次ぎの問題は前問に関連するもので、基本波の30%の第二高調波と20%の第三高調波をもつ電圧がインダクタンスに加えられたときのインダクタンスの補正係数を求めよというもの。

電圧を式にすると

e=E1*sin(ωt)+(0.3*E1)*sin(2ωt)+(0.2*E1)*sin(3ωt)

ということになる。

電圧の実効値は

|E|=sqrt((1/T)∫e^2dt)
=sqrt((1/T)∫(E1*sin(ωt)+(0.3*E1)*sin(2ωt)+(0.2*E1)*sin(3ωt))^2dt)
=sqrt((1/T)∫(E1^2*sin(ωt)^2+(0.3*E1)^2*sin(2ωt)^2+(0.2*E1)^2*sin(3ωt)^2+E1*sin(ωt)*((0.3*E1)*sin(2ωt)+(0.2*E1)*sin(3ωt))+(0.3*E1)*sin(2ωt)*(E1*sin(ωt)+(0.2*E1)*sin(3ωt))+(0.2*E1)*sin(3ωt)*(E1*sin(ωt)+(0.3*E1)*sin(2ωt)))dt)
=sqrt((1/T)*(E1^2∫sin(ωt)^2dt+(0.3*E1)^2∫sin(2ωt)^2dt+(0.2*E1)^2∫sin(3ωt)^2dt)
=sqrt((1/T)*(E1^2∫(1/2-cos(2ωt)/2)dt+(0.3*E1)^2∫(1/2-cos(4ωt)/2)dt+(0.2*E1)^2∫(1/2-cos(6ωt)/2)dt))
=sqrt(E1^2/2+(0.3*E1)^2/2+(0.2*E1)^2/2)
=(1/√2)*sqrt(E1^2+(0.3*E1)^2+(0.2*E1)^2)
=(E1/√2)*sqrt(1+0.3^2+0.2^2)

電流の瞬時値は

i=(1/L)∫edt
=(1/L)∫(E1*sin(ωt)+(0.3*E1)*sin(2ωt)+(0.2*E1)*sin(3ωt))dt
=(1/L)*(E1∫sin(ωt)dt+(0.3*E1)∫sin(2ωt)dt+(0.2*E1)∫sin(3ωt)dt)
=(1/L)*(E1*(-cos(ωt)/ω)+(0.3*E1)*(-cos(2ωt)/2ω)+(0.2*E1)*(-cos(3ωt)/3ω))
=-(1/ωL)*(E1*cos(ωt)+(0.3*E1)*cos(2ωt)/2+(0.2*E1)*cos(3ωt)/3)

電流の実効値は

|I|=sqrt((1/T)∫i^2dt)
=sqrt((1/T)∫(-(1/ωL)*(E1*cos(ωt)+(0.3*E1)*cos(2ωt)/2+(0.2*E1)*cos(3ωt)/3))^2dt)
=(1/ωL)*sqrt((1/T)∫(E1^2*cos(ωt)^2+(0.3*E1)^2*cos(2ωt)^2/4+(0.2*E1)^2*cos(3ωt)^2/9+E1*cos(ωt)*((0.3*E1)*cos(2ωt)/2+(0.2*E1)*cos(3ωt)/3)+(0.3*E1/2)*cos(2ωt)*(E1*cos(ωt)+(0.2*E1)*cos(3ωt)/3)+(0.2*E1/3)*cos(3ωt)*(E1*cos(ωt)+(0.3*E1)*cos(2ωt)/2))dt)
=(1/ωL)*sqrt((1/T)*(E1^2∫cos(ωt)^2dt+(0.3*E1/2)^2∫cos(2ωt)^2dt+(0.2*E1/3)^2∫cos(3ωt)^2dt))
=(1/ωL)*sqrt((1/T)*(E1^2∫(1/2+sin(2ωt)/2)dt+(0.3*E1/2)^2∫(1/2+sin(4ωt)/2)dt+(0.2*E1/3)^2∫(1/2+sin(6ωt)/2)dt))
=(1/ωL)*sqrt(E1^2/2+(0.3*E1/2)^2/2+(0.2*E1/3)^2/2)
=(1/√2ωL)*sqrt(E1^2+(0.3*E1)^2/4+(0.2*E1)^2/9)
=(E1/√2ωL)*sqrt(1+0.3^2/4+0.2^2/9)

従ってLは

L=(E1/√2ω|I|)*sqrt(1+0.3^2/4+0.2^2/9)

分子と分母に電圧の実効値の式の左辺と右辺をそれぞれ乗じると

L=(E1*|E|/√2ω|I|)*sqrt(1+0.3^2/4+0.2^2/9)/((E1/√2)*sqrt(1+0.3^2+0.2^2))
=(|E|/ω|I|)*sqrt((1+0.3^2/4+0.2^2/9)/(1+0.3^2+0.2^2))
=(|E|/ω|I|)*sqrt((1+0.09/4+0.04/9)/(1+0.09+0.04))
=(|E|/ω|I|)*sqrt((1+0.0225+0.00444)/1.13)
=(|E|/ω|I|)*sqrt(1.027/1.13)
=(|E|/ω|I|)*0.953

ということになる。これは|E|/ω|I|で計算される見かけのインダクタンスよりも実際のインダクタンスは4.7%低いことを意味する。誤解を招かないようにすると、高調波になればなるほど電流が流れ難くなるので等価正弦波としての電圧実効値|E|と各周波数ωそれに電流実効値|I|から逆算した見かけ上のインダクタンスは実際のLよりも大きな値となるという意味である。

見かけ上のインダクタンスをL'とすると

L'=L/0.953
=1.049*L

従って実際のLよりも4.9%大きいように見えるということになる。


公式を丸暗記していれば何もいちいち瞬時値を二乗平均して実効値を導かなくても良いわけだが、いかんせんIQが低いのですぐ忘れてしまう。これだけ同じことを繰り返せばいい加減暗記してしまうかもしれない。大抵６回繰り返しやれば憶えてしまうものだ。