次ぎもひねった等価回路の問題



どっかで見たような回路の中点を閉じても開いても定抵抗回路となるようなω、R,L,Cの関係を導けというもの

合成インピーダンスが定抵抗となるのは実効リアクタンスが０となるωを求めればよいのでスイッチを開いた状態でのインピーダンス

Z1=1/(1/(R+1/jωC)+1/(R+jωL))

(%i2) Z1=1/(1/(R+1/(%i*o*C))+1/(R+%i*o*L));(%o2) Z1=1/(1/(R+%i*o*L)+1/(R-%i/(o*C)))(%i3) factor(%);(%o3) Z1=((R+%i*o*L)*(o*C*R-%i))/(2*o*C*R+%i*o^2*C*L-%i)
(%i7) rectform(%);(%o7) Z1=(R*(2*o^2*C^2*R^2-o^2*C*L+1)-o*L*(o*C*(1-o^2*C*L)*R-2*o*C*R))/(4*o^2*C^2*R^2+(o^2*C*L-1)^2)+(%i*(o*L*(2*o^2*C^2*R^2-o^2*C*L+1)+R*(o*C*(1-o^2*C*L)*R-2*o*C*R)))/(4*o^2*C^2*R^2+(o^2*C*L-1)^2)(%i8) factor(%);(%o8) Z1=(2*o^2*C^2*R^3+%i*o^3*C^2*L*R^2-%i*o*C*R^2+o^4*C^2*L^2*R+R-%i*o^3*C*L^2+%i*o*L)/(4*o^2*C^2*R^2+o^4*C^2*L^2-2*o^2*C*L+1)(%i9) rectform(%);(%o9) Z1=(2*o^2*C^2*R^3+o^4*C^2*L^2*R+R)/(4*o^2*C^2*R^2+o^4*C^2*L^2-2*o^2*C*L+1)+(%i*(o^3*C^2*L*R^2-o*C*R^2-o^3*C*L^2+o*L))/(4*o^2*C^2*R^2+o^4*C^2*L^2-2*o^2*C*L+1)

整理すると

Z1=(2*ω^2*C^2*R^3+ω^4*C^2*L^2*R+R)/(4*ω^2*C^2*R^2+ω^4*C^2*L^2-2*ω^2*C*L+1)+j(ω^3*C^2*L*R^2-ω*C*R^2-ω^3*C*L^2+ω*L)/(4*ω^2*C^2*R^2+ω^4*C^2*L^2-2*ω^2*C*L+1)

インピーダンスが定抵抗になるには虚数部が０にならなければいけないので

ω^3*C^2*L*R^2-ω*C*R^2-ω^3*C*L^2+ω*L
=ω*(ω^2*C^2*L*R^2-C*R^2-ω^2*C*L^2+L)
=ω*(R^2*C*(ω^2*C*L-1)-L*(ω^2*C*L-1))
=ω*((R^2*C-L)*(ω^2*C*L-1))
=0

従って

R^2*C-L=0

ω^2*C*L-1=0

これをL,Cに関する連立方程式として解くと

(%i11) solve([o^2*C*L-1,C*R^2-L],[L,C]);
(%o11) [[L=R/o,C=1/(o*R)],[L=-R/o,C=-1/(o*R)]]

L=R/ω

C=1/(ω*R)

ということになる。

またスイッチを閉じた場合の合成インピーダンス

Z2=1/(1/R+1/jωL)+1/(jωC+1/R)

(%i14) Z2=1/(1/R+1/(%i*o*L))+1/(%i*o*C+1/R);
(%o14) Z2=1/(1/R-%i/(o*L))+1/(1/R+%i*o*C)
(%i15) factor(%);
(%o15) Z2=-(R*(%i*o^2*C*L*R-%i*R+2*o*L))/((%i*R-o*L)*(%i*o*C*R+1))
(%i16) rectform(%);
(%o16) Z2=-(%i*R*(-R*((o*C*R*(o^2*C*L*R-R))/(o^2*C^2*R^2+1)+(2*o*L)/(o^2*C^2*R^2+1))-o*L*((o^2*C*L*R-R)/(o^2*C^2*R^2+1)-(2*o^2*C*L*R)/(o^2*C^2*R^2+1))))/(R^2+o^2*L^2)-
(R*(R*((o^2*C*L*R-R)/(o^2*C^2*R^2+1)-(2*o^2*C*L*R)/(o^2*C^2*R^2+1))-o*L*((o*C*R*(o^2*C*L*R-R))/(o^2*C^2*R^2+1)+(2*o*L)/(o^2*C^2*R^2+1))))/(R^2+o^2*L^2)
(%i17) factor(%);
(%o17) Z2=(R*(%i*o^3*C^2*L*R^3-%i*o*C*R^3+o^4*C^2*L^2*R^2+R^2-%i*o^3*C*L^2*R+%i*o*L*R+2*o^2*L^2))/((R^2+o^2*L^2)*(o^2*C^2*R^2+1))
(%i18) rectform(%);
(%o18) Z2=(%i*R*(o^3*C^2*L*R^3-o*C*R^3-o^3*C*L^2*R+o*L*R))/((R^2+o^2*L^2)*(o^2*C^2*R^2+1))+(R*(o^4*C^2*L^2*R^2+R^2+2*o^2*L^2))/((R^2+o^2*L^2)*(o^2*C^2*R^2+1))

整理すると

Z2=(R*(ω^4*C^2*L^2*R^2+2*ω^2*L^2))/((R^2+ω^2*L^2)*(ω^2*C^2*R^2+1))+jR*(ω^3*C^2*L*R^3-ω*C*R^3-ω^3*C*L^2*R+ω*L*R)/((R^2+ω^2*L^2)*(ω^2*C^2*R^2+1))
=(R*(ω^4*C^2*L^2*R^2+2*ω^2*L^2))/((R^2+ω^2*L^2)*(ω^2*C^2*R^2+1))+jR*(ω*(ω^2*C*L-1)*R*(C*R^2-L))/((R^2+ω^2*L^2)*(ω^2*C^2*R^2+1))

従ってこちらからも定抵抗になるには

ω^2*C*L-1=0

C*R^2-L=0

を満たすことから同じ答えが得られる。


著者の解はωの条件式をインピーダンスの式に代入しそれぞれのインピーダンスが等しくなるためにはR,L,Cの条件式も満たさなければならないことから２つの条件からL,C,ωの関係を導いている。

次ぎも等価回路。どちらもLC直列とLC並列が合体したような回路。



等価回路では実効抵抗と実効リアクタンスが等しいことから

片方の合成インピーダンスは

Z1=jωL1+1/(1/jωL2+jωC1)

(%i13) Z1=%i*o*L1+1/(1/(%i*o*L2)+%i*o*C1);
(%o13) Z1=1/(%i*o*C1-%i/(o*L2))+%i*o*L1
(%i14) rectform(%);
(%o14) Z1=%i*(o*L1-1/(o*C1-1/(o*L2)))

Z1=j(ω*L1-1/(ω*C1-1/(ω*L2)))

もう片方の合成インピーダンスは

Z2=1/(1/(jωL3+1/jωC2)+1/jωL4)

(%i15) Z2=1/(1/(%i*o*L3+1/(%i*o*C2))+1/(%i*o*L4));
(%o15) Z2=1/(1/(%i*o*L3-%i/(o*C2))-%i/(o*L4))
(%i16) rectform(%);
(%o16) Z2=-%i/(-1/(o*L4)-1/(o*L3-1/(o*C2)))

Z2=j/(1/(ω*L4)+1/(ω*L3-1/(ω*C2)))

どちらも実効抵抗は０で実効リアクタンスのみなので

(ω*L1-1/(ω*C1-1/(ω*L2)))=1/(1/(ω*L4)+1/(ω*L3-1/(ω*C2)))

が成り立つL4,L3,C2を求めれば良いことになる

しかし３つの未知数に対して式が一つしかない。

どうすんだこれ。

仕方ないのでインピーダンスの絶対値を求めてみると

(%i27) Z1=%i*(o*L1-1/(o*C1-1/(o*L2)));
(%o27) Z1=%i*(o*L1-1/(o*C1-1/(o*L2)))
(%i28) abs(%);
(%o28) abs(Z1)=abs(1/(o*C1-1/(o*L2))-o*L1)
(%i29) factor(%);
(%o29) abs(Z1)=(abs(o)*abs((o^2*C1*L1-1)*L2-L1))/abs(o^2*C1*L2-1)

|Z1|=ω*((ω^2*C1*L1-1)*L2-L1)/(ω^2*C1*L2-1)

(%i30) Z2=1/(1/(%i*o*L3-%i/(o*C2))-%i/(o*L4));
(%o30) Z2=1/(1/(%i*o*L3-%i/(o*C2))-%i/(o*L4))
(%i31) abs(%);
(%o31) abs(Z2)=1/abs(1/(o*L4)+1/(o*L3-1/(o*C2)))
(%i32) factor(%);
(%o32) abs(Z2)=(abs(o)*abs(o^2*C2*L3-1)*abs(L4))/abs(o^2*C2*L4+o^2*C2*L3-1)

|Z2|=ω*(ω^2*C2*L3-1)*L4/(ω^2*C2*L4+ω^2*C2*L3-1)
=ω*(ω^2*C2*L3*L4-L4)/(ω^2*C2*(L3+L4)-1)

ここで

|Z1|=ω*((ω^2*C1*L1-1)*L2-L1)/(ω^2*C1*L2-1)
=ω*(ω^2*C1*L1*L2-(L1+L2))/(ω^2*C1*L2-1)

なので|Z1|=|Z2|であるからには分子と分母は等しくなければならない

ω*(ω^2*C1*L1*L2-(L1+L2))=ω*(ω^2*C2*L3*L4-L4)

ω^2*C1*L2-1=ω^2*C2*(L3+L4)-1

従って

C1*L1*L2=C2*L3*L4

L1+L2=L4

C1*L2=C2*(L3+L4)

これらの３つが成り立つことからこれをL3,C2,L4に関する連立方程式として解くと

(%i65) solve([C1*L1*L2=C2*L3*L4,L1+L2=L4,C1*L2=C2*(L3+L4)],[L3,C2,L4]);
(%o65) [[L3=(L1*L2+L1^2)/L2,C2=(C1*L2^2)/(L2^2+2*L1*L2+L1^2),L4=L2+L1]]
(%i66) factor(%);
(%o66) [[L3=(L1*(L2+L1))/L2,C2=(C1*L2^2)/(L2+L1)^2,L4=L2+L1]]

従って

L3=(L1*(L2+L1))/L2

C2=(C1*L2^2)/(L2+L1)

L4=L2+L1

ということになる。なんだ簡単じゃないか。

著者の解はインピーダンスの式の形の相似性に着眼して同様の方程式を導いて順番に消去法で答えを得ている。

次ぎも等価回路な問題。だが少しひねってある。



周波数によってこの回路の合成インピーダンスは誘導性になったり容量性になったりするらしい。それを示し等価なR0,L0,C0を求めよというもの。

合成インピーダンスの式は

Z=1/jωC+1/(1/R+1/jωL)

(%i1) Z=1/(%i*o*C)+1/(1/R+1/(%i*o*L));
(%o1) Z=1/(1/R-%i/(o*L))-%i/(o*C)
(%i2) rectform(%);
(%o2) Z=1/((1/R^2+1/(o^2*L^2))*R)+%i*(1/(o*L*(1/R^2+1/(o^2*L^2)))-1/(o*C))

Z=1/((1/R^2+1/(ω^2*L^2))*R)+j(1/(ω*L*(1/R^2+1/(ω^2*L^2)))-1/(ω*C))

実効リアクタンス

1/(ω*L*(1/R^2+1/(ω^2*L^2)))-1/(ω*C)

が正の時に誘導性、負の時に容量性となることがわかる。


従って誘導性の場合の等価回路の合成インピーダンス

Z1=R0+jωL0

と実効抵抗及び実効リアクタンスが共に正で等しいことから

R0=1/((1/R^2+1/(ω^2*L^2))*R)
=ω^2*L^2*R/(R^2+ω^2*L^2)

ωL0=1/(ω*L*(1/R^2+1/(ω^2*L^2)))-1/(ω*C)

∴L0=1/(ω^2*L*(1/R^2+1/(ω^2*L^2)))-1/(ω^2*C)
=1/(ω^2*L/R^2+1/L)-1/(ω^2*C)
=L*R^2/(R^2+ω^2*L^2)-1/(ω^2*C)

ということになる。

また容量性となる場合は

Z2=R0+1/jωC0
=R0-j/ωC0

実効抵抗と実効リアクタンスが等しいとすると

R0=ω^2*L^2*R/(R^2+ω^2*L^2)

-1/ωC0=1/(ω*L*(1/R^2+1/(ω^2*L^2)))-1/(ω*C)

(%i3) -1/(o*C0)=1/(o*L*(1/R^2+1/(o^2*L^2)))-1/(o*C);
(%o3) -1/(o*C0)=1/(o*L*(1/R^2+1/(o^2*L^2)))-1/(o*C)
(%i4) solve([-1/(o*C0)=1/(o*L*(1/R^2+1/(o^2*L^2)))-1/(o*C)], [C0]);
(%o4) [C0=-(C*R^2+o^2*C*L^2)/((o^2*C*L-1)*R^2-o^2*L^2)]

C0=(C*R^2+ω^2*C*L^2)/(ω^2*L^2-(ω^2*C*L-1)*R^2)
=C*(R^2+ω^2*C*L^2)/(ω^2*L^2+(1-ω^2*C*L)*R^2)

ということになる。

次ぎの問題も等価回路、今度はRL並列回路と等価なインピーダンスを持つRL直列回路を求めよというもの



これも同じように合成インピーダンスの実効抵抗と実効リアクタンスが等しくなる条件から解を導く

RL並列回路の合成インピーダンスは

Z1=1/(1/R+1/jωL)

(%i122) Z1=1/(1/R+1/(%i*o*L));
(%o122) Z1=1/(1/R-%i/(o*L))
(%i123) rectform(%);
(%o123) Z1=1/((1/R^2+1/(o^2*L^2))*R)+%i/(o*L*(1/R^2+1/(o^2*L^2)))

Z1=1/((1/R^2+1/(ω^2*L^2))*R)+j/(ω*L*(1/R^2+1/(ω^2*L^2)))

RL直列回路の合成インピーダンスは

Z2=R0+jω*L0

従って実数部がそれぞれ等しくなることから

R0=1/((1/R^2+1/(ω^2*L^2))*R)

(%i124) R0=1/((1/R^2+1/(o^2*L^2))*R);
(%o124) R0=1/((1/R^2+1/(o^2*L^2))*R)
(%i125) factor(%);
(%o125) R0=(o^2*L^2*R)/(R^2+o^2*L^2)

従って

R0=(ω^2*L^2*R)/(R^2+ω^2*L^2)

次ぎに虚数部がそれぞれ等しくなることから

ω*L0=1/(ω*L*(1/R^2+1/(ω^2*L^2)))

(%i126) o*L0=1/(o*L*(1/R^2+1/(o^2*L^2)));
(%o126) o*L0=1/(o*L*(1/R^2+1/(o^2*L^2)))
(%i127) solve([o*L0=1/(o*L*(1/R^2+1/(o^2*L^2)))], [L0]);
(%o127) [L0=(L*R^2)/(R^2+o^2*L^2)]

L0=(L*R^2)/(R^2+ω^2*L^2)

ということになる。

次ぎの問題は趣向が変わって、RC並列回路とRC直列回路とで等価になる条件を示せというもの



それぞれのインピーダンスの実数部と虚数部が同じになれば等価であると言える。

RC並列回路の合成インピーダンスは

Z1=1/(1/R+jωC)

(%i70) Z1=1/(1/R+%i*o*C);
(%o70) Z1=1/(1/R+%i*o*C)
(%i71) rectform(%);
(%o71) Z1=1/((1/R^2+o^2*C^2)*R)-(%i*o*C)/(1/R^2+o^2*C^2)

Z1=1/((1/R^2+ω^2*C^2)*R)-jωC/(1/R^2+ω^2*C^2)

一方RC直列回路の合成インピーダンスは

Z2=R0+1/jωC0

(%i72) Z2=R0+1/(%i*o*C0);
(%o72) Z2=R0-%i/(o*C0)

Z2=R0-j/(ω*C0)

従って実数部と虚数部が等しいとおくと

1/((1/R^2+ω^2*C^2)*R)=R0

ωC/(1/R^2+ω^2*C^2)=1/(ω*C0)

これらを整理すると

(ω^2*C^2*R^2+1)*R0-R=0

ω^2*C*C0*R^2-ω^2*C^2*R^2+1=0

この二つをR0,C0に関する連立方程式として解くと

(%i87) solve([1/((1/R^2+o^2*C^2)*R)=R0,(o*C)/(1/R^2+o^2*C^2)=1/(o*C0)],[R0,C0]);
(%o87) [[R0=R/(o^2*C^2*R^2+1),C0=(o^2*C^2*R^2+1)/(o^2*C*R^2)]]

R0=R/(ω^2*C^2*R^2+1)

C0=(ω^2*C^2*R^2+1)/(ω^2*C*R^2)

ということになる。

著者の解も基本的に同じアプローチである。

次ぎは再びBoucherotの回路



周波数に無関係に合成インピーダンスが一定になるR,L,Cの条件を求めよというもの。これも簡単そうだが実は難しい。

求める未知数がR,L,Cと三つあるので少なくとも３つの式をたてないといけない。今までは未知数は２つだけだったので因数分解できればそれで解けたのだが。

合成インピーダンスは

Z=R+1/(1/(R+1/jωC)+1/(R+jωL))

(%i41) Z=1/(1/(R+%i*o*L)+1/(R-%i/(o*C)))+R;
(%o41) Z=1/(1/(R+%i*o*L)+1/(R-%i/(o*C)))+R
(%i42) factor(%);
(%o42) Z=(3*o*C*R^2+2*%i*o^2*C*L*R-2*%i*R+o*L)/(2*o*C*R+%i*o^2*C*L-%i)
(%i43) rectform(%);
(%o43) Z=(2*o*C*R*(3*o*C*R^2+o*L)-(1-o^2*C*L)*(2*o^2*C*L*R-2*R))/(4*o^2*C^2*R^2+(o^2*C*L-1)^2)+(%i*((1-o^2*C*L)*(3*o*C*R^2+o*L)+2*o*C*R*(2*o^2*C*L*R-2*R)))/(4*o^2*C^2*R^2+(o^2*C*L-1)^2)

Z=(2*ω*C*R*(3*ω*C*R^2+ω*L)-(1-ω^2*C*L)*(2*ω^2*C*L*R-2*R))/(4*ω^2*C^2*R^2+(ω^2*C*L-1)^2)+j(((1-ω^2*C*L)*(3*ω*C*R^2+ω*L)+2*ω*C*R*(2*ω^2*C*L*R-2*R)))/(4*ω^2*C^2*R^2+(ω^2*C*L-1)^2)

合成インピーダンスが周波数によらず一定になることから、ω=0を代入すると

(%i44)
subst(0, o, Z=(2*o*C*R*(3*o*C*R^2+o*L)-(1-o^2*C*L)*(2*o^2*C*L*R-2*R))/(4*o^2*C^2*R^2
+(o^2*C*L-1)^2)+(%i*((1-o^2*C*L)*(3*o*C*R^2+o*L)+2*o*C*R*(2*o^2*C*L*R-2*R)))/(4*o^2*C^2*R^2
+(o^2*C*L-1)^2));
(%o44) Z=2*R

ということになる。この条件を満たすR,L,Cを解けばよい。

虚数部は０なることから

(1-ω^2*C*L)*(3*ω*C*R^2+ω*L)+2*ω*C*R*(2*ω^2*C*L*R-2*R)=0

整理すると

(ω^2*C*L-1)*(C*R^2-L)=0

従ってR,L,Cは固定値なので

L=C*R^2

また実数部が2*Rになることから

(2*ω*C*R*(3*ω*C*R^2+ω*L)-(1-ω^2*C*L)*(2*ω^2*C*L*R-2*R))/(4*ω^2*C^2*R^2+(ω^2*C*L-1)^2)=2*R

整理すると

L-C*R^2=0

従って

L=C*R^2

虚数部と実数部のどちらでも０になる条件式を因数分解していくと答えが得られた。

周波数によらず固定になるパターンではいきなりω=0を代入して合成インピーダンス値を得てしまうのは我ながら良いアイデアだった。

著者の解は回路のBoucherotの回路の部分だけに着目して虚数部が０になる条件から答えを得ている。

次ぎの問題はRCだけの回路



良くみないと題意を取り違えかねない。それではまった。

題意の電流Iは全体を流れる電流ではなく電源と反対側の短絡された出力端に流れる電流であることに注意。

回路はＴ字形のRCRとCRxC回路を並列に接続し出力端を短絡した形で、出力電流が０になる周波数とRxを求めよというもの。回路全体には当然電流は流れ続ける。出力端での電位差がなければ当然出力電流は流れない。

これも簡単そうで実は難しい。簡単そうに見えるのは罠である。



図の様に書き直してみると、上下は実は独立した回路であることがわかる。回路から方程式をたてると

E=I01*R+I1*R

E=I01+(I01-I1)/jωC

E=I02/jωC+I2/jωC

E=I02/jωC+(I02-I2)*Rx

I=I1+I2

この５元連立方程式をI01,I02,I1,I2,Iについて解くと

(%i81) e1:E=I01*R+I1*R;
(%o81) E=I1*R+I01*R
(%i82) e2:E=I01*R+(I01-I1)/(%i*o*C);
(%o82) E=I01*R-(%i*(I01-I1))/(o*C)
(%i83) e3:E=I02/(%i*o*C)+I2/(%i*o*C);
(%o83) E=-(%i*I2)/(o*C)-(%i*I02)/(o*C)
(%i84) e4:E=I02/(%i*o*C)+(I02-I2)*Rx;
(%o84) E=Rx*(I02-I2)-(%i*I02)/(o*C)
(%i85) e5:I=I1+I2;
(%o85) I=I2+I1
(%i86) solve([e1,e2,e3,e4,e5],[I01,I02,I1,I2,I]);
(%o86) [[I01=((2*%i*o^2*Rx*C^2+o*C)*E*R+(2*o*Rx*C-%i)*E)/((2*%i*o^2*Rx*C^2+o*C)*R^2+(4*o*Rx*C-2*%i)*R),I02=-((o^3*Rx*C^3-%i*o^2*C^2)*E*R+(-2*%i*o^2*Rx*C^2-2*o*C)*E)/((2*%i*o^2*Rx*C^2+o*C)*R+4*o*Rx*C-2*%i)
,I1=((2*o*Rx*C-%i)*E)/((2*%i*o^2*Rx*C^2+o*C)*R^2+(4*o*Rx*C-2*%i)*R),I2=-(o^3*Rx*C^3*E*R-2*%i*o^2*Rx*C^2*E)/((2*%i*o^2*Rx*C^2+o*C)*R+4*o*Rx*C-2*%i),I=-
(o^3*Rx*C^3*E*R^2-2*%i*o^2*Rx*C^2*E*R+(%i-2*o*Rx*C)*E)/((2*%i*o^2*Rx*C^2+o*C)*R^2+(4*o*Rx*C-2*%i)*R)]]
(%i91) rectform(%);
(%o91) [[I01=((o*C*E*R+2*o*Rx*C*E)*(o*C*R^2+4*o*Rx*C*R)-(2*o^2*Rx*C^2*E*R-E)*(2*R-2*o^2*Rx*C^2*R^2))/((2*o^2*Rx*C^2*R^2-2*R)^2+(o*C*R^2+4*o*Rx*C*R)^2)+
(%i*((o*C*E*R+2*o*Rx*C*E)*(2*R-2*o^2*Rx*C^2*R^2)+(2*o^2*Rx*C^2*E*R-E)*(o*C*R^2+4*o*Rx*C*R)))/((2*o^2*Rx*C^2*R^2-2*R)^2+(o*C*R^2+4*o*Rx*C*R)^2),I02=-
(%i*((2-2*o^2*Rx*C^2*R)*(o^3*Rx*C^3*E*R-2*o*C*E)+(o*C*R+4*o*Rx*C)*(-o^2*C^2*E*R-2*o^2*Rx*C^2*E)))/((2*o^2*Rx*C^2*R-2)^2+(o*C*R+4*o*Rx*C)^2)-
((o*C*R+4*o*Rx*C)*(o^3*Rx*C^3*E*R-2*o*C*E)-(2-2*o^2*Rx*C^2*R)*(-o^2*C^2*E*R-2*o^2*Rx*C^2*E))/((2*o^2*Rx*C^2*R-2)^2+(o*C*R+4*o*Rx*C)^2),I1=
(%i*E*(2*o*Rx*C*(2*R-2*o^2*Rx*C^2*R^2)-o*C*R^2-4*o*Rx*C*R))/((2*o^2*Rx*C^2*R^2-2*R)^2+(o*C*R^2+4*o*Rx*C*R)^2)+(E*(2*o*Rx*C*(o*C*R^2+4*o*Rx*C*R)-2*o^2*Rx*C^2*R^2+2*R))/((2*o^2*Rx*C^2*R^2-2*R)^2+(o*C*R^2+4*o*Rx*C*R)^2),I2=-
(%i*(o^3*Rx*C^3*E*R*(2-2*o^2*Rx*C^2*R)-2*o^2*Rx*C^2*E*(o*C*R+4*o*Rx*C)))/((2*o^2*Rx*C^2*R-2)^2+(o*C*R+4*o*Rx*C)^2)-
(2*o^2*Rx*C^2*E*(2-2*o^2*Rx*C^2*R)+o^3*Rx*C^3*E*R*(o*C*R+4*o*Rx*C))/((2*o^2*Rx*C^2*R-2)^2+(o*C*R+4*o*Rx*C)^2),I=-
(%i*((2*R-2*o^2*Rx*C^2*R^2)*(o^3*Rx*C^3*E*R^2-2*o*Rx*C*E)+(E-2*o^2*Rx*C^2*E*R)*(o*C*R^2+4*o*Rx*C*R)))/((2*o^2*Rx*C^2*R^2-2*R)^2+(o*C*R^2+4*o*Rx*C*R)^2)-
((o*C*R^2+4*o*Rx*C*R)*(o^3*Rx*C^3*E*R^2-2*o*Rx*C*E)-(E-2*o^2*Rx*C^2*E*R)*(2*R-2*o^2*Rx*C^2*R^2))/((2*o^2*Rx*C^2*R^2-2*R)^2+(o*C*R^2+4*o*Rx*C*R)^2)]]

従ってI=0となるにはその虚数部と実数部の分子が共に０でなる条件

((2*R-2*ω^2*Rx*C^2*R^2)*(ω^3*Rx*C^3*E*R^2-2*ω*Rx*C*E)+(E-2*ω^2*Rx*C^2*E*R)*(ω*C*R^2+4*ω*Rx*C*R))=0

((ω*C*R^2+4*ω*Rx*C*R)*(ω^3*Rx*C^3*E*R^2-2*ω*Rx*C*E)-(E-2*ω^2*Rx*C^2*E*R)*(2*R-2*ω^2*Rx*C^2*R^2))=0

を２元連立方程式をωとRxに関して解けば良い

(%i92)
solve([(2*R-2*o^2*Rx*C^2*R^2)*(o^3*Rx*C^3*E*R^2-2*o*Rx*C*E)+(E-2*o^2*Rx*C^2*E*R)*(o*C*R^2
+4*o*Rx*C*R)=0,(o*C*R^2+4*o*Rx*C*R)*(o^3*Rx*C^3*E*R^2-2*o*Rx*C*E)-(E-2*o^2*Rx*C^2*E*R)*(2*R
-2*o^2*Rx*C^2*R^2)=0],[o,Rx]);
(%o92) [[o=-sqrt(2)/(C*R),Rx=R/4],[o=sqrt(2)/(C*R),Rx=R/4],[o=-(2*%i)/(C*R),Rx=R/4],[o=(2*%i)/(C*R),Rx=R/4],[o=-(2*%i)/(C*R),Rx
=-R/4],[o=(2*%i)/(C*R),Rx=-R/4]]

ω と Rx は共に正の実数でなければならないので

ω=sqrt(2)/(C*R)

Rx=R/4

が解となる。

著者の解も元になる式が整理されているかの違いはあるが同じ方法によって解いている。Maximaでもうまく使うと著者と似たような解き方が出来る。

(%i120) solve([e1,e2,e3,e4,e5],[I01,I02,I1,I2,I]);
(%o120) [[I01=((2*%i*o^2*Rx*C^2+o*C)*E*R+(2*o*Rx*C-%i)*E)/((2*%i*o^2*Rx*C^2+o*C)*R^2+(4*o*Rx*C-2*%i)*R),I02=-
((o^3*Rx*C^3-%i*o^2*C^2)*E*R+(-2*%i*o^2*Rx*C^2-2*o*C)*E)/((2*%i*o^2*Rx*C^2+o*C)*R+4*o*Rx*C-2*%i),I1=((2*o*Rx*C-%i)*E)/((2*%i*o^2*Rx*C^2+o*C)*R^2+(4*o*Rx*C-2*%i)*R),I2=-
(o^3*Rx*C^3*E*R-2*%i*o^2*Rx*C^2*E)/((2*%i*o^2*Rx*C^2+o*C)*R+4*o*Rx*C-2*%i),I=-(o^3*Rx*C^3*E*R^2-2*%i*o^2*Rx*C^2*E*R+(%i-2*o*Rx*C)*E)/((2*%i*o^2*Rx*C^2+o*C)*R^2+(4*o*Rx*C-2*%i)*R)]]
(%i121) gfactor(%);
(%o121) [[I01=(E*(o*C*R-%i))/(R*(o*C*R-2*%i)),I02=(%i*o*C*(o*Rx*C-%i)*E)/(2*o*Rx*C-%i),I1=-(%i*E)/(R*(o*C*R-2*%i)),I2=(%i*o^2*Rx*C^2*E)/(2*o*Rx*C-%i),I=
(%i*E*(o^3*Rx*C^3*R^2-2*%i*o^2*Rx*C^2*R-2*o*Rx*C+%i))/((2*o*Rx*C-%i)*R*(o*C*R-2*%i))]]

I1=-jE/(R*(ωC*R-j2)
=E/(2R+jωC*R^2)

I2=jω^2*Rx*C^2*E/(2*ω*Rx*C-j)
=-ω^2*Rx*C^2*E/(1+j2*ω*Rx*C)

I=I1+I2
=E/(2R+jωC*R^2)-ω^2*Rx*C^2*E/(1+j2*ω*Rx*C)
=E*(1/(2R+jωC*R^2)-ω^2*Rx*C^2/(1+j2*ω*Rx*C))
=E*((1+j2*ω*Rx*C)-ω^2*Rx*C^2*(2R+jωC*R^2))/((2R+j2*ω*Rx*C)*(2R+jωC*R^2))
=0

∴1-2*ω^2*Rx*C^2*R+j(2*ω*Rx*C-ω^3*Rx*R^2*C^3)
=1-2*ω^2*Rx*C^2*R+jωC*Rx*(2-ω^2*R^2*C^2)=0

実数部と虚数部が共に０になる条件式

1-2*ω^2*Rx*C^2*R=0

2-ω^2*R^2*C^2=0

をω,Rxに関する方程式として解けば

(%i123) solve([1-2*o^2*Rx*C^2*R=0,2-o^2*R^2*C^2=0],[o,Rx]);
(%o123) [[o=-sqrt(2)/(C*R),Rx=R/4],[o=sqrt(2)/(C*R),Rx=R/4]]

ω=sqrt(2)/(C*R)

Rx=R/4

となり著者の解と同じ式が得られる。


最初Iの実効値の式から解けるかと思ったが分子の式がωとRxが混じった単一の式になってしまって解けないことが判明。瞬時値の式で虚数部と実数部から２元連立方程式をたててωとRxについて解くという解法に行き着いた。

P.S

実は出来るはずだと思ってやってみたら実効値の式からも解くことができた。

(%i124) solve([e1,e2,e3,e4,e5],[I01,I02,I1,I2,I]);
(%o124) [[I01=((2*%i*o^2*Rx*C^2+o*C)*E*R+(2*o*Rx*C-%i)*E)/((2*%i*o^2*Rx*C^2+o*C)*R^2+(4*o*Rx*C-2*%i)*R),I02=-
((o^3*Rx*C^3-%i*o^2*C^2)*E*R+(-2*%i*o^2*Rx*C^2-2*o*C)*E)/((2*%i*o^2*Rx*C^2+o*C)*R+4*o*Rx*C-2*%i),I1=((2*o*Rx*C-%i)*E)/((2*%i*o^2*Rx*C^2+o*C)*R^2+(4*o*Rx*C-2*%i)*R),I2=-
(o^3*Rx*C^3*E*R-2*%i*o^2*Rx*C^2*E)/((2*%i*o^2*Rx*C^2+o*C)*R+4*o*Rx*C-2*%i),I=-(o^3*Rx*C^3*E*R^2-2*%i*o^2*Rx*C^2*E*R+(%i-2*o*Rx*C)*E)/((2*%i*o^2*Rx*C^2+o*C)*R^2+(4*o*Rx*C-2*%i)*R)]]
(%i125) abs(%);
(%o125) [[abs(I01)=sqrt(((4*o^4*Rx^2*C^4*E*R^3)/((2*o^2*Rx*C^2*R^2-2*R)^2+(o*C*R^2+4*o*Rx*C*R)^2)+(o^2*C^2*E*R^3)/((2*o^2*Rx*C^2*R^2-2*R)^2+(o*C*R^2+4*o*Rx*C*R)^2)+
(8*o^2*Rx^2*C^2*E*R)/((2*o^2*Rx*C^2*R^2-2*R)^2+(o*C*R^2+4*o*Rx*C*R)^2)+(2*E*R)/((2*o^2*Rx*C^2*R^2-2*R)^2+(o*C*R^2+4*o*Rx*C*R)^2))^(2)+
((4*o^3*Rx^2*C^3*E*R^2)/((2*o^2*Rx*C^2*R^2-2*R)^2+(o*C*R^2+4*o*Rx*C*R)^2)+(o*C*E*R^2)/((2*o^2*Rx*C^2*R^2-2*R)^2+(o*C*R^2+4*o*Rx*C*R)^2))^2),abs(I02)=sqrt((
(2*o^5*Rx^2*C^5*E*R^2)/((2*o^2*Rx*C^2*R-2)^2+(o*C*R+4*o*Rx*C)^2)+(o^3*C^3*E*R^2)/((2*o^2*Rx*C^2*R-2)^2+(o*C*R+4*o*Rx*C)^2)+(8*o^3*Rx^2*C^3*E)/((2*o^2*Rx*C^2*R-2)^2+(o*C*R+4*o*Rx*C)^2)+
(4*o*C*E)/((2*o^2*Rx*C^2*R-2)^2+(o*C*R+4*o*Rx*C)^2))^(2)+
((o^4*Rx*C^4*E*R^2)/((2*o^2*Rx*C^2*R-2)^2+(o*C*R+4*o*Rx*C)^2)+(4*o^2*Rx*C^2*E)/((2*o^2*Rx*C^2*R-2)^2+(o*C*R+4*o*Rx*C)^2))^2),abs(I1)=sqrt(
(-(4*o^3*Rx^2*C^3*E*R^2)/((2*o^2*Rx*C^2*R^2-2*R)^2+(o*C*R^2+4*o*Rx*C*R)^2)-(o*C*E*R^2)/((2*o^2*Rx*C^2*R^2-2*R)^2+(o*C*R^2+4*o*Rx*C*R)^2))^2+
((8*o^2*Rx^2*C^2*E*R)/((2*o^2*Rx*C^2*R^2-2*R)^2+(o*C*R^2+4*o*Rx*C*R)^2)+(2*E*R)/((2*o^2*Rx*C^2*R^2-2*R)^2+(o*C*R^2+4*o*Rx*C*R)^2))^2),abs(I2)=sqrt(
((2*o^5*Rx^2*C^5*E*R^2)/((2*o^2*Rx*C^2*R-2)^2+(o*C*R+4*o*Rx*C)^2)+(8*o^3*Rx^2*C^3*E)/((2*o^2*Rx*C^2*R-2)^2+(o*C*R+4*o*Rx*C)^2))^2+
(-(o^4*Rx*C^4*E*R^2)/((2*o^2*Rx*C^2*R-2)^2+(o*C*R+4*o*Rx*C)^2)-(4*o^2*Rx*C^2*E)/((2*o^2*Rx*C^2*R-2)^2+(o*C*R+4*o*Rx*C)^2))^2),abs(I)=sqrt((
(2*o^5*Rx^2*C^5*E*R^4)/((2*o^2*Rx*C^2*R^2-2*R)^2+(o*C*R^2+4*o*Rx*C*R)^2)+(4*o^3*Rx^2*C^3*E*R^2)/((2*o^2*Rx*C^2*R^2-2*R)^2+(o*C*R^2+4*o*Rx*C*R)^2)-
(o*C*E*R^2)/((2*o^2*Rx*C^2*R^2-2*R)^2+(o*C*R^2+4*o*Rx*C*R)^2))^(2)+(-(o^4*Rx*C^4*E*R^4)/((2*o^2*Rx*C^2*R^2-2*R)^2+(o*C*R^2+4*o*Rx*C*R)^2)-
(4*o^2*Rx*C^2*E*R^2)/((2*o^2*Rx*C^2*R^2-2*R)^2+(o*C*R^2+4*o*Rx*C*R)^2)+(8*o^2*Rx^2*C^2*E*R)/((2*o^2*Rx*C^2*R^2-2*R)^2+(o*C*R^2+4*o*Rx*C*R)^2)+
(2*E*R)/((2*o^2*Rx*C^2*R^2-2*R)^2+(o*C*R^2+4*o*Rx*C*R)^2))^(2))]]
(%i126) factor(%);
(%o126) [[abs(I01)=(abs(E)*sqrt(o^2*C^2*R^2+1))/(sqrt(o^2*C^2*R^2+4)*abs(R)),abs(I02)=(abs(o)*sqrt(o^2*Rx^2*C^2+1)*abs(C)*abs(E))/sqrt(4*o^2*Rx^2*C^2+1),abs(I1)=abs(E)/(sqrt(o^2*C^2*R^2+4)*abs(R)),abs(I2)=(o^2*abs(Rx)*C^2*abs(E))/sqrt(4*o^2*Rx^2*C^2+1)
,abs(I)=(abs(E)*sqrt(o^6*Rx^2*C^6*R^4-4*o^2*Rx*C^2*R+4*o^2*Rx^2*C^2+1))/(sqrt(4*o^2*Rx^2*C^2+1)*sqrt(o^2*C^2*R^2+4)*abs(R))]]

|I|=|E|*sqrt(ω^6*Rx^2*C^6*R^4-4*ω^2*Rx*C^2*R+4*ω^2*Rx^2*C^2+1))/(sqrt(4*ω^2*Rx^2*C^2+1)*sqrt(ω^2*C^2*R^2+4)*R)

|I|=0になるためには分子の式が

ω^6*Rx^2*C^6*R^4-4*ω^2*Rx*C^2*R+4*ω^2*Rx^2*C^2+1=0

を満たす必要がある。今まではここで挫折していたが、複素数でなら因数分解できることを発見

(%i129) gfactor(%);
(%o129) (o^3*Rx*C^3*R^2-2*%i*o^2*Rx*C^2*R-2*o*Rx*C+%i)*(o^3*Rx*C^3*R^2+2*%i*o^2*Rx*C^2*R-2*o*Rx*C-%i)

２つの項が共に０となる条件を満たすω,Rxを解くと

(%i131)
solve([o^3*Rx*C^3*R^2-2*%i*o^2*Rx*C^2*R-2*o*Rx*C+%i=0,o^3*Rx*C^3*R^2+2*%i*o^2*Rx*C^2*R
-2*o*Rx*C-%i=0],[o,Rx]);
(%o131) [[o=-sqrt(2)/(C*R),Rx=R/4],[o=sqrt(2)/(C*R),Rx=R/4]]

ω=sqrt(2)/(C*R)

Rx=R/4

という答えが得られた。やれば出来るじゃないか。

次ぎもまたBoucherotの回路ネタ



これも周波数によらず合成インピーダンスが一定になるR,L,Cの関係を求めよというもの。

簡単に見えてこれがずいぶんと難しいのだな。

RL直列回路は周波数が上がればアドミッタンスは下がる。逆にRC直列回路は周波数が上がるとアドミッタンスが上がる。したがってその２つの和が常に一定であれば周波数によらないということになる。

合成アドミッタンスは

Y=1/(R+1/jωC)+1/(R+jωL)

(%i27) Y=1/(R+%i*o*L)+1/(R-%i/(o*C));
(%o27) Y=1/(R+%i*o*L)+1/(R-%i/(o*C))
(%i28) rectform(%);
(%o28) Y=%i*(1/(o*C*(R^2+1/(o^2*C^2)))-(o*L)/(R^2+o^2*L^2))+R/(R^2+o^2*L^2)+R/(R^2+1/(o^2*C^2))

Y=R/(R^2+ω^2*L^2)+R/(R^2+1/(ω^2*C^2))+j(1/(ωC*(R^2+1/(ω^2*C^2)))-(ωL)/(R^2+ω^2*L^2))

ここで周波数によらないので実効サセプタンスは常に０にならなければならないことから

1/(ωC*(R^2+1/(ω^2*C^2)))-(ωL)/(R^2+ω^2*L^2)=0

でなければならない。これをLに関して解くと

(%i29) solve([1/(o*C*(R^2+1/(o^2*C^2)))-(o*L)/(R^2+o^2*L^2)], [L]);
(%o29) [L=C*R^2,L=1/(o^2*C)]

Lは定数なので

L=C*R^2

ということになる。なんだ簡単じゃないか。

この時もとの回路のインピーダンスは

Z=1/(1/R+1/(R+1/jωC)+1/(R+jωL))

(%i30) Z=1/(1/R+1/(R+1/(%i*o*C))+1/(R+%i*o*L));
(%o30) Z=1/(1/(R+%i*o*L)+1/(R-%i/(o*C))+1/R)
(%i31) subst(C*R^2, L, Z=1/(1/(R+%i*o*L)+1/(R-%i/(o*C))+1/R));
(%o31) Z=1/(1/(%i*o*C*R^2+R)+1/(R-%i/(o*C))+1/R)
(%i32) factor(%);
(%o32) Z=(R*(o*C*R-%i)*(%i*o*C*R+1))/(2*(%i*o^2*C^2*R^2+2*o*C*R-%i))
(%i33) rectform(%);
(%o33) Z=(R*(o*C*R*(2*o*C*R-o*C*R*(1-o^2*C^2*R^2))+o^2*C^2*R^2+1))/(2*((o^2*C^2*R^2-1)^2+4*o^2*C^2*R^2))+(%i*R*(o*C*R*(o^2*C^2*R^2+1)+o*C*R*(1-o^2*C^2*R^2)-2*o*C*R))/(2*((o^2*C^2*R^2-1)^2+4*o^2*C^2*R^2))
(%i34) factor(%);
(%o34) Z=R/2


Z=R/2

ということになる。

著者の解もRL直列回路とRC直列回路の並列部分のアドミッタンスにだけ着目してR,L,Cの関係を導いている。

次ぎもBoucherot回路。



周波数に無関係にAB間のインピーダンスが一定になるR,L,Cの関係を導けというもの。

合成インピーダンスの式を導くと

Z=1/(1/jωL+1/R)+1/(jωC+1/R)

(%i12) Z=1/(1/(%i*o*L)+1/R)+1/(%i*o*C+1/R);
(%o12) Z=1/(1/R-%i/(o*L))+1/(1/R+%i*o*C)
(%i16) abs(%);
(%o16) abs(Z)=sqrt(((o^3*C^2*L*R^4)/(o^2*C^2*R^4+o^4*C^2*L^2*R^2+R^2+o^2*L^2)-(o*C*R^4)/(o^2*C^2*R^4+o^4*C^2*L^2*R^2+R^2+o^2*L^2)-
(o^3*C*L^2*R^2)/(o^2*C^2*R^4+o^4*C^2*L^2*R^2+R^2+o^2*L^2)+(o*L*R^2)/(o^2*C^2*R^4+o^4*C^2*L^2*R^2+R^2+o^2*L^2))^(2)+
((o^4*C^2*L^2*R^3)/(o^2*C^2*R^4+o^4*C^2*L^2*R^2+R^2+o^2*L^2)+R^3/(o^2*C^2*R^4+o^4*C^2*L^2*R^2+R^2+o^2*L^2)+(2*o^2*L^2*R)/(o^2*C^2*R^4+o^4*C^2*L^2*R^2+R^2+o^2*L^2))^2)
(%i17) factor(%);
(%o17) abs(Z)=(sqrt((o^4*C^2*L^2-2*o^2*C*L+1)*R^2+4*o^2*L^2)*abs(R))/sqrt(o^2*C^2*R^4+(o^4*C^2*L^2+1)*R^2+o^2*L^2)

整理すると

|Z|=R*sqrt((ω^4*C^2*L^2-2*ω^2*C*L+1)*R^2+4*ω^2*L^2)/sqrt(ω^2*C^2*R^4+(ω^4*C^2*L^2+1)*R^2+ω^2*L^2)
=R*sqrt((ω^2*C*L-1)^2*R^2+4*ω^2*L^2)/sqrt((ω^2*C^2*R^2+ω^4*C^2*L^2+1)*R^2+ω^2*L^2)

ということになる。周波数に無関係に

Z=R

となるには

sqrt((ω^2*C*L-1)^2*R^2+4*ω^2*L^2)/sqrt((ω^2*C^2*R^2+ω^4*C^2*L^2+1)*R^2+ω^2*L^2)=1

でなければならない。従って

sqrt((ω^2*C*L-1)^2*R^2+4*ω^2*L^2)=sqrt((ω^2*C^2*R^2+ω^4*C^2*L^2+1)*R^2+ω^2*L^2)

両辺を二乗すると

(ω^2*C*L-1)^2*R^2+4*ω^2*L^2=(ω^2*C^2*R^2+ω^4*C^2*L^2+1)*R^2+ω^2*L^2

整理すると

(ω^2*C^2*R^2+ω^4*C^2*L^2+1-(ω^2*C*L-1)^2)*R^2+ω^2*L^2-4*ω^2*L^2
=(ω^2*C^2*R^2+ω^4*C^2*L^2+1-ω^4*C^2*L^2+2*ω^2*C*L-1)*R^2-3*ω^2*L^2
=(ω^2*C^2*R^2+2*ω^2*C*L)*R^2-3*ω^2*L^2
=ω^2*((C^2*R^2+2*C*L)*R^2-3*L^2)
=0

従って

(C^2*R^2+2*C*L)*R^2-3*L^2=0

を満たすL,C,Rの関係を解けば良い。Lについて解くと

(%i18) solve((C^2*R^2+2*C*L)*R^2-3*L^2=0,L);
(%o18) [L=-(C*R^2)/3,L=C*R^2]

L > 0なので

L=C*R^2

ということになる。

著者の解はインピーダンスの虚数部が0となり、実数部が周波数によらず一定になる条件からL,C,Rの関係を導いている。

この回路はLをオーディオスピーカーのボイスコイルとした場合、通常スピーカーのみだと周波数に比例してインピーダンスが上昇するため負荷が周波数によらず一定であることを前提として設計されたオーディオアンプにつないでも設計通りの性能が出ないことになる。そのためHiFiオーディオスピーカーユニット内部にはこうしたネットワーク回路が組み込まれオーディオパワーアンプ側から見て周波数によらず負荷が一定のインピーダンスを持つようにすることが行われている。高級なスピーカーユニットでは更に広帯域にするために高音（高い周波数）専用スピーカーとかを並列につなぎかつアンプからは周波数によらずインピーダンスがフラットにするための複雑なフィルターネットワーク回路が組み込まれている。そこからはオーディオマニアの領域に足を踏み入れるので止めておこう。

再びBoucherotの回路登場。



今度は回路定数は固定で負荷Z0に流れる電流がZ0の値に無関係になる電源の周波数を求めよというもの。

全体を流れる電流をI,負荷Z0を流れる電流をI0とすると

E=jωL*I+Z0*I0

(I-I0)/jωC=Z0*I0

が成り立つのでI,I0について解くと

(%i3) e1: E=%i*o*L*I+Z0*I0;
(%o3) E=I0*Z0+%i*o*I*L
(%i4) e2: (I-I0)/(%i*o*C)=Z0*I0;
(%o4) -(%i*(I-I0))/(o*C)=I0*Z0
(%i9) solve([e1,e2],[I,I0]);
(%o9) [[I=(o*C*E*Z0-%i*E)/((%i*o^2*C*L-%i)*Z0+o*L),I0=-(%i*E)/((%i*o^2*C*L-%i)*Z0+o*L)]]
(%i10) abs(%);
(%o10) [[abs(I)=
sqrt((-(o^3*C^2*E*L*Z0^2)/((o^2*C*L*Z0-Z0)^2+o^2*L^2)+(o*C*E*Z0^2)/((o^2*C*L*Z0-Z0)^2+o^2*L^2)-(o*E*L)/((o^2*C*L*Z0-Z0)^2+o^2*L^2))^2+(E^2*Z0^2)/((o^2*C*L*Z0-Z0)^2+o^2*L^2)^2),abs(I0)=
sqrt((E^2*(o^2*C*L*Z0-Z0)^2)/((o^2*C*L*Z0-Z0)^2+o^2*L^2)^2+(o^2*E^2*L^2)/((o^2*C*L*Z0-Z0)^2+o^2*L^2)^2)]]
(%i11) factor(%);
(%o11) [[abs(I)=(abs(E)*sqrt(o^2*C^2*Z0^2+1))/sqrt((o^4*C^2*L^2-2*o^2*C*L+1)*Z0^2+o^2*L^2),abs(I0)=abs(E)/sqrt((o^4*C^2*L^2-2*o^2*C*L+1)*Z0^2+o^2*L^2)]]

整理すると

|I0|=|E|/sqrt((ω^4*C^2*L^2-2*ω^2*C*L+1)*Z0^2+ω^2*L^2)
=|E|/sqrt((ω^2*C*L-1)^2*Z0^2+ω^2*L^2)

従って

ω^2*C*L-1=0

の時にI0はZ0に無関係に決まる。

この条件からその時のω及び周波数を解くと

ω=1/sqrt(C*L)

ここで

ω=2πf

なので

f=1/(2π*sqrt(C*L))

ということになる。

著者の解は例によって回路の合成インピーダンスと電源電圧から全体を流れる電流を求め、分流則によって負荷に流れる電流の式を導いている。簡単な直並列混在回路ではこの方が簡単である。