲載した著者の見識は高く評価される。

P.S

とは言えやはり納得はいかない。その理由は本質的にこの問題の解が有界ではないことに起因するのではないかと予想している。Hilbert空間における線型作用素(演算子)の線型性が成り立つのは関数が有界である場合に限られるからである。この問題の演算子法による計算手順にはここに示した以外に部分分数に展開する方法がある。その場合、電流の解に電圧のステップ入力を微分する項が現れる。これはt=0において電流が一瞬だけ∞の値を取ることを意味する。その項を無視すると、先の解と同じ結果になる。

19世紀の数学ではδ関数は存在せずHeaviside関数の導関数も存在しなかった、微分不可能な点を含むからである。20世紀になってDiracが単位ステップ関数の導関数であるδ関数を考案した。Diracは電気工学の学生時代にHeavisideの電磁気学理論の著書に出会い、人生が変わった。厳密な純粋数学の呪縛から解き放され、解脱したのである。その結果生まれたのがδ関数、後に超関数(distribution)理論としてSchwartzが系統化し従来の関数概念を拡張する数学的な偉業を成し遂げた。それ以来やっと量子力学では大手を振ってδ関数やHeaviside関数(単位ステップ関数)を扱えるようになった。しかしそれとて決して万能ではなく、一定の条件がつくことになる。おそらく本問題の解ではt=0に関してはそれが成り立たないのではないだろうかと予想される。これ以上の研究は読者の課題としよう( ´∀`)
webadm
投稿日時: 2012-4-10 8:07
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登録日: 2004-11-7
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LC直列回路
次はLC直列回路

これも普通の本では扱わない禁断の回路。現実には存在しないし作れない。それをあえて扱うところにおもしろさがある。

インダクタンスLとキャパシタンスCが直列に接続されている回路に直流電圧Eをt=0で加えるとき、インダクタンスLおよびキャパシタンスCに生じる電圧を求めよ。またキャパシタンスの最大電圧はいくらか。



LC直列回路に電圧Eがステップ入力されると考えることができる。

以下の関係式が成り立つ



これをHeaviside演算子とベクトルで書き直すと



これを演算子法で解くと



ということになる。

「共立 数学公式改訂増補」にある以下の演算子の対応表を今回は使用した



これは既に知っている変換からも得られる



従ってキャパシタンスの両端の電圧値はv2のcos項が-1を取る時に最大で



ということになる。

C=L=E=1としてv1,v2,iをプロットしてみると



ということからも明らかである。

現実の回路では電源もインダクタンスもキャパシタンスも電力を消費するので、上の解の様に永久にエネルギーの蓄積と放出サイクルを繰り返すことはなく、有限時間内に減衰して定常状態に落ち着くことになる。

インダクタンスと配線に超伝導材料を、キャパシタンスに真空を用いたらどうなるだろうか。その場合には極めて長期間振動を繰り返すことが予想されるが、それでも電界と磁界が時間と共に変化するため周囲の自由空間を歪ませその波が電磁波として放射されるので、電源からのエネルギーをわずかに消費し続けることになる。それを無視すれば上記の解に等しい結果が得られる。

現実の回路はRLC直列回路となるわけだが、ここで抵抗Rを半導体素子や真空管などの負性抵抗素子に置き換えると、次第に振幅が減衰する抵抗の場合とは逆に次第に振幅が増大する。これが発振回路の原理である。
webadm
投稿日時: 2012-4-11 15:26
Webmaster
登録日: 2004-11-7
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投稿: 3068
続:LC直列回路
次もLC直列回路の問題

ちょっと捻ってある。

インダクタンスL=25[mH]に直流電流I=40[A]を流しておき、急にキャパシタンスC=10[μF]に接続するとき、各要素に生じる電圧および電流の最大値ならびに固有周波数を求めよ。



というもの。

スイッチを切り替える前にはすでにインダクタンスLにはエネルギーが蓄えられていて、スイッチを切り替えるとそれがキャパシタンスに側に放出される。あるいは、鎖交磁束不変の理により、インダクタンスLは電流Iを流そうとする。従ってt=0においてi(-0)=i(+0)=Iであることが予想される。またキャパシタンスCには初期状態として電荷が0であると仮定すると、t=0でv2(-0)=v2(+0)=0ということになる。従ってv1(-0)=v1(+0)=0と予想される。

LとCが直列に接続された際の閉回路には以下の関係が成り立つ



これをHeaviside演算子とベクトルで書き直すと



これを演算子法で解くと



ということになる。

電圧と電流の最大値それに固有周波数はそれぞれ



ということになる。

P.S

演算子法を用いる場合には、以下の様に右辺が全て0となるような立式だと都合が悪い。



Heaviside演算子とベクトルを用いて上の式を書き直すと




という形になり。これは同次作用素方程式と呼ぶべきだろうか。Fが可逆(逆演算子が存在し)かつF≠0である場合、方程式を満足する関数ベクトルuはただひとつu=0である。これは自明な解であって求めようとする非自明な解ではない。もちろん上の立式でもv1,v2を消去すると変数分離型の定係数二階線型同次微分方程式になるので初期値問題として解くことができる。しかし演算子法では初期値を与えるステップが最初を除いて存在しないので予め非同次作用素方程式の右辺に非零な不変関数か定数ベクトルとして含める必要がある。

そのため、この問題を演算子法で解くために立式時に初期条件を予め含み入れたものにする必要があった。インダクタンスLに蓄えられたエネルギー保存則を用いるアイデアもあるが、エネルギーは双線型(bi-linear)形式であるので面倒である。そこで鎖交磁束不変の理を用いることにした。t=-0で回路の鎖交磁束の総和はL*Iであるから、それを右辺に置き非同次作用素方程式ができるので演算子法で解くことができる。

この問題の回路も現実には存在しない。強いて作ろうとすれば、真空中に超伝導材料で回路を構成するしかない。そうすれば電界と磁界の変化によって微量のエネルギーが周囲の自由空間に放射される点を無視すればほぼ永続的にキャパシタとインダクタの間でエネルギーの交換が(まるで心臓の鼓動のように)繰り返される。

現実の素子で回路を組むとRLC直列回路になってしまうので、比較的短い時間でエネルギーは抵抗で熱となって消費され、インダクタンスとキャパシタンスとの間で交換されるエネルギー量が時間とともに減少し最後には0になってしまう。

この回路の解をグラフでプロットすると、すぐには予想もつかないような形になる。v1とv2は実際には常に相殺しあってキルヒホッフの電圧則を満足する。電流は最初初期条件の向きで流れるがキャパシタンスにエネルギーが移動するにつれ減少し遂には0に到る。今度は逆にキャパシタンスに蓄えられたエネルギーがインダクタンス側に放出され、逆向きに電流が流れる、電流が変化するとLに電圧が生じ、流れる電流が減少していき、遂には0に到る、今度はインダクタンスに蓄えられたエネルギーがキャパシタンス側に放出され...これが延々と繰り返される。

C=L=I=1としてプロットすると



ということになる。

力学系で例えると、インダクタンスはフライホイールで、予め速度Iで回転した状態で、キャパシタンスである渦巻きゼンマイに回転軸が連結される。フライホイールは慣性で渦巻きゼンマイを巻き上げる方向にしばらく回転するが、渦巻きゼンマイにエネルギーが移動するにつれ反発力が増すと同時にフライホイールの回転速度は次第に減少し0に到る(フライホイール側のエネルギーが0)、今度は逆に渦巻きゼンマイが巻き戻り始めフライホイールを逆回転させ、エネルギーが再びフライホイール側に移動する。というぐあい。



P.S

回路図中のv1,v2の極性に対して立式が一致していなかったので訂正した。最初の段階でどちらの極性の電圧が発生するかはなかなか予想が難しい。Cの電荷は電流が流れるのと逆らう極性になることは容易に予想されるが、Lの電圧降下はどうだろう。キルヒホッフの電圧則に従えば、Cの電荷を相殺する極性を持つことになる。立式ではとりあえず、v1,v2の電圧は共通のノードからの相対電圧として定義し、それに対して電流の流れを定めれば自ずと可能なのだが、負号の付け方には二通りあり(両辺に-1を掛けても式の意味は変わらない)、いろいろ心惑わされるのであった。

結果的に最初に定義した極性とは最初逆極性の電圧が発生し、次のサイクルではそれが逆転へ向かうということがわかる。
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