次ぎは少し変わった回路。抵抗要素は無くキャパシタンスで一次側と二次側がカップリングされていて二次側に結合の無いインダクタンスが並列に接続されている回路の実効キャパシタンスを求めよというもの。



LとCしかないので回路のインピーダンスは誘導性か容量性のいずれかもしくは０か∞となるはず。題意では容量性となっているということ。

以下の式が成り立つ

(jωL1-j/(ωC)+jωM)*I1+(jωL2+jωM)*I2=E

jωL2*I2+jωM*I1-jωL3*(I1-I2)=0

Z*I1=E

Z=-j/(ωC0)

これらをI1,I2,Z,C0に関する４元連立方程式として解くと

(%i89) e1:(%i*o*L1-%i/(o*C)+%i*o*M)*I1+(%i*o*L2+%i*o*M)*I2=E;
(%o89) I2*(%i*o*M+%i*o*L2)+I1*(%i*o*M+%i*o*L1-%i/(o*C))=E
(%i90) e2:%i*o*L2*I2+%i*o*M*I1-%i*o*L3*(I1-I2)=0;
(%o90) %i*o*I1*M-%i*o*(I1-I2)*L3+%i*o*I2*L2=0
(%i91) e3:Z*I1=E;
(%o91) I1*Z=E
(%i92) e4:Z=-%i/(o*C0);
(%o92) Z=-%i/(o*C0)
(%i93) solve([e1,e2,e3,e4],[I1,I2,Z,C0]);
(%o93) [[I1=-(o*C*E*L3+o*C*E*L2)/(%i*o^2*C*M^2-2*%i*o^2*C*L3*M+(-%i*o^2*C*L2-%i*o^2*C*L1+%i)*L3+(%i-%i*o^2*C*L1)*L2),I2=
(o*C*E*M-o*C*E*L3)/(%i*o^2*C*M^2-2*%i*o^2*C*L3*M+(-%i*o^2*C*L2-%i*o^2*C*L1+%i)*L3+(%i-%i*o^2*C*L1)*L2),Z=-
(%i*o^2*C*M^2-2*%i*o^2*C*L3*M+(-%i*o^2*C*L2-%i*o^2*C*L1+%i)*L3+(%i-%i*o^2*C*L1)*L2)/(o*C*L3+o*C*L2),C0=
(C*L3+C*L2)/(o^2*C*M^2-2*o^2*C*L3*M+(-o^2*C*L2-o^2*C*L1+1)*L3+(1-o^2*C*L1)*L2)]]

従って

C0=(C*L3+C*L2)/(ω^2*C*M^2-2*ω^2*C*L3*M+(-ω^2*C*L2-ω^2*C*L1+1)*L3+(1-ω^2*C*L1)*L2)
=C*(L2+L3)/(C*ω^2*(M^2-2*L3*M-(L1+L2)*L3-L1*L2)+L3+L2)
=C*(L2+L3)/(L2+L3-ω^2*C*(L1*L2+L1*L3+L2*L3+2*L3*M-M^2))

ということになる。