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webadm | 投稿日時: 2009-8-14 9:45 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3084 |
【5】対称波のFourier係数 理論の時に天下り的に出てきた対称波のFourier係数の式を導けという問題。
対称波は半周期が残りの半周期を符合反転したものと同じ波形になるので y(t+T/2)=-y(t) が成り立つ。 従ってFourier級数展開は y(t)=(1/2)b0+Σ(an*sin(nωt)+bn*cos(nωt)) とすると b0=(2/T)∫y(t)dt =(2/T)∫y(t)dt (0≦t≦T/2) +(2/T)∫y(t+T/2) (T/2≦t≦T) =(2/T)∫y(t)dt-(2/T)∫y(t)dt =0 つまり平均値は0ということになる。 また以下が成り立つ必要がある -y(t)=-Σ(an*sin(nωt)+bn*cos(nωt)) =y(t+T/2) =Σ(an*sin(nω(t+T/2))+bn*cos(nω(t+T/2))) ここで T=2π/ω を代入すると -y(t)=-Σ(an*sin(nωt)+bn*cos(nωt)) =y(t+T/2) =Σ(an*sin(nωt+nπ)+bn*cos(nωt+nπ)) (n=1,∞) =Σ(an*sin(nωt)*(-1)^n+bn*cos(nωt)*(-1)^n) (n=1,∞) が成り立たなければならない。nが奇数の時のみ成り立つ。 すなわちnが偶数の場合にはan=bn=0とならなければならない。 従って an=(2/T)∫y(t)*sin(nωt)dt (0≦t≦T) =(2/T)∫y(t)*sin(nωt)dt+(2/T)∫y(t+T/2)*sin(nω(t+T/2))dt (0≦t≦T/2) =(2/T)∫y(t)*sin(nωt)dt-(2/T)∫y(t)*sin(nωt+nπ)dt =(2/T)∫y(t)*sin(nωt)dt-(2/T)∫y(t)*sin(nωt)*(-1)^ndt =(4/T)∫y(t)*sin(nωt)dt (n=1,3,5,... 0≦t≦T/2) ということになる。同様に bn=(2/T)∫y(t)*cos(nωt)dt (0≦t≦T) =(2/T)∫y(t)*cos(nωt)dt+(2/T)∫y(t+T/2)*cos(nω(t+T/2))dt (0≦t≦T/2) =(2/T)∫y(t)*cos(nωt)dt-(2/T)∫y(t)*cos(nωt+nπ)dt =(2/T)∫y(t)*cos(nωt)dt-(2/T)∫y(t)*cos(nωt)*(-1)^ndt =(4/T)∫y(t)*cos(nωt)dt (n=1,3,5,... 0≦t≦T/2) ということになる。 従って a(2m+1)=(4/T)∫y(t)*sin((2m+1)ωt)dt (m=0,1,2,... 0≦t≦T/2) b(2m+1)=(4/T)∫y(t)*cos((2m+1)ωt)dt (m=0,1,2,... 0≦t≦T/2) a(2m)=b(2m)=b0=0 (m=0,1,2,...) ということになる。 |
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