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webadm | 投稿日時: 2008-6-1 1:50 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3084 |
【9】RLC直列回路の証明問題 次ぎも証明問題。
2つの角周波数ω1,ω2がそれぞれ流れる電流が等しい時に以下の関係が成り立つことを証明せよというもの。 ω1*ω2=ω0^2 ω0は共振点の角周波数である。 これも証明のストラテジーが思いつかない。 とりあえず2つの角周波数で流れる電流の式を立ててみる |I1|=|E|/√(R^2+(ω1L-1/(ω1C))^2) |I2|=|E|/√(R^2+(ω2L-1/(ω2C))^2) この二つが等しいという条件なので |I1|=|I2| すなわち |E|/√(R^2+(ω1L-1/(ω1C))^2)=|E|/√(R^2+(ω1L-1/(ω1C))^2) 整理すると (ω1L-1/(ω1C))^2-(ω2L-1/(ω2C))^2=0 が成り立つということを意味する。 これを展開すると (ω1L)^2-2*ω1L/(ω1C)+1/(ω1C)^2-((ω2L)^2-2*ω2L/(ω2C)+1/(ω2C)^2)=0 ∴(ω1^2-ω2^2)*L^2+1/(ω1C)^2-1/(ω2C)^2 =(ω1^2-ω2^2)*L^2+((ω2C)^2-(ω1C)^2)/((ω1C)^2*(ω2C)^2) =(ω1^2-ω2^2)*L^2+(ω2^2-ω1^2)/(ω1^2*ω2^2*C^2) =0 なる関係式が導かれる。 ここで ω0^2=1/(LC) であることから先の関係式の両辺をL^2で割ると (ω1^2-ω2^2)+(ω2^2-ω1^2)/(ω1^2*ω2^2*L^2*C^2)=0 従って (ω1^2-ω2^2)-(ω1^2-ω2^2)*ω0^4/(ω1*ω2)^2=0 と書き換えることができる。 この式をω1*ω2に関して解くために両辺に(ω1*ω2)^2/(ω1^2-ω2^2)を乗じると (ω1*ω2)^2-ω0^4=0 従って ω1*ω2=ω0^2 が成り立つことが証明された。 著者の解は最初に得られる二次の関係式から一次の関係式を開平によって導いてそれに共振点の角速度の条件式を適用して最終的に同じ結果を得ているが、二次の式を開平すると2つの一次の関係式が得られるがその片方を使用しない理由を省略している。 こちらの方法でも実際には最後の開平処理で ±ω1*ω2=±ω0^2 という解が得られるが、ω1、ω2どちらも正の値であるため両辺が異符号となる解は実際には存在しない。 |
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