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webadm | 投稿日時: 2008-8-24 19:22 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3086 |
【51】相互誘導回路(その17) 次ぎは少しひねった問題。相互誘導結合した一次側と二次側に直列に抵抗が入った回路が並列接続された場合に、一次側を流れる電流と二次側を流れる電流が相等しくかつ位相差がπ/2となる条件を導けというもの。
以下の関係が成り立つ jωL1*I1+jωM*I2=E (R+jωL2)*I2+jωM*I1=E これをI1,I2に関する2元連立方程式として解くと (%i1) e1:%i*o*I1+%i*o*M*I2=E; (%o1) %i*o*I2*M+%i*o*I1=E (%i2) e2:(R+%i*o*L2)*I2+%i*o*M*I1=E; (%o2) I2*(R+%i*o*L2)+%i*o*I1*M=E (%i3) solve([e1,e2],[I1,I2]); (%o3) [[I1=-(E*(-R-%i*o*L2)+%i*o*E*M)/(%i*o*R+o^2*M^2-o^2*L2),I2=-(%i*E*M-%i*E)/(%i*R+o*M^2-o*L2)]] I1,I2について直交形式に整理すると (%i4) rectform(%); (%o4) [[I1=-(%i*(o*E*R^2+(o*E*M-o*E*L2)*(o^2*M^2-o^2*L2)))/(o^2*R^2+(o^2*M^2-o^2*L2)^2)-(o*(o*E*M-o*E*L2)*R-E*(o^2*M^2-o^2*L2)*R)/(o^2*R^2+(o^2*M^2-o^2*L2)^2),I2=- ((E*M-E)*R)/(R^2+(o*M^2-o*L2)^2)-(%i*(E*M-E)*(o*M^2-o*L2))/(R^2+(o*M^2-o*L2)^2)]] I1,I2の絶対値は (%o22) [[I1=(-E*(-R-%i*o*L2)-%i*o*E*M)/(L1*(%i*o*R-o^2*L2)+o^2*M^2),I2=(%i*E*L1-%i*E*M)/(L1*(%i*R-o*L2)+o*M^2)]] (%i23) abs(%); (%o23) [[abs(I1)=sqrt((-(o*E*L1*R^2)/(o^2*L1^2*R^2+(o^2*M^2-o^2*L1*L2)^2)-(o^3*E*M^3)/(o^2*L1^2*R^2+(o^2*M^2-o^2*L1*L2)^2)+ (o^3*E*L2*M^2)/(o^2*L1^2*R^2+(o^2*M^2-o^2*L1*L2)^2)+(o^3*E*L1*L2*M)/(o^2*L1^2*R^2+(o^2*M^2-o^2*L1*L2)^2)-(o^3*E*L1*L2^2)/(o^2*L1^2*R^2+(o^2*M^2-o^2*L1*L2)^2))^(2)+ ((o^2*E*M^2*R)/(o^2*L1^2*R^2+(o^2*M^2-o^2*L1*L2)^2)-(o^2*E*L1*M*R)/(o^2*L1^2*R^2+(o^2*M^2-o^2*L1*L2)^2))^2),abs(I2)=sqrt( ((E*L1^2*R)/(L1^2*R^2+(o*M^2-o*L1*L2)^2)-(E*L1*M*R)/(L1^2*R^2+(o*M^2-o*L1*L2)^2))^2+ (-(o*E*M^3)/(L1^2*R^2+(o*M^2-o*L1*L2)^2)+(o*E*L1*M^2)/(L1^2*R^2+(o*M^2-o*L1*L2)^2)+(o*E*L1*L2*M)/(L1^2*R^2+(o*M^2-o*L1*L2)^2)-(o*E*L1^2*L2)/(L1^2*R^2+(o*M^2-o*L1*L2)^2))^2)]] (%i24) factor(%); (%o24) [[abs(I1)=(abs(E)*sqrt((R^2+o^2*M^2-2*o^2*L2*M+o^2*L2^2)/(L1^2*R^2+o^2*M^4-2*o^2*L1*L2*M^2+o^2*L1^2*L2^2)))/abs(o),abs(I2)=(abs(E)*sqrt(M^2-2*L1*M+L1^2))/sqrt(L1^2*R^2+o^2*M^4-2*o^2*L1*L2*M^2+o^2*L1^2*L2^2)]] 従って |I1|=(E*sqrt((R^2+ω^2*M^2-2*ω^2*L2*M+ω^2*L2^2)/(L1^2*R^2+ω^2*M^4-2*ω^2*L1*L2*M^2+ω^2*L1^2*L2^2)))/ω =E*sqrt(R^2+ω^2*(M-L2)^2)/(ω*sqrt(L1^2*R^2+ω^2*(M^2-L1*L2)^2) |I2|=(E*sqrt(M^2-2*L1*M+L1^2))/sqrt(L1^2*R^2+ω^2*M^4-2*ω^2*L1*L2*M^2+ω^2*L1^2*L2^2) =±E*(M-L1)/sqrt(L1^2*R^2+ω^2*(M^2-L1*L2)^2) =±E*ω*(M-L1)/(ω*sqrt(L1^2*R^2+ω^2*(M^2-L1*L2)^2) |I1|=|I2|となるためには sqrt(R^2+ω^2*(M-L2)^2)=±ω*(M-L1) が成り立つ必要がある。 またI1,I2が直交しているためには I1=±jI2 が成り立つ必要がある。すなわち I1=(-E*(-R-%i*o*L2)-%i*o*E*M)/(L1*(%i*o*R-o^2*L2)+o^2*M^2) =E*(R+j*ω*(L2+M))/(L1*(j*ω*R-ω^2*L2)+ω^2*M^2) =±jI2 =±j*(j*E*L1-j*E*M)/(L1*(j*R-ω*L2)+ω*M^2) =±E*(M-L1)/(L1*(j*R-ω*L2)+ω*M^2) =±E*ω*(M-L1)/(L1*(j*ω*R-ω^2*L2)+ω^2*M^2) 上記の関係が成り立つには R+j*ω*(L2-M)=±ω*(M-L1) が成り立つ必要がある。 sqrt(R^2+ω^2*(M-L2)^2)=±ω*(M-L1) R+j*ω*(L2-M)=±ω*(M-L1) この4式(からL1,L2に関する2元連立方程式として解くと (%i57) e1:R^2+o^2*(M-L2)^2=(o*(M-L1))^2; (%o57) R^2+o^2*(M-L2)^2=o^2*(M-L1)^2 (%i63) e2:R+%i*o*(L2-M)=o*(M-L1); (%o63) R+%i*o*(L2-M)=o*(M-L1) (%i64) e3:R+%i*o*(L2-M)=-o*(M-L1); (%o64) R+%i*o*(L2-M)=-o*(M-L1) (%i65) solve([e1,e2],[L1,L2]); (%o65) [[L1=M,L2=(%i*R+o*M)/o],[L1=-(R-o*M)/o,L2=M]] (%i66) solve([e1,e3],[L1,L2]); (%o66) [[L1=M,L2=(%i*R+o*M)/o],[L1=(R+o*M)/o,L2=M]] 従ってL1,L2とも実数でなければならないので L1=-(R-ω*M)/ω=M-R/ω,L2=M L1=(R+ω*M/)/ω=M+R/ω,L2=M の2つの解が得られる。 最初の解のL1の式だと M=L1+R/ω 相互インダクタンスの方が巻き線のインダクタンスよりも超えてしまうことはあり得ないので L1=M+R/ω L2=M が解となる。 最初直交関係から式を導き出す際に、2つあるのを忘れて片方だけを使ったら、MがL1より大きいケースの解しか得られず悩んだが、著者の解を見てようやくそれに気づき正解にたどり着いた。 この回路の意味は一次側がR/ω分の漏洩インダクタンスを持つ磁気漏れ変圧器もしくはリーケージ・トランスである。こうした意図的に漏洩インダクタンスを利用した磁気漏れ変圧器は蛍光灯の安定器、アーク溶接機など定電流変圧器として応用されている。 |
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