次ぎはLとCだけから成る混成回路の共振点を導く問題。



基本的には２つの異なるLC並列回路がC3をカップリングにして並列につながっている。２つのLC並列回路があることから並列共振点が２つと直列共振点が１つ存在することが予想される。

題意は反共振角周波数を求めよということなので２つの並列共振点を求めれば良いことになる。

並列回路が中心なのでアドミッタンスで考えたほうが式が易しくなる

Y=jωC1-j/ωL1+1/(1/(jωC2-j/ωL2)-j/ωC3)

(%i27) %i*o*C1-%i/(o*L1)+1/(1/(%i*o*C2-%i/(o*L2))-%i/(o*C3));
(%o27) 1/(1/(%i*o*C2-%i/(o*L2))-%i/(o*C3))-%i/(o*L1)+%i*o*C1
(%i28) abs(%);
(%o28) abs(1/(-1/(o*C2-1/(o*L2))-1/(o*C3))+1/(o*L1)-o*C1)
(%i29) factor(%);
(%o29) abs((((o^4*C2+o^4*C1)*C3+o^4*C1*C2)*L1-o^2*C3-o^2*C2)*L2+(-o^2*C3-o^2*C1)*L1+1)/(abs(o)*abs(L1)*abs((o^2*C3+o^2*C2)*L2-1))

|Y|=((((ω^4*C2+ω^4*C1)*C3+ω^4*C1*C2)*L1-ω^2*C3-ω^2*C2)*L2+(-ω^2*C3-ω^2*C1)*L1+1)/(ω*L1*((ω^2*C3+ω^2*C2)*L2-1))
=(ω^4*((C2+C1)*C3+C1*C2)*L1*L2-ω^2*(C3+C2)*L2-ω^2(C3+C1)*L1+1)/(ω*L1*(ω^2*(C3+C2)*L2-1))
=(ω^4*((C2+C1)*C3+C1*C2)*L1*L2-ω^2*((C3+C2)*L2+(C3+C1)*L1)+1)/(ω*L1*(ω^2*(C3+C2)*L2-1))

並列共振時にはアドミッタンスが0になるので分子の式が0となる条件

ω^4*((C2+C1)*C3+C1*C2)*L1*L2-ω^2*((C3+C2)*L2+(C3+C1)*L1)+1=0

をωについて解けば良い。

四次の方程式なのでω^2=yと置いて

y^2*((C2+C1)*C3+C1*C2)*L1*L2-ω^2*((C3+C2)*L2+(C3+C1)*L1)+1=0

をyに関する二次の方程式として解けば

ax^2+bx+c=0

の解は

x=(-b±√(b^2-4ac))/2a

の公式を使って

y=((C3+C2)*L2+(C3+C1)*L1±√(((C3+C2)*L2+(C3+C1)*L1)^2-4*((C2+C1)*C3+C1*C2)*L1*L2))/(2*((C2+C1)*C3+C1*C2)*L1*L2)

ω^2=yなので

ω0=√(((C3+C2)*L2+(C3+C1)*L1±√(((C3+C2)*L2+(C3+C1)*L1)^2-4*((C2+C1)*C3+C1*C2)*L1*L2))/(2*((C2+C1)*C3+C1*C2)*L1*L2))

ということになる。

回路の定数をL1=1mH,L2=100uH,C1=1uF,C2=0.1uF,C3=10uFとした時のAC特性をシミュレーションして見ると



確かに２つのピーク（並列共振点）と１つの谷（直列共振点）が現れている。

ちなみに直列共振点はアドミッタンスが∞になる条件（分母が０となる時）

ω*L1*((ω^2*C3+ω^2*C2)*L2-1)=0

をωについて解くと

(%i13) o*L1*(o^2*(C3+C2)*L2-1);
(%o13) o*L1*(o^2*(C3+C2)*L2-1)
(%i14) solve(%,o);
(%o14) [o=-1/sqrt(C3*L2+C2*L2),o=1/sqrt(C3*L2+C2*L2),o=0]

ω>0なので

ω0s=1/sqrt(C3*L2+C2*L2)

これにC3=10uF,C2=0.1uF,L2=0.1mHを代入すると

ω0s=5008 [Hz]

ということでグラフの谷と一致している。

並列共振点は

ω0p=1458 [Hz]
ω0p'=16.5 [KHz]

とこれらも良く一致している。

Maximaで同じようにアドミッタンスのグラフを描いてみても同様の結果が得られる。