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投稿者 スレッド
webadm
投稿日時: 2008-8-27 10:58
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3068
【61】相互誘導回路(その25)
次ぎは一次側と二次側共に共振回路となっている問題。



一次側と二次側のそれぞれの共振周波数をω1,ω2とした場合の回路全体の共振周波数ω0を結合係数を用いて導けというもの。

未知数は共振周波数と一次側と二次側に流れる電流である。

以下の関係式が成り立つ

(jωL1-j/(ωC1))*I1+jωM*I2=E

(jωL2-j/(ωC2))*I2+jωM*I1=0

(%i6) e1:(%i*o*L1-%i/(o*C1))*I1+%i*o*M*I2=E;
(%o6) %i*o*I2*M+I1*(%i*o*L1-%i/(o*C1))=E
(%i7) e2:(%i*o*L2-%i/(o*C2))*I2+%i*o*M*I1=0;
(%o7) %i*o*I1*M+I2*(%i*o*L2-%i/(o*C2))=0
(%i8) solve([e1,e2],[I1,I2]);
(%o8) [[I1=(C1*E*(%i*o^3*C2*L2-%i*o))/(o^4*C1*C2*M^2+C1*L1*(o^2-o^4*C2*L2)+o^2*C2*L2-1),I2=-(%i*o^3*C1*C2*E*M)/(o^4*C1*C2*M^2+C1*L1*(o^2-o^4*C2*L2)+o^2*C2*L2-1)]]

回路全体が共振状態の場合には一次側の電流が∞になる時なので、I1の分母が0となる条件

ω^4*C1*C2*M^2+C1*L1*(ω^2-ω^4*C2*L2)+ω^2*C2*L2-1=0

ここで

M=k*sqrt(L1*L2)

ω1=1/sqrt(C1*L1)

∴C1*L1=1/ω1^2

ω2=1/sqrt(C2*L2)

∴C2*L2=1/ω2^2

で書き換えると

ω^4*C1*C2*M^2+C1*L1*(ω^2-ω^4*C2*L2)+ω^2*C2*L2-1
=ω^4*C1*C2*k^2*L1*L2+ω^2*(1-ω^2/ω2^2)/ω1^2+ω^2/ω2^2-1
=ω^4*k^2/(ω1^2*ω2^2)+ω^2*(1-ω^2/ω2^2)/ω1^2+ω^2/ω2^2-1
=ω^2*(ω^2*k^2/(ω1^2*ω2^2)+(1/ω1^2-ω^2/(ω1^2*ω2^2))+1/ω2^2)-1
=ω^2*(ω^2*(k^2-1)/(ω1^2*ω2^2)+1/ω1^2+1/ω2^2)-1
=0

両辺にω1^2*ω2^2を乗じると

ω^2*(ω^2*(k^2-1)+ω1^2+ω^2)-ω1^2*ω2^2
=ω^4*(k^2-1)+ω^2*(ω1^2+ω^2)-ω1^2*ω2^2
=0

これをωについて解くとω0は

(%i52) solve([o^2*(o^2*(k^2-1)/(o1^2*o2^2)+1/o1^2+1/o2^2)-1], [o]);
(%o52) [o=-sqrt(sqrt(o2^4+4*k^2*o1^2*o2^2-2*o1^2*o2^2+o1^4)/(k^2-1)-o2^2/(k^2-1)-o1^2/(k^2-1))/sqrt(2),o=
sqrt(sqrt(o2^4+4*k^2*o1^2*o2^2-2*o1^2*o2^2+o1^4)/(k^2-1)-o2^2/(k^2-1)-o1^2/(k^2-1))/sqrt(2),o=-sqrt(sqrt(o2^4+4*k^2*o1^2*o2^2-2*o1^2*o2^2+o1^4)+o2^2+o1^2)/(sqrt(2)*sqrt(1-k^2)),o=
sqrt(sqrt(o2^4+4*k^2*o1^2*o2^2-2*o1^2*o2^2+o1^4)+o2^2+o1^2)/(sqrt(2)*sqrt(1-k^2))]
(%i53) factor(%);
(%o53) [o=-sqrt((sqrt(o2^4+(4*k^2-2)*o1^2*o2^2+o1^4)-o2^2-o1^2)/(k^2-1))/sqrt(2),o=sqrt((sqrt(o2^4+(4*k^2-2)*o1^2*o2^2+o1^4)-o2^2-o1^2)/(k^2-1))/sqrt(2),o=-
sqrt(sqrt(o2^4+(4*k^2-2)*o1^2*o2^2+o1^4)+o2^2+o1^2)/(sqrt(2)*sqrt(1-k^2)),o=sqrt(sqrt(o2^4+(4*k^2-2)*o1^2*o2^2+o1^4)+o2^2+o1^2)/(sqrt(2)*sqrt(1-k^2))]
(%i54) solve([o^4*(k^2-1)+o^2*(o1^2+o2^2)-o1^2*o2^2], [o]);
(%o54) [o=-sqrt(sqrt(o2^4+4*k^2*o1^2*o2^2-2*o1^2*o2^2+o1^4)/(k^2-1)-o2^2/(k^2-1)-o1^2/(k^2-1))/sqrt(2),o=
sqrt(sqrt(o2^4+4*k^2*o1^2*o2^2-2*o1^2*o2^2+o1^4)/(k^2-1)-o2^2/(k^2-1)-o1^2/(k^2-1))/sqrt(2),o=-sqrt(sqrt(o2^4+4*k^2*o1^2*o2^2-2*o1^2*o2^2+o1^4)+o2^2+o1^2)/(sqrt(2)*sqrt(1-k^2)),o=
sqrt(sqrt(o2^4+4*k^2*o1^2*o2^2-2*o1^2*o2^2+o1^4)+o2^2+o1^2)/(sqrt(2)*sqrt(1-k^2))]
(%i55) factor(%);
(%o55) [o=-sqrt((sqrt(o2^4+(4*k^2-2)*o1^2*o2^2+o1^4)-o2^2-o1^2)/(k^2-1))/sqrt(2),o=sqrt((sqrt(o2^4+(4*k^2-2)*o1^2*o2^2+o1^4)-o2^2-o1^2)/(k^2-1))/sqrt(2),o=-
sqrt(sqrt(o2^4+(4*k^2-2)*o1^2*o2^2+o1^4)+o2^2+o1^2)/(sqrt(2)*sqrt(1-k^2)),o=sqrt(sqrt(o2^4+(4*k^2-2)*o1^2*o2^2+o1^4)+o2^2+o1^2)/(sqrt(2)*sqrt(1-k^2))]

ω0は正の実数でなければならないので

ω0=sqrt((sqrt(ω2^4+(4*k^2-2)*ω1^2*ω2^2+ω1^4)-ω2^2-ω1^2)/(k^2-1))/sqrt(2)
=sqrt((sqrt(4*k^2*ω1^2*ω2^2+(ω1^2-ω2^2)^2)-(ω1^2+ω2^2))/(2*(k^2-1)))
=sqrt(((ω1^2+ω2^2)-sqrt(4*k^2*ω1^2*ω2^2+(ω1^2-ω2^2)^2))/(2*(1-k^2)))

ω0'=sqrt(sqrt(ω2^4+(4*k^2-2)*ω1^2*ω2^2+ω1^4)+ω2^2+ω1^2)/(sqrt(2)*sqrt(1-k^2))
=sqrt(sqrt(4*k^2*ω1^2*ω2^2+(ω1^2-ω2^2)^2)+(ω1^2+ω2^2))/(sqrt(2)*sqrt(1-k^2))
=sqrt(((ω1^2+ω2^2)+sqrt(4*k^2*ω1^2*ω2^2+(ω1^2-ω2^2)^2))/(2*(1-k^2)))

ということになる。

P.S

こうした共振回路を誘導結合したトランスは受信機の中間周波トランスとして応用されている。式の上では2つのピークを持つが、結合係数を調整すると2こぶになったり台形になったり、山が重なったりする。

Maximaを使ってある回路定数で結合係数を変えてアドミッタンスの周波数特性をプロットしてみると太平洋海底のハワイ列島のような軌跡が見える。

C1=10pF,C2=20pF,L1=L2=1uH

plot3d((500000*%pi*abs(f)*abs(%pi^2*f^2-12500000000000000))/abs(%pi^4*f^4*k^2-%pi^4*f^4
+37500000000000000*%pi^2*f^2-312500000000000000000000000000000), [k,0,1], [f,10^3,5*10^8],[grid,50,50])$



もともと2つの共振回路の共振点は隣接しているが、ある結合係数では山が完全に2つにスプリットしているのがわかる。

演習問題では一次側は直列共振だったが、中間周波トランスと同じように並列共振にしたらどうなるかとか一次側と二次側の出力比(ゲイン)がどうなるか研究してみると面白いかもしれない。
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題名 投稿者 日時
   交流回路の演習問題 webadm 2008-5-30 8:55
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       Re: 【24】Bouchelotの回路 webadm 2008-6-10 7:05
     【25】RLC混成回路(その2) webadm 2008-6-10 12:25
     【26】RLC混成回路(その3) webadm 2008-6-12 7:04
     【27】LC混成回路の共振点 webadm 2008-6-12 8:16
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       Re: 【32】Y-Δ変換(その2) webadm 2008-6-25 10:11
         Re: 【32】Y-Δ変換(その2) webadm 2008-6-26 11:03
     【33】Δ-Y変換(その3) webadm 2008-6-28 15:07
       Re: 【33】Δ-Y変換(その3) webadm 2008-7-27 22:26
         Re: 【33】Δ-Y変換(その3) webadm 2008-7-28 0:01
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     【37】相互誘導回路(その3) webadm 2008-7-30 9:29
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     【39】相互誘導回路(その5) webadm 2008-7-30 10:29
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