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投稿者 スレッド
webadm
投稿日時: 2009-8-31 12:27
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3068
【31】RLC混成回路とひずみ波の電流と電力
次ぎの問題は少し複雑な回路に以下のひずみ波電圧を加えた場合に各部を流れる電流と全体の電力を求めよというもの。

e=Em*(sin(ωt)+h*sin(3ωt))



以前の問題と同様に線形回路の重ね合わせによって求めることができそうである。

最初にRLC混成回路の基本波、高調波それぞれに対するインピーダンスを求める。

Z1=jωL+1/(1/R+jωC)
=jωL+(1/R-jωC)/((1/R)^2+(ωC)^2)
=(1/R)/((1/R)^2+(ωC)^2)+j(ωL-ωC/((1/R)^2+(ωC)^2))
=R/(1+(ωCR)^2)+jω(L-CR^2/(1+(ωCR)^2))

|Z1|=sqrt(R^2/(1+(ωCR)^2)^2+ω^2(L-CR^2/(1+(ωCR)^2))^2)

Z3=3jωL+1/(1/R+3jωC)
=3jωL+(1/R-3jωC)/((1/R)^2+(3ωC)^2)
=(1/R)/((1/R)^2+(3ωC)^2)+3j(ωL-ωC/((1/R)^2+(3ωC)^2))
=R/(1+(3ωCR)^2)+3jω(L-CR^2/(1+(3ωCR)^2))

|Z3|=sqrt(R^2/(1+(3ωCR)^2)^2+(3ω)^2(L-CR^2/(1+(3ωCR)^2))^2)

従って全体を流れる電流の実効値は基本波と高調波のそれぞれの電流の実効値から

|I|=sqrt(|I1|^2+|I3|^2)
=sqrt(((Em/√2)/|Z1|)^2+((Em*h/√2)/|Z3|)^2)
=sqrt((Em/√2)^2/(R^2/(1+(ωCR)^2)^2+ω^2(L-CR^2/(1+(ωCR)^2))^2)+(Em*h/√2)^2/(R^2/(1+(3ωCR)^2)^2+(3ω)^2(L-CR^2/(1+(3ωCR)^2))^2))
=(Em/√2)*sqrt(1/(R^2/(1+(ωCR)^2)^2+ω^2(L-CR^2/(1+(ωCR)^2))^2)+h^2/(R^2/(1+(3ωCR)^2)^2+(3ω)^2(L-CR^2/(1+(3ωCR)^2))^2))

ということになる。これはLに流れる電流の実効値でもある。

RとCに流れる電流は基本波、高調波それぞれに関してそれぞれ以下の関係が成り立つ

I1=IR1+IC1

IR1*R=IC1*(1/jωC)

これをIR1とIC1に関する2元連立方程式として解くと

(%i57) e1:I1=IR1+IC1;
(%o57) I1=IR1+IC1
(%i58) e2:IR1*R=IC1*(1/(%i*o*C));
(%o58) IR1*R=-(%i*IC1)/(o*C)
(%i59) solve([e1,e2],[IR1,IC1]);
(%o59) [[IR1=-(%i*I1)/(o*C*R-%i),IC1=(o*C*I1*R)/(o*C*R-%i)]]

IR1=-jI1/(ωCR-j)
=I1/(1+jωCR)

IC1=ωCR*I1/(ωCR-j)
=jωCR*I1/(1+jωCR)

従ってそれぞれの実効値は

|IR1|=|I1|/sqrt(1+(ωCR)^2)
=(Em/√2)/sqrt(R^2/(1+(ωCR)^2)^2+ω^2(L-CR^2/(1+(ωCR)^2))^2))*sqrt(1+(ωCR)^2)

|IC1|=|I1|*ωCR/sqrt(1+(ωCR)^2)
=(Em/√2)*ωCR/sqrt(R^2/(1+(ωCR)^2)^2+ω^2(L-CR^2/(1+(ωCR)^2))^2))*sqrt(1+(ωCR)^2)

同様に高調波についても

|IR3|=|I3|/sqrt(1+(3ωCR)^2)
=(Em*h/√2)/sqrt(R^2/(1+(3ωCR)^2)^2+(3ω)^2(L-CR^2/(1+(3ωCR)^2))^2))*sqrt(1+(3ωCR)^2)

|IC3|=|I3|*3ωCR/sqrt(1+(3ωCR)^2)
=(Em*h/√2)*3ωCR/sqrt(R^2/(1+(3ωCR)^2)^2+(3ω)^2(L-CR^2/(1+(3ωCR)^2))^2))*sqrt(1+(3ωCR)^2)

従ってRとCを流れる電流の実効値はそれぞれ

|IR|=sqrt(|IR1|^2+|IR3|^2)
=sqrt(((Em/√2)/sqrt(R^2/(1+(ωCR)^2)^2+ω^2(L-CR^2/(1+(ωCR)^2))^2))*sqrt(1+(ωCR)^2))^2+((Em*h/√2)/sqrt(R^2/(1+(3ωCR)^2)^2+(3ω)^2(L-CR^2/(1+(3ωCR)^2))^2))*sqrt(1+(3ωCR)^2)
)^2)
=(Em/√2)*sqrt((1/(R^2/(1+(ωCR)^2)^2+ω^2/(L-CR^2/(1+(ωCR)^2))^2)*(1+(ωCR)^2)+h^2/(R^2/(1+(3ωCR)^2)^2+(3ω)^2(L-CR^2/(1+(3ωCR)^2))^2)*(1+(3ωCR)^2))

|IC|=sqrt(|IC1|^2+|IC3|^2)
=sqrt(((Em/√2)*ωCR/sqrt(R^2/(1+(ωCR)^2)^2+ω^2(L-CR^2/(1+(ωCR)^2))^2))*sqrt(1+(ωCR)^2))^2+((Em*h/√2)*3ωCR/sqrt(R^2/(1+(3ωCR)^2)^2+(3ω)^2(L-CR^2/(1+(3ωCR)^2))^2))*sqrt(1+(3ωCR)^2))^2)
=(Em/√2)*sqrt((ωCR)^2/(R^2/(1+(ωCR)^2)^2+ω^2(L-CR^2/(1+(ωCR)^2))^2)*(1+(ωCR)^2)+h^2*(3ωCR)^2/(R^2/(1+(3ωCR)^2)^2+(3ω)^2(L-CR^2/(1+(3ωCR)^2))^2)*(1+(3ωCR)^2))

ということになる。

一方消費電力は

Pa=|E1||I1|cosφ1+|E3||I3|cosφ3
=(Em/√2)*((Em/√2)/|Z1|)*Real(Z1)/|Z1|+(Em*h/√2)*((Em*h/√2)/|Z3|)*Real(Z3)/|Z3|
=(Em^2/2)*(Real(Z1)/|Z1|^2+h^2*Real(Z3)/|Z3|^2)
=(Em^2/2)*((R/(1+(ωCR)^2))/(R^2/(1+(ωCR)^2)^2+ω^2(L-CR^2/(1+(ωCR)^2))^2)+h^2*(R/(1+(3ωCR)^2))/(R^2/(1+(3ωCR)^2)^2+(3ω)^2(L-CR^2/(1+(3ωCR)^2))^2))
=(Em^2/2)*(R/(1+(ωCR)^2)*(R^2/(1+(ωCR)^2)^2+ω^2(L-CR^2/(1+(ωCR)^2))^2)+h^2*R/(1+(3ωCR)^2)*(R^2/(1+(3ωCR)^2)^2+(3ω)^2(L-CR^2/(1+(3ωCR)^2))^2))
=(Em^2*R/2)*(1/(1+(ωCR)^2)*(R^2/(1+(ωCR)^2)^2+ω^2(L-CR^2/(1+(ωCR)^2))^2)+h^2/(1+(3ωCR)^2)*(R^2/(1+(ωCR)^2)^2+(3ω)^2/(L-CR^2/(1+(3ωCR)^2))^2))

ということになる。

著者の解では、基本波と高調波に対する合成インピーダンスの等価抵抗と等価リアクタンスをR1,X1,R3,X3と置いて

R1=R/(1+(ωCR)^2)
X1=ω(L-CR^2/(1+(ωCR)^2))
R3=R/(1+(3ωCR)^2)
X3=3ω(L-CR^2/(1+(3ωCR)^2))

|I|=|IL|=(Em/√2)*sqrt(1/(R^2/(1+(ωCR)^2)^2+ω^2(L-CR^2/(1+(ωCR)^2))^2)+h^2/(R^2/(1+(3ωCR)^2)^2+(3ω)^2(L-CR^2/(1+(3ωCR)^2))^2))
=(Em/√2)/sqrt(1/(R1^2+X1^2)+h^2/(R3^2+X3^2))

|IR|=(Em/√2)*sqrt((1/(R^2/(1+(ωCR)^2)^2+ω^2/(L-CR^2/(1+(ωCR)^2))^2)*(1+(ωCR)^2)+h^2/(R^2/(1+(3ωCR)^2)^2+(3ω)^2(L-CR^2/(1+(3ωCR)^2))^2)*(1+(3ωCR)^2))
=(Em/√2)*sqrt(1/(R1^2+X1^2)*(1+(ωCR)^2)+h^2/(R3^2+X3^2)*(1+(3ωCR)^2))

|IC|=(Em/√2)*sqrt((ωCR)^2/(R^2/(1+(ωCR)^2)^2+ω^2(L-CR^2/(1+(ωCR)^2))^2)*(1+(ωCR)^2)+h^2*(3ωCR)^2/(R^2/(1+(3ωCR)^2)^2+(3ω)^2(L-CR^2/(1+(3ωCR)^2))^2)*(1+(3ωCR)^2))
=(Em/√2)*sqrt((ωCR)^2/(R1^2+X1^2)*(1+(ωCR)^2)+h^2*(3ωCR)^2/(R3^2+X3^2)*(1+(3ωCR)^2))

Pa=(Em^2*R/2)*(1/(1+(ωCR)^2)*(R^2/(1+(ωCR)^2)^2+ω^2(L-CR^2/(1+(ωCR)^2))^2)+h^2/(1+(3ωCR)^2)*(R^2/(1+(ωCR)^2)^2+(3ω)^2/(L-CR^2/(1+(3ωCR)^2))^2))
=(Em^2*R/2)*(1/(1+(ωCR)^2)*(R1^2+X1^2)+h^2/(1+(3ωCR)^2)*(R3^2+X3^2))

と簡略化している。

また著者はRとCに流れる電流を求める際に分流則を用いているが、すっかり分流則など忘れてしまったのでこちらの解では回路方程式から同じ結果を導きだしている。分流則を忘れてしまってもキルヒホッフの法則を憶えてさえいれば問題ない。
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