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投稿者 スレッド
webadm
投稿日時: 2008-6-14 6:11
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3068
【30】RLC混成回路(その5)
次ぎもRLC混成回路に関する問題。



2つの異なるRLC並列回路が互いに並列接続されている回路で

L2=L1*k
C2=C1/k

とした場合に2つのRLC並列回路は共振周波数が同じになり、合成された回路の共振周波数もf0になるがQが変わるので半値幅が異なってくる。元の回路の半値幅をそれぞれΔf1,Δf2とした場合の合成された回路の半値幅Δfがどうなるか導けというもの。



それぞれのRLC並列回路の半値幅と合成された回路の半値幅の関係を図にするとこんな感じだろうか。

まずは本当にそうなのか合成された回路のインピーダンスの式を導いて検証してみよう。

全素子並列接続なので回路の合成アドミッタンスは

Y=1/R1+jωC1-j/ωL1+1/R2+jωC2-j/ωL2
=1/R1+1/R2+j(ω*(C1+C2)-((L1+L2)/(ω*L1*L2)))
=(R1+R2)/(R1*R2)+j(ω*(C1+C2)-((L1+L2)/(ω*L1*L2)))

共振点は虚数部が0となることから

ω*(C1+C2)-((L1+L2)/(ω*(L1*L2)))=0

が成り立つωを解けば良い

両辺にωを乗じてωについて整理すると

ω^2*(C1+C2)-((L1+L2)/(L1*L2))=0

ωについて解くと

ω0=sqrt((L1+L2)/(L1*L2))/(C1+C2))
=sqrt((L1+L2)/((L1*L2)*(C1+C2)))

ここで

L2=L1*k
C2=C1/k

を代入すると

ω0=sqrt((L1+L1*k)/(L1*L1*k)*(C1+C1/k)))
=sqrt(L1*(1+k)/(L1^2*k)*C1*(1+1/k)))
=sqrt((1+k)/(L1*k)*C1*(1+1/k)))
=sqrt((1+k)/(L1*C1*(k+1)))
=sqrt(1/(L1*C1))

L1=L2/k
C1=C2*k

を代入すると

ω0=sqrt(1/((L2/k)*C2*k))
=sqrt(1/(L2*C2))

従って

ω0=sqrt(1/(L1*C1))=sqrt(1/(L2*C2))

となりそれぞれのRLC並列回路の共振周波数と合成された回路の共振周波数は変わらないことが確かめられた。

ところでQの定義

Q=f0/(f1-f2)=f0/Δf
=共振時のサセプタンス/共振時のコンダクタンス
=ω0*(C1+C2)/((R1+R2)/(R1*R2))
=ω0*(C1+C2)*(R1*R2)/(R1+R2)

また個々のRLC並列回路について

f0/Δf1=ω0*C1*R1

f0/Δf2=ω0*C2*R2

従って

R1=f0/(Δf1*ω0*C1)
=f0/(Δf1*2*π*f0*C1)
=1/(Δf1*2*π*C1)

R2=f0/(Δf2*ω0*C1)
=f0/(Δf2*2*π*f0*C2)
=1/(Δf2*2*π*C2)

これを回路全体のQの式に代入すると

Q=f0/Δf=ω*(C1+C2)*(R1*R2)/(R1+R2)
=2*π*f0*(C1+C2)*((1/(Δf1*2*π*C1))*(1/(Δf2*2*π*C2)))/(1/(Δf1*2*π*C1)+1/(Δf2*2*π*C2))
=(2*π*f0*(C1+C2)/(Δf1*2*π*C1)*(Δf2*2*π*C2))/((Δf1*2*π*C1+Δf2*2*π*C2)/((Δf1*2*π*C1)*(Δf2*2*π*C2)))
=(2*π*f0*(C1+C2))/(Δf1*2*π*C1+Δf2*2*π*C2)
=f0*(C1+C2)/(Δf1*C1+Δf2*C2)

従って

Δf=(Δf1*C1+Δf2*C2)/(C1+C2)

ここで

C2=C1/k

を代入すると

Δf=(Δf1*C1+Δf2*C1/k)/(C1+C1/k)
=C1*(Δf1+Δf2/k)/(C1*(1+1/k))
=(Δf1+Δf2/k)/(1+1/k)
=(Δf1+Δf2/k)/((k+1)/k)
=(Δf1+Δf2/k)*k/(k+1)
=(k*Δf1+Δf2)/(k+1)

ということになる。
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題名 投稿者 日時
   交流回路の演習問題 webadm 2008-5-30 8:55
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     【2】LC直列回路の共振点 webadm 2008-5-30 9:54
     【3】RLC直列回路の共振点、Q及び電圧 webadm 2008-5-30 11:04
     【4】RLC直列回路の共振点(その3) webadm 2008-5-31 11:44
     【5】RLC直列共振回路のQ webadm 2008-5-31 12:04
     【6】RLC直列回路の共振点(その4) webadm 2008-5-31 12:37
     【7】RLC直列回路の共振点(その後) webadm 2008-5-31 23:25
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     【9】RLC直列回路の証明問題 webadm 2008-6-1 1:50
     【10】RLC直列回路のQ webadm 2008-6-1 2:12
     【11】RLC直列回路の出力電圧 webadm 2008-6-3 10:57
     【12】RLC直列回路の出力(続き) webadm 2008-6-5 10:20
     【13】RLC直列回路の出力電圧(その2) webadm 2008-6-5 10:44
     【14】RLC直列回路の出力電圧(その3) webadm 2008-6-5 11:29
     【15】RLC直列回路のR webadm 2008-6-6 11:04
     【16】LC並列回路の共振点 webadm 2008-6-7 16:18
     【17】RLC並列回路のQ webadm 2008-6-8 6:51
     【18】RLC並列回路のQ(その2) webadm 2008-6-8 7:47
     【19】RLC混成回路 webadm 2008-6-8 12:21
     【20】RLC混成回路(続き) webadm 2008-6-8 19:08
     【21】LC直列共振回路によるCの測定 webadm 2008-6-8 19:30
     【22】コイルの分布容量の測定 webadm 2008-6-8 20:10
     【23】コイルの分布容量の測定(続き) webadm 2008-6-8 20:38
     【24】Bouchelotの回路 webadm 2008-6-9 5:40
       Re: 【24】Bouchelotの回路 webadm 2008-6-10 7:05
     【25】RLC混成回路(その2) webadm 2008-6-10 12:25
     【26】RLC混成回路(その3) webadm 2008-6-12 7:04
     【27】LC混成回路の共振点 webadm 2008-6-12 8:16
     【28】RC混成回路 webadm 2008-6-13 10:05
     【29】RLC混成回路(その4) webadm 2008-6-13 10:39
   » 【30】RLC混成回路(その5) webadm 2008-6-14 6:11
     【31】Y-Δ変換 webadm 2008-6-15 20:08
     【32】Y-Δ変換(その2) webadm 2008-6-23 11:06
       Re: 【32】Y-Δ変換(その2) webadm 2008-6-25 10:11
         Re: 【32】Y-Δ変換(その2) webadm 2008-6-26 11:03
     【33】Δ-Y変換(その3) webadm 2008-6-28 15:07
       Re: 【33】Δ-Y変換(その3) webadm 2008-7-27 22:26
         Re: 【33】Δ-Y変換(その3) webadm 2008-7-28 0:01
     【34】相互誘導回路の等価回路 webadm 2008-7-29 20:38
     【35】相互誘導回路(その1) webadm 2008-7-30 5:13
     【36】相互誘導回路(その2) webadm 2008-7-30 6:27
     【37】相互誘導回路(その3) webadm 2008-7-30 9:29
     【38】相互誘導回路(その4) webadm 2008-7-30 9:53
     【39】相互誘導回路(その5) webadm 2008-7-30 10:29
     【40】相互誘導回路(その6) webadm 2008-7-31 10:23
     【41】相互誘導回路(その7) webadm 2008-7-31 17:52
     【42】相互誘導回路(その8) webadm 2008-7-31 19:33
     【43】相互誘導回路(その9) webadm 2008-7-31 21:52
     【44】相互誘導回路(その10) webadm 2008-8-6 20:05
     【45】相互誘導回路(その11) webadm 2008-8-6 20:37
     【46】相互誘導回路(その12) webadm 2008-8-6 21:08
     【47】相互誘導回路(その13) webadm 2008-8-23 23:04
     【48】相互誘導回路(その14) webadm 2008-8-24 0:41
     【49】相互誘導回路(その15) webadm 2008-8-24 5:42
     【50】相互誘導回路(その16) webadm 2008-8-24 6:04
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     【64】相互誘導回路(その27) webadm 2008-8-28 23:32
       Re: 【64】相互誘導回路(その27) webadm 2008-8-30 18:47
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