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投稿者 | スレッド |
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webadm | 投稿日時: 2008-6-12 7:04 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3084 |
【26】RLC混成回路(その3) 次ぎもRLC混成回路の共振点に関する問題。
基本的にはLC直列回路でLとCにそれぞれ並列にRなる抵抗がつながっているというもの。RL並列回路とRC並列回路が直列につながっているともとらえることができる。 題意はこの回路の共振条件を導けというもの。 回路のインピーダンスは Z=1/(1/R-j/ωL)+1/(1/R+jωC) =((1/R+jωC)+(1/R-j/ωL))/((1/R-j/ωL)*(1/R+jωC)) =(2/R+j(ωC-1/ωL))/(1/R^2+jωC/R-j/ωLR+C/L) =(2/R+j(ωC-1/ωL))/(1/R^2+C/L+j(ωC/R-1/ωLR)) =(2/R+j(ωC-1/ωL))*(1/R^2+C/L-j(ωC/R-1/ωLR))/((1/R^2+C/L)^2+(ωC/R-1/ωLR)^2) =(2/R^3+2C/LR-j(2ωC/R^2-2/ωLR^2)+j(ωC/R^2-1/ωLR^2)+j(ωC^2/L-C/ωL^2)+(ω^2C^2/R-C/LR-C/LR+1/ω^2L^2R))/((1/R^2+C/L)^2+(ωC/R-1/ωLR)^2) =(2/R^3+C/LR+ω^2C^2/R+1/ω^2L^2R+j(ωC/R^2-1/ωLR^2-2ωC/R^2+2/ωLR^2+ωC^2/L-C/ωL^2))/((1/R^2+C/L)^2+(ωC/R-1/ωLR)^2) =(2/R^3+C/LR+ω^2C^2/R+1/ω^2L^2R)/((1/R^2+C/L)^2+(ωC/R-1/ωLR)^2)+j(ωC/R^2-1/ωLR^2-2ωC/R^2+2/ωLR^2+ωC^2/L-C/ωL^2)/((1/R^2+C/L)^2+(ωC/R-1/ωLR)^2) と表すことができる。 共振点は実効リアクタンスが0となる点であるとすれば ωC/R^2-1/ωLR^2-2ωC/R^2+2/ωLR^2+ωC^2/L-C/ωL^2=0 が成り立つ条件ということになる。 これをωについて解くと (%i36) o*C/R^2-1/(o*L*R^2)-2*o*C/R^2+2/(o*L*R^2)+o*C^2/L-C/(o*L^2); (%o36) 1/(o*L*R^2)-(o*C)/R^2+(o*C^2)/L-C/(o*L^2) (%i37) solve(%,o); (%o37) [o=-1/sqrt(C*L),o=1/sqrt(C*L)] ω>0なので ω0=1/sqrt(C*L) またRについて解くと (%i39) solve([1/(o*L*R^2)-(o*C)/R^2+(o*C^2)/L-C/(o*L^2)], [R]); (%o39) [R=-sqrt(L/C),R=sqrt(L/C)] R>0なので R=sqrt(L/C) と著者と同じ結果が得られた。これらは別解法として共振時にはインピーダンスが最小となることからインピーダンスの絶対値の式を微分して微分係数が0となる条件から導くこともできる。 (%i40) 1/(1/R-%i/(o*L))+1/(1/R+%i*o*C);(%o40) 1/(1/R-%i/(o*L))+1/(1/R+%i*o*C)(%i41) abs(%);(%o41) sqrt((1/(R/(o^2*L^2)+1/R)+1/(o^2*C^2*R+1/R))^2+(1/((o*L)/R^2+1/(o*L))-(o*C)/(1/R^2+o^2*C^2))^2)(%i42) factor(%);(%o42) (sqrt((o^4*C^2*L^2-2*o^2*C*L+1)*R^2+4*o^2*L^2)*abs(R))/(sqrt(R^2+o^2*L^2)*sqrt(o^2*C^2*R^2+1)) (%i43) (sqrt((o^4*C^2*L^2-2*o^2*C*L+1)*R^2+4*o^2*L^2)*(R))/(sqrt(R^2+o^2*L^2)*sqrt(o^2*C^2*R^2 +1));(%o43) (R*sqrt((o^4*C^2*L^2-2*o^2*C*L+1)*R^2+4*o^2*L^2))/(sqrt(R^2+o^2*L^2)*sqrt(o^2*C^2*R^2+1)) (%i48) diff(%,o); (%o48) -(o*L^2*R*sqrt((o^4*C^2*L^2-2*o^2*C*L+1)*R^2+4*o^2*L^2))/((R^2+o^2*L^2)^(3/2)*sqrt(o^2*C^2*R^2+1))-(o*C^2*R^3*sqrt((o^4*C^2*L^2-2*o^2*C*L+1)*R^2+4*o^2*L^2))/(sqrt(R^2+o^2*L^2)*(o^2*C^2*R^2+1)^(3/2))+ (R*((4*o^3*C^2*L^2-4*o*C*L)*R^2+8*o*L^2))/(2*sqrt(R^2+o^2*L^2)*sqrt(o^2*C^2*R^2+1)*sqrt((o^4*C^2*L^2-2*o^2*C*L+1)*R^2+4*o^2*L^2)) (%i49) factor(%); (%o49) (o*(o^2*C*L-1)*(o^2*C*L+1)*R^3*(C*R^2-L)*(C*R^2+3*L))/((R^2+o^2*L^2)^(3/2)*(o^2*C^2*R^2+1)^(3/2)*sqrt((o^4*C^2*L^2-2*o^2*C*L+1)*R^2+4*o^2*L^2)) d|Z|/dω=(ω*(ω^2CL-1)*(ω^2CL+1)*R^3*(CR^2-L)*(CR^2+3L))/((R^2+ω^2L^2)^(3/2)*(ω^2C^2R^2+1)^(3/2)*sqrt((ω^4C^2L^2-2ω^2CL+1)*R^2+4ω^4L^2)) 従って微分係数が0となるのは ω=0 ω^2CL-1=0 ω^2CL+1=0 R^3=0 CR^2-L=0 CR^2+3L=0 これらからω>0,R>0であることから ω^2CL-1=0 をωについて解くと ω0=1/sqrt(C*L) また CR^2-L=0 をRについて解くと R=sqrt(L/C) と同時に導き出すことができる。 |
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