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webadm | 投稿日時: 2009-8-8 21:17 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3084 |
【2】Fourier係数の式の導出 2番目の問題は理論の時にやったFourier級数の係数の式を導く問題。
理論の時はだいぶ間を端折っていたので、ここできっちりおさらいを。 Fourier級数の式は y(t)=Σan*sin(nωt)+b0+Σbn*cos(nωt) (n=1,∞) だったよね。 わかりやすく書くとFourier級数は正弦波の重ね合わせ(superposition)のこと y(t)=a1*sin(ωt)+a2*sin(2ωt)+...+an*sin(nωt)+b0+b1*cos(ωt)+b2*cos(2ωt)+...+bn*cos(nωt) (n=∞) それぞれの係数はどうやって決める?という問題。 最初に正弦波は波長の整数倍で積分すると0になるという性質を利用すればsinとcosの項は全部0になり、b0の項だけ残るはず。両辺の最短周期Tで積分すると ∫y(t)dt=∫(Σan*sin(nωt)+b0+Σbn*cos(nωt)dt =∫(a1*sin(ωt)+a2*sin(2ωt)+...+bn*sin(nωt)+b0+b1*cos(ωt)+b2*cos(2ωt)+...+bn*cos(nωt)) =∫a1*sin(ωt)dt+∫a2*sin(2ωt)dt+...+∫an*sin(nωt)dt+∫b0dt+∫b1*cos(ωt)dt+∫b2*cos(2ωt)dt+...+∫bn*cos(nωt)dt =a1∫sin(ωt)dt+a2*∫sin(2ωt)dt+...+an∫sin(nωt)dt+b0∫dt+b1∫cos(ωt)dt+b2∫cos(2ωt)dt+...+bn∫cos(nωt)dt ここで ∫sin(ωt)dt=∫sin(2ωt)dt=...=∫sin(nωt)dt=0 (t=0,T) ∫cos(ωt)dt=∫cos(2ωt)dt=...=∫cos(nωt)dt=0 (t=0,T) ∫dt=T なので ∫y(t)dt=b0*T ∴b0=(1/T)∫y(t)dt ということになる。 一方今度はsin^2の積分は0とならないことを利用して両辺にsin(mωt)を乗じて積分すると ∫y(t)*sin(mωt)dt=∫(Σan*sin(nωt)+b0+Σbn*cos(nωt)*sin(mωt)dt =∫(a1*sin(ωt)+a2*sin(2ωt)+...+an*sin(nωt)+b0+b1*cos(ωt)+b2*cos(2ωt)+...+bn*cos(nωt))*sin(mωt)dt =∫a1*sin(ωt)*sin(mωt)dt+∫a2*sin(2ωt)*sin(mωt)dt+...+∫an*sin(nωt)*sin(mωt)dt+∫b0*sin(mωt)dt+∫b1*cos(ωt)*sin(mωt)dt+∫b2*cos(2ωt)*sin(mωt)dt+...+∫bn*cos(nωt)*sin(mωt)dt =a1∫sin(ωt)*sin(mωt)dt+a2∫sin(2ωt)*sin(mωt)dt+...+an∫sin(nωt)*sin(mωt)dt+b0∫sin(mωt)dt+b1∫cos(ωt)*sin(mωt)dt+b2∫cos(2ωt)*sin(mωt)dt+...+bn∫cos(2ωt)*sin(mωt)dt ここで ∫sin(mωt)dt=0 であるためb0の積分項は常に0 また係数ak(k=1,∞)の積分項に関して ∫sin(kωt)*sin(mωt)dt =∫(1/2)(cos((k-m)ωt)-cos((k+m)ωt))dt =(1/2)∫cos((k-m)ωt)dt-(1/2)∫cos((k+m)ωt)dt =0 (k≠m) =T/2 (k=m) ということから、mと等しい次数の係数の積分項以外は0になる。 またbk(k=1,∞)の積分項に関しても ∫cos(kωt)*sin(mωt)dt =∫(1/2)(sin((k+m)ωt)dt-sin((k-m)ωt))dt =(1/2)∫sin((k+m)ωt)dt-(1/2)∫sin((k-m)ωt)dt =0 であることから ∫y(t)*sin(nωt)dt=an*(T/2) (n=1,∞) 従って an=(2/T)∫y(t)*sin(nωt)dt (n=1,∞) ということになる。 同様に今度はcos^2の積分が0でないことを利用して両辺にcos(mωt)を乗じて積分すると ∫y(t)*cos(mωt)dt=∫(Σan*sin(nωt)+b0+Σbn*cos(nωt)*cos(mωt)dt =∫(a1*sin(ωt)+a2*sin(2ωt)+...+an*sin(nωt)+b0+b1*cos(ωt)+b2*cos(2ωt)+...+bn*cos(nωt))*cos(mωt)dt =∫a1*sin(ωt)*cos(mωt)dt+∫a2*sin(2ωt)*cos(mωt)dt+...+∫an*sin(nωt)*cos(mωt)dt+∫b0*cos(mωt)dt+∫b1*cos(ωt)*cos(mωt)dt+∫b2*cos(2ωt)*cos(mωt)dt+...+∫bn*cos(nωt)*cos(mωt)dt =a1∫sin(ωt)*cos(mωt)dt+a2∫sin(2ωt)*cos(mωt)dt+...+an∫sin(nωt)*cos(mωt)dt+b0∫cos(mωt)dt+b1∫cos(ωt)*cos(mωt)dt+b2∫cos(2ωt)*cos(mωt)dt+...+bn∫cos(2ωt)*cos(mωt)dt ここで ∫cos(mωt)dt=0 であるためb0の積分項は常に0 また係数ak(k=1,∞)の積分項に関して ∫sin(kωt)*cos(mωt)dt =∫(1/2)(sin((k+m)ωt)+sin((k-m)ωt))dt =(1/2)∫sin((k+m)ωt)dt+(1/2)∫sin((k-m)ωt)dt =0 またbk(k=1,∞)の積分項に関しても ∫cos(kωt)*cos(mωt)dt =∫(1/2)(cos((k-m)ωt)dt+cos((k+m)ωt))dt =(1/2)∫cos((k-m)ωt)dt+(1/2)∫cos((k-m)ωt)dt =0 (k≠m) =T/2 (k=m) であることから ∫y(t)*cos(nωt)dt=bn*(T/2) (n=1,∞) 従って bn=(2/T)∫y(t)*cos(nωt)dt (n=1,∞) ということになる。 数学の本で扱っているFourier級数の式や最近の電気理論の教科書で出てくるものも以下のようにb0に(1/2)の係数がついている y(t)=Σan*sin(nωt)+(1/2)b0+Σbn*cos(nωt) (n=1,∞) 昔は電気の世界ではb0の(1/2)の係数は無かったのだが、数学の世界で教えるのと違っているのはいろいろ不都合なので、今は同じにしているようだ。このことによってFourier係数はちょっとスマートになる an=(2/T)∫y(t)*sin(nωt)dt b0=(2/T)∫y(t)dt bn=(2/T)∫y(t)*cos(nωt)dt と係数がみな(2/T)と統一される。 従って y(t)=(1/2)b0+Σ(an*sin(nωt)+bn*cos(nωt)) an=(2/T)∫y(t)*sin(nωt)dt (n=1,∞) bn=(2/T)∫y(t)*cos(nωt)dt (n=0,∞) という風に表すことができる。こうすると複素形式のFourier級数の式も導きやすくなる。 |
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