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webadm | 投稿日時: 2008-9-7 1:29 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3084 |
【86】軌跡が円を描くベクトルの逆数のベクトル軌跡 これも既に理論のときにやってしまったおさらい。
あるベクトルの軌跡が(a,b)を中心に持ち半径rの円を描くとして、そのベクトルの逆数の軌跡がまた円を描くことを示せというもの。 任意の円を描くベクトルの軌跡では (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 なる関係が成り立つ。 そのベクトルを Z=x+jy で表すとその逆数のベクトルは Y=1/Z=1/(x+jy) =(x-jy)/(x^2+y^2) =x/(x^2+y^2)-jy/(x^2+y^2) と表される。ここで G=x/(x^2+y^2) B=-y/(x^2+y^2) とすると Y=G+jB と表される。 ここで G^2+B^2=x^2/(x^2+y^2)^2+(-y)^2/(x^2+y^2)^2 =(x^2+y^2)/(x^2+y^2)^2 =1/(x^2+y^2) =G/x =-B/y であるので。 x=G/(G^2+B^2) y=-B/(G^2+B^2) これを元の円を描くベクトルの式に代入すると (G/(G^2+B^2)-a)^2+(-B/(G^2+B^2)-b)^2=r^2 G^2/(G^2+B^2)^2-2*a*G/(G^2+B^2)+a^2+B^2/(G^2+B^2)^2+2*b*B/(G^2+B^2)+b^2=r^2 両辺に(G^2+B^2)を乗じると G^2/(G^2+B^2)-2*a*G+a^2*(G^2+B^2)+B^2/(G^2+B^2)+2*b*B+b^2*(G^2+B^2)=r^2*(G^2+B^2) 整理すると (G^2+B^2)/(G^2+B^2)^2-2*a*G+2*b*B=(r^2-a^2-b^2)*(G^2+B^2) 1-2*a*G+2*b*B=(r^2-a^2-b^2)*(G^2+B^2) ここで R=a^2+b^2-r^2 (a^2+b^2) > r^2 とすると 1-2*a*G+2*b*B=-R*(G^2+B^2) 両辺をRで割って整理すると G^2-(2*a/R)*G+B^2+(2*b/R)*B+1/R=0 従って (G-a/R)^2+(B+b/R)^2=a^2/R^2+b^2/R^2-1/R (G-a/R)^2+(B+b/R)^2=(a^2+b^2-R)/R^2 (G-a/R)^2+(B+b/R)^2=(a^2+b^2-(a^2+b^2-r^2))/R^2 (G-a/R)^2+(B+b/R)^2=r^2/R^2 従って中心が(a/R,-b/R)で半径をr/Rとする円を描くことになる。 |
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