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投稿者 スレッド
webadm
投稿日時: 2008-9-6 23:18
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3068
【85】直線を描くベクトルの逆数ベクトルの軌跡
これも理論でやった問題のおさらい。



直線を描くベクトルの座標(x,y)には以下の関係が成り立つ

y=-m*x+k

mは直線の実軸に対する傾き、kは直線の虚軸との交点。

そのベクトルは

Z=x+j*y

で表される。

従ってその逆数は

Y=1/Z=1/(x+j*y)
=(x-j*y)/(x^2+y^2)
=x/(x^2+y^2)-j*y/(x^2+y^2)

ここで

G=x/(x^2+y^2)

B=-y/(x^2+y^2)

とすると

Y=B+jG

で表される。

一方

G^2+B^2=x^2/(x^2+y^2)^2+(-y)^2/(x^2+y^2)
=(x^2+y^2)/(x^2+y^2)^2
=1/(x^2+y^2)
=G/x
=-B/y

従って

x=G/(G^2+B^2)

y=-B/(G^2+B^2)

これを最初の直線の式に代入すると

-B/(G^2+B^2)=-m*G/(G^2+B^2)+k

両辺に(G^2+B^2)/kを乗じると

-B/k=-(m/k)*G+(G^2+B^2)

整理すると

G^2-(m/k)*G+B^2+B/k=0

従って

(G-m/2*k)^2+(B+1/2*k)^2=(m/2*k)^2+(1/2*k)^2

(G-m/2*k)^2+(B+1/2*k)^2=(m^2+1)/(2*k))^2

従ってこれは中心を(m/2*k,-1/2*k)とする半径sqrt(m^2+1)/2*kの円の式となる。



直線が実軸と並行な場合(m=0)円の中心は(0,-1/2*k)となり半径は1/2*kとなる。

一方直線が

x=n*y+l

で表される時同様に

x=G/(G^2+B^2)

y=-B/(G^2+B^2)

を代入すると

G/(G^2+B^2)=n*(-B/(G^2+B^2))+l

両辺に(G^2+B^2)/lを乗じると

G/l=-B*(n/l)+(G^2+B^2)

整理すると

G^2-G/l+B^2-B*(n/l)=0

従って

(G-1/2*l)^2+(B-n/2*l)^2=(1/2*l)^2+(n/2*l)^2

(G-1/2*l)^2+(B-n/2*l)^2=(1+n^2)/(2*l)^2

従って逆数のベクトルは中心を(1/2*l,n/2*l)とし半径をsqrt(1+n^2)/2*lとする円を描く。

直線が虚軸と交わらない場合(n=0の場合)、中心が(1/2*l,0)で半径が1/2*lの円を描く。

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       Re: 【32】Y-Δ変換(その2) webadm 2008-6-25 10:11
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       Re: 【33】Δ-Y変換(その3) webadm 2008-7-27 22:26
         Re: 【33】Δ-Y変換(その3) webadm 2008-7-28 0:01
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