次ぎの問題は前問と似たようなキャパシタンスの補正係数に関するもの。

以下の電圧がキャパシタンスCに加えられる時にその電圧と電流の実効値を求め、それを用いてキャパシタンスCを表せというもの。

e=ΣEn*sin(nωt+θn)



まず電圧の実効値は

|E|=sqrt((1/T)∫e^2dt)
=sqrt((1/T)∫(ΣEn*sin(nωt+θn))dt)
=sqrt((1/T)∫(E1*sin(ωt+θ1)+E2*sin(2ωt+θ2)+...+En*sin(nωt+θn))dt)
=sqrt((1/T)∫(E1^2*sin(ωt+θ1)^2+E2^2*sin(2ωt+θ2)^2+...+En^2*sin(nωt+θn)^2+E1*sin(ωt+θ1)*(E2*sin(2ωt+θ2)+...+En*sin(nωt+θn))+E2*sin(2ωt+θ2)*(E1*sin(ωt+θ1)+E3*sin(3ωt+θ3)+...+En*sin(nωt+θn))+...)dt)
=sqrt((1/T)*(E1^2∫sin(ωt+θ1)^2dt+E2^2∫sin(2ωt+θ2)^2dt+...+En^2∫sin(nωt+θn)^2dt))
=sqrt((1/T)*(E1^2∫(1/2-cos(2ωt+2θ1)/2)dt+E2^2∫(1/2-cos(4ωt+2θ2)/2)dt+...+En^2∫(1/2-cos(2nωt+2θn)/2)dt))
=sqrt(E1^2/2+E2^2/2+...+En^2/2)
=(1/√2)*sqrt(E1^2+E2^2+...+En^2)

ということになる。

Cに流れる電流の瞬時値は

i=C*de/dt
=C*d(ΣEn*sin(nωt+θn))/dt
=C*d(E1*sin(ωt+θ1)+E2*sin(2ωt+θ2)+...+En*sin(nωt+θn))/dt
=C*(E1*ω*cos(ωt+θ1)+E2*2ω*cos(2ωt+θ2)+...+En*nω*cos(nωt+θn))
=ωC*(E1*cos(ωt+θ1)+2*E2*cos(2ωt+θ2)+...+n*En*cos(nωt+θn))

従って実効値は

|I|=sqrt((1/T)∫i^2dt)
=sqrt((1/T)∫ωC*(E1*cos(ωt+θ1)+2*E2*cos(2ωt+θ2)+...+n*En*cos(nωt+θn)))^2dt)
=ωC*sqrt((1/T)∫(E1^2*cos(ωt+θ1)^2+4*E2^2*cos(2ωt+θ2)^2+...+n^2*En^2*cos(nωt+θn)^2+E1*cos(ωt+θ1)*(E2*cos(2ωt+θ2)+...+En*cos(nωt+θn)+E2*cos(2ωt+θ2)*(E1*cos(ωt+θ1)+E3*cos(3ωt+θ3)+...+En*cos(nωt+θn))+...)dt)
=ωC*sqrt((1/T)*(E1^2∫cos(ωt+θ1)^2dt+4*E2^2∫cos(2ωt+θ2)^2dt+...+n^2*En^2∫cos(nωt+θn)^2dt))
=ωC*sqrt((1/T)*(E1^2∫(1/2+sin(2ωt+2θ1)/2)dt+4*E2^2∫(1/2+sin(4ωt+2θ)/2)dt+...+n^2*En^2∫(1/2+sin(2nωt+2θ2)/2)dt)
=ωC*sqrt((E1^2/2+4*E2^2/2+...+n^2*En^2/2)
=(ωC/√2)*sqrt(E1^2+4*E2^2+...+n^2*En^2)

ということになる。従ってCについて解くと

C=√2*|I|/(ω*sqrt(E1^2+4*E2^2+...+n^2*En^2))

分母と分子に電圧の実効値の式の左辺と右辺をそれぞれ乗じると

C=√2*|I|*(1/√2)*sqrt(E1^2+E2^2+...+En^2)/(ω*|E|*sqrt(E1^2+4*E2^2+...+n^2*En^2))
=(|I|/ω*|E|)*sqrt((E1^2+E2^2+...+En^2)/(E1^2+4*E2^2+...+n^2*En^2))

ということになる。ここで(|I|/ω*|E|)が電圧と電流の実効値と等価正弦波の各周波数から計算される見かけ上のキャパシタンスで残りがキャパシタンスの補正係数である。

著者の解は依然として基本波と高調波の実効値の記号と瞬時値の最大値の記号に同じEnを用いていて紛らわしい。本来は

e=ΣEmn*sin(nωt+θn)

として

|En|=Emn/√2

とすべきところだろう。