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webadm | 投稿日時: 2008-6-8 6:51 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3068 |
【17】RLC並列回路のQ 次ぎの問題はRLC並列回路の共振角周波数をω0とした時に共振の鋭さQが
Q=ω0*C*R=R*√(C/L) で表されることを証明せよというもの。 これは理論を学ぶ際に並列共振回路のQは共振時のCまたはLのサセプタンス/コンダクタンスで定義されるというふうに暗記してしまっているのでちょっと困ったことになった。 もう一つのQの定義 Q=f0/(f2-f1)=ω0/(ω2-ω1) でなにかが1/√2になる半値点と共振点の周波数で鋭さを定義する方法から導出することができるかどうか。 RLC直列回路の場合にはインピーダンスが共振点で最小になるので、同じ電圧の電源で周波数を変えて回路に流れる電流が共振点の1/√2になるところを半値点とすればよかった。 RLC並列回路はRLC直列回路とは正反対に共振点でインピーダンスが最大になりそれ以外では減っていくことになる。電源電圧が同じであれば周波数が共振点から離れると回路に流れる電流が増えてしまう。 なので半値点はインピーダンスが1/√2になる点としよう。 RLC並列回路のインピーダンスは Z=1/(1/R+j(ωC-1/ωL)) =(1/R-j(ωC-1/ωL))/((1/R+j(ωC-1/ωL))*(1/R-j(ωC-1/ωL))) =(1/R-j(ωC-1/ωL))/(1/R^2+(ωC-1/ωL)^2) =1/(R*(1/R^2+(ωC-1/ωL)^2)-j(ωC-1/ωL)/(1/R^2+(ωC-1/ωL)^2) で表される。 半値点ω1,ω2でのインピーダンスZ1,Z2がそれぞれ共振点ω0の時のインピーダンスの1/√2になるとすると |Z1|=sqrt(1/(R*(1/R^2+(ω1C-1/ω1L)^2))^2+(ω1C-1/ω1L)^2/(1/R^2+(ω1C-1/ω1L)^2)^2) =sqrt(1/R^2+(ω1C-1/ω1L)^2)/(1/R^2+(ω1C-1/ω1L)^2) =1/sqrt(1/R^2+(ω1C-1/ω1L)^2) |Z2|=1/sqrt(1/R^2+(ω2C-1/ω2L)^2) |Z1|=|Z2|=|Z0|/√2 =1/(√2*sqrt(1/R^2+(ω0C-1/ω0L)^2)) 共振点では (ω0C-1/ω0L)=0 ω0=1/√(L*C) なので |Z1|=|Z2|=|Z0|/√2 =R/√2 という関係が成り立つ。 従って 1/sqrt(1/R^2+(ω1C-1/ω1L)^2)=R/√2 両辺を二乗して逆数をとると 1/R^2+(ω1C-1/ω1L)^2=2/R^2 (ω1C-1/ω1L)^2=1/R^2 両辺を開平し (ω1C-1/ω1L)=±1/R についてω1をそれぞれ解くと (%i9) (o1*C-1/(o1*L))=1/R; (%o9) o1*C-1/(o1*L)=1/R (%i10) solve(%,o1); (%o10) [o1=-(sqrt(4*C*L*R^2+L^2)-L)/(2*C*L*R),o1=(sqrt(4*C*L*R^2+L^2)+L)/(2*C*L*R)] という解が得られる。ω1は正の値なので ω1=(sqrt(4*C*L*R^2+L^2)+L)/(2*C*L*R) ということになる。 一方 (ω1C-1/ω1L)=-1/R では (%i11) (o1*C-1/(o1*L))=-1/R; (%o11) o1*C-1/(o1*L)=-1/R (%i12) solve(%,o1); (%o12) [o1=-(sqrt(4*C*L*R^2+L^2)+L)/(2*C*L*R),o1=(sqrt(4*C*L*R^2+L^2)-L)/(2*C*L*R)] なる解が得られるがω1は正の数であるため ω1=(sqrt(4*C*L*R^2+L^2)-L)/(2*C*L*R) もまた解となる。 同様にω2についても ω2=(sqrt(4*C*L*R^2+L^2)±L)/(2*C*L*R) が解となるので、ω2>ω1のケースでは ω1=(sqrt(4*C*L*R^2+L^2)-L)/(2*C*L*R) ω2=(sqrt(4*C*L*R^2+L^2)+L)/(2*C*L*R) ということになる。 半値の角周波数ω1,ω2が導かれたのでQの定義式に代入すると Q=ω0/(ω2-ω1) =(1/√(L*C))/((sqrt(4*C*L*R^2+L^2)+L)/(2*C*L*R)-(sqrt(4*C*L*R^2+L^2)-L)/(2*C*L*R)) =(1/√(L*C))/(2*L/(2*C*L*R)) =(1/√(L*C))/(1/(C*R)) =(C*R)/√(L*C) =R*√(C/L) ということになる。 二次の方程式の解をいきなりMaximaとか得ようとしても著者のような綺麗な解の式が出てこない。結局手で解かないとだめだった。 |
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