次ぎの問題もRLC直列回路の出力電圧の最大値を求めるもの。今度は素子は固定で周波数を可変する場合。

RLC直列回路に流れる電流は

|I|=|E|/sqrt(R^2+(ωL-1/ωC)^2)

で表される。

Cの出力電圧は以前に解いた通り

|EC|=|I|*XC
=|E|/((ωC)*sqrt(R^2+(ωL-1/ωC)^2))

で表される。今度は周波数を可変した場合のECの最大値を求めるのでωで微分すると

(%i20) E/((o*C)*sqrt(R^2+(o*L-1/(o*C))^2));
(%o20) E/(o*C*sqrt(R^2+(o*L-1/(o*C))^2))
(%i21) diff(%,o);
(%o21) -E/(o^2*C*sqrt(R^2+(o*L-1/(o*C))^2))-(E*(L+1/(o^2*C))*(o*L-1/(o*C)))/(o*C*(R^2+(o*L-1/(o*C))^2)^(3/2))
(%i22) factor(%);
(%o22) -(abs(o)*abs(C)*E*(C*R^2+2*o^2*C*L^2-2*L))/(o^2*C^2*R^2+o^4*C^2*L^2-2*o^2*C*L+1)^(3/2)

d|EC|/dω=-(ωC)*|E|*(C*R^2+2*(ωL)^2*C-2*L))/((ωC)^2*R^2+(ωC)^2*(ωL)^2-2*ω^2*L+1)^(3/2)

従って最大値を取るのは微分係数が０、分子が０となる条件式

C*R^2+2*(ωL)^2*C-2*L=0

となるωを解くと

(%i23) solve([C*R^2+2*o^2*C*L^2-2*L], [o]);
(%o23) [o=-sqrt((2*L)/C-R^2)/(sqrt(2)*L),o=sqrt((2*L)/C-R^2)/(sqrt(2)*L)]

ωは正の値なので

ω=sqrt((2*L)/C-R^2)/(sqrt(2)*L)

の時に|EC|は最大値を取る。これを|EC|の式に代入して|ECmax|を求めると

(%i36) subst(sqrt((2*L)/C-R^2)/(sqrt(2)*L), o, E/(o*C*sqrt(R^2+(o*L-1/(o*C))^2)));
(%o36) (sqrt(2)*E*L)/(C*sqrt((2*L)/C-R^2)*sqrt((sqrt((2*L)/C-R^2)/sqrt(2)-(sqrt(2)*L)/(C*sqrt((2*L)/C-R^2)))^2+R^2))
(%i37) ratsimp(%);
(%o37) (sqrt(2)*E*L)/(C*sqrt(-(C*R^2-2*L)/C)*sqrt((C*R^4-4*L*R^2)/(2*C*R^2-4*L)))
(%i38) factor(%);
(%o38) (2*E*L)/(C*sqrt((C*R^2-4*L)/(C*R^2-2*L))*sqrt(-(C*R^2-2*L)/C)*abs(R))
(%i39) (2*E*L)/(C*sqrt((C*R^2-4*L)/(C*R^2-2*L))*sqrt(-(C*R^2-2*L)/C)*(R));
(%o39) (2*E*L)/(C*R*sqrt((2*L-C*R^2)/C)*sqrt((C*R^2-4*L)/(C*R^2-2*L)))

Maximaだとこれが限界,良くみると無駄に因数分解してしまっている。

|ECmax|=2*|E|*L/(C*R*sqrt((2*L-C*R^2)/C)*sqrt((C*R^2-4*L)/(C*R^2-2*L)))
=2*|E|*L/(C*R*sqrt((2*L-C*R^2)*(C*R^2-4*L)/(C*(C*R^2-2*L))))
=2*|E|*L/(C*R*sqrt((C*R^2-2*L)*(4*L-C*R^2)/(C*(C*R^2-2*L))))
=2*|E|*L/(C*R*sqrt((4*L-C*R^2)/C))
=2*|E|*L/(R*sqrt(C^2*(4*L-C*R^2)/C)))
=2*|E|*L/(R*sqrt(4*C*L-C^2*R^2))

ということになる。