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webadm | 投稿日時: 2009-10-1 22:01 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3082 |
【71】三角パルスによるデルタ関数の近似 次ぎの問題は前問の応用で、三角パルスによってデルタ関数のFourier変換がF(ω)=1になることを導けというもの。
前問の三角パルスの合成積のFourier変換式 F(ω)=4*sin(ωT/2)^2/Tω^2 これは以下のように書き直すことができる F(ω)=4*sin(ωT/2)^2/Tω^2 =T*sin(ωT/2)^2/(ωT/2)^2 これに1/Tを乗じると F'(ω)=(1/T)F(ω) =sin(ωT/2)^2/(ωT/2)^2 =(sin(ωT/2)/(ωT/2))^2 =sinc(ωT/2)^2 従ってT→0とした場合の極限値を求めると lim F'(ω) (T→0) =lim sinc(ωT/2)^2 (T→0) =(lim sinc(ωT/2))^2 =(lim sin(ωT/2)/(ωT/2))^2 =(lim (sin(ωT/2))'/(ωT/2)')^2 =(lim (ω*cos(ωT/2)/2)/(ω/2))^2 =((ω*cos(0)/2)/(ω/2))^2 =((ω/2)/(ω/2))^2 =(1)^2 =1 従って lim F'(ω) (T→0) =1 ということになりデルタ関数のFourier変換となることが確認できた。 これはT→0にするとスペクトルの裾野が無限大に広がって直線になるということを意味する。同時に元の三角パルスはt=0で+∞を取りそれ以外では0に収束するデルタ関数を近似する。 デルタ関数を近似する関数はいくつもあり、面積が1になるような高さが1/Tで幅がTの方形パルスもT→0にするとデルタ関数を近似する。当然ながらそれらの合成積もデルタ関数であるということもわかる。 |
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