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投稿者 スレッド
webadm
投稿日時: 2008-9-5 5:24
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3068
【77】相互誘導回路のあるブリッジ(その2)
次ぎも相互誘導回路のある難問奇問。



平衡時のLをR1,R2,R3,R4,Mでその時の角周波数をL,R1,R2,R3,R4を用いて表せというもの。

平衡条件を導くために検流計を流れる電流Igの式を導くことにする。

以下の関係が成り立つ。

R1*I1+R3*(I1-Ig)-jωM*Ig=E

R2*I2+(R4+jωL)*(I2+Ig)-jωM*Ig=E

R1*I1-jωM*(I1+I2)-R2*I2=0

これをI1,I2,Igについて解くと

(%i10) e1:R1*I1+R3*(I1-Ig)-%i*o*M*Ig=E;
(%o10) (I1-Ig)*R3+I1*R1-%i*Ig*o*M=E
(%i11) e2:R2*I2+(R4+%i*o*L)*(I2+Ig)-%i*o*M*Ig=E;
(%o11) (I2+Ig)*(R4+%i*o*L)+I2*R2-%i*Ig*o*M=E
(%i12) e3:R1*I1-%i*o*M*(I1+I2)-R2*I2=0;
(%o12) -I2*R2+I1*R1-%i*o*(I2+I1)*M=0
(%i13) solve([e1,e2,e3],[I1,I2,Ig]);
(%o13) [[I1=(E*(R2*R4+%i*o*L*R2)+E*M*(%i*o*R4-o^2*L)+(E*R2+%i*o*E*M)*R3)/(R1*
(M*(2*%i*o*R4-2*o^2*L)+R2*R4+%i*o*L*R2+o^2*M^2)+R3*
(R1*(R4+R2+%i*o*L)+R2*R4-2*%i*o*M*R2+%i*o*L*R2+o^2*M^2)+M^2*(o^2*(R4+R2)+%i*o^3*L)),I2=(E*M*
(o^2*L-%i*o*R4)+E*R1*(R4+%i*o*L)+(E*R1-%i*o*E*M)*R3)/(R1*
(M*(2*%i*o*R4-2*o^2*L)+R2*R4+%i*o*L*R2+o^2*M^2)+R3*
(R1*(R4+R2+%i*o*L)+R2*R4-2*%i*o*M*R2+%i*o*L*R2+o^2*M^2)+M^2*(o^2*(R4+R2)+%i*o^3*L)),Ig=(E*M*
(%i*o*(R4+R2)-o^2*L)+R1*(E*(-R4-%i*o*L)+%i*o*E*M)+(E*R2+%i*o*E*M)*R3)/(R1*
(M*(2*%i*o*R4-2*o^2*L)+R2*R4+%i*o*L*R2+o^2*M^2)+R3*
(R1*(R4+R2+%i*o*L)+R2*R4-2*%i*o*M*R2+%i*o*L*R2+o^2*M^2)+M^2*(o^2*(R4+R2)+%i*o^3*L))]]
(%i14) factor(%);
(%o14) [[I1=(E*(R2*R4+%i*o*M*R4+R2*R3+%i*o*M*R3+%i*o*L*R2-o^2*L*M))/(R2*R3*R4+R1*R3*R4+R1*R2*
R4+2*%i*o*M*R1*R4+o^2*M^2*R4+R1*R2*R3-2*%i*o*M*R2*R3+%i*o*L*R2*R3+%i*o*L*R1*R3+o^2*M^2*R3+%i*o*L*R1*R2+
o^2*M^2*R2+o^2*M^2*R1-2*o^2*L*M*R1+%i*o^3*L*M^2),I2=(E*
(R1*R4-%i*o*M*R4+R1*R3-%i*o*M*R3+%i*o*L*R1+o^2*L*M))/(R2*R3*R4+R1*R3*R4+R1*R2*R4+2*%i*o*M*R1*R4+
o^2*M^2*R4+R1*R2*R3-2*%i*o*M*R2*R3+%i*o*L*R2*R3+%i*o*L*R1*R3+o^2*M^2*R3+%i*o*L*R1*R2+o^2*M^2*R2+o^2*M^2*R1-
2*o^2*L*M*R1+%i*o^3*L*M^2),Ig=-(E*
(R1*R4-%i*o*M*R4-R2*R3-%i*o*M*R3-%i*o*M*R2-%i*o*M*R1+%i*o*L*R1+o^2*L*M))/(R2*R3*R4+R1*R3*R4+R1*
R2*R4+2*%i*o*M*R1*R4+o^2*M^2*R4+R1*R2*R3-2*%i*o*M*R2*R3+%i*o*L*R2*R3+%i*o*L*R1*R3+o^2*M^2*R3+%i*o*L*R1*
R2+o^2*M^2*R2+o^2*M^2*R1-2*o^2*L*M*R1+%i*o^3*L*M^2)]]

Igについて整理すると

Ig=-(E*(R1*R4-j*ω*M*R4-R2*R3-j*ω*M*R3-j*ω*M*R2-j*ω*M*R1+j*ω*L*R1+ω^2*L*M))/(R2*R3*R4+R1*R3*R4+R1*
R2*R4+2*j*ω*M*R1*R4+ω^2*M^2*R4+R1*R2*R3-2*j*ω*M*R2*R3+j*ω*L*R2*R3+j*ω*L*R1*R3+ω^2*M^2*R3+j*ω*L*R1*
R2+ω^2*M^2*R2+ω^2*M^2*R1-2*ω^2*L*M*R1+j*ω^3*L*M^2)

従ってIg=0となる条件は分子が0となる条件

R1*R4-j*ω*M*R4-R2*R3-j*ω*M*R3-j*ω*M*R2-j*ω*M*R1+j*ω*L*R1+ω^2*L*M=0

を満たす必要がある。

直交形式に整理すると

R1*R4-R2*R3+ω^2*L*M-j*ω*(M*(R4+R3+R2+R1)-L*R1)=0

実数部と虚数部が共に0となる必要から

R1*R4-R2*R3+ω^2*L*M=0

M*(R1+R2+R3+R4)-L*R1=0

が成り立つ必要がある。

第二式より

∴L=M*(R1+R2+R3+R4)/R1

第一式より

ω^2=(R2*R3-R1*R4)/L*M

ここで第二式より

M=L*R1/(R1+R2+R3+R4)

を代入すると

ω^2=(R2*R3-R1*R4)/L*(L*R1/(R1+R2+R3+R4))
=(R2*R3-R1*R4)*(R1+R2+R3+R4)/(L^2*R1)

∴ω=(1/L)*sqrt((R2*R3-R1*R4)*(R1+R2+R3+R4)/R1)

ということになる。

この解析の難所は相互インダクタンスのみ扱う総合誘導回路であるということ、結合係数k=1でかつ一次側と二次側の巻き線のインダクタンスが等しいという前提で考えなければならない点である。もちろん一般的な漏洩インダクタンスがある場合のケースでも解析可能だが、題意とは異なる。Mの符号を最初逆にして式を立てたらLが負になってしまって慌てて逆にした。
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題名 投稿者 日時
   交流回路の演習問題 webadm 2008-5-30 8:55
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     【20】RLC混成回路(続き) webadm 2008-6-8 19:08
     【21】LC直列共振回路によるCの測定 webadm 2008-6-8 19:30
     【22】コイルの分布容量の測定 webadm 2008-6-8 20:10
     【23】コイルの分布容量の測定(続き) webadm 2008-6-8 20:38
     【24】Bouchelotの回路 webadm 2008-6-9 5:40
       Re: 【24】Bouchelotの回路 webadm 2008-6-10 7:05
     【25】RLC混成回路(その2) webadm 2008-6-10 12:25
     【26】RLC混成回路(その3) webadm 2008-6-12 7:04
     【27】LC混成回路の共振点 webadm 2008-6-12 8:16
     【28】RC混成回路 webadm 2008-6-13 10:05
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     【32】Y-Δ変換(その2) webadm 2008-6-23 11:06
       Re: 【32】Y-Δ変換(その2) webadm 2008-6-25 10:11
         Re: 【32】Y-Δ変換(その2) webadm 2008-6-26 11:03
     【33】Δ-Y変換(その3) webadm 2008-6-28 15:07
       Re: 【33】Δ-Y変換(その3) webadm 2008-7-27 22:26
         Re: 【33】Δ-Y変換(その3) webadm 2008-7-28 0:01
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     【36】相互誘導回路(その2) webadm 2008-7-30 6:27
     【37】相互誘導回路(その3) webadm 2008-7-30 9:29
     【38】相互誘導回路(その4) webadm 2008-7-30 9:53
     【39】相互誘導回路(その5) webadm 2008-7-30 10:29
     【40】相互誘導回路(その6) webadm 2008-7-31 10:23
     【41】相互誘導回路(その7) webadm 2008-7-31 17:52
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