次ぎは理想低域フィルタのインパルス応答を求めよというもの。

理想低域フィルタというのは以下の様に周波数領域でカットオフ周波数より低い周波数のみを通過させそのはそれ以外は遮断するというもの。



題意では周波数領域の伝達関数が以下のように与えられている

H(f)=exp(-j2πf*t0) |f|<B/2
=0 |f|>B/2

周波数領域の伝達関数は入力にインパルス信号を与えた際に出力されるインパルス応答波形をFourier変換したものであるというのを思い出せば、それを逆Fourier変換すれば元のインパルス応答波形を得ることができるはずである。

普通に逆Fourier変換をすればいいのだが、著者の解と違った方法でやってみよう。

H(f)の式を各周波数の式に書き直すと

H(ω)=exp(-jω*t0) |ω|<W/2
=0 |ω|>W/2

ここで

W=2πB/2
=πB

ここでH(ω)は以下の２つのFourier変換の合成として表すことができる

H(ω)=F(ω)*exp(-jω*t0)

F(ω)=1 |ω|<W/2
=0 |ω|>W/2

と書き換えることができる。

これはF(ω)の逆Fourier変換であるf(t)を時間軸上で右方向にt0だけ推移させたもののFourier変換の形である。

F(ω)の逆Fourier変換は

f(t)=(1/2π)∫F(ω)*exp(jωt)dω
=(1/2π)(∫exp(jωt)dω (ω=0,W)
+∫exp(jωt)dω) (ω=-W,0)
=(1/2π)((1/jt)exp(jWt)-(1/jt)exp(0)
+(1/jt)exp(0)-(1/jt)exp(-jWt))
=(1/2π)((1/jt)exp(jWt)-(1/jt)exp(-jWt))
=sin(Wt)/πt
=sin(πBt)/πt
=B*sin(πBt)/πBt
=B*sinc(πBt)

ということになる。

従って求めるインパルス応答は

h(t)=B*sinc(πB(t-t0))
=B*sin(πB(t-t0))/πB(t-t0)

ということになる。

B=1, t0=1と置いてプロットしてみると

wxplot2d([sin(%pi*(t-1))/(%pi*(t-1))], [t,-5,5])$



t=t0以前の無限に過去から既に出力が変化していることが見てとれる。入力信号はt=t0でインパルス信号が入るので、それ以前には入力信号は0のはずなので出力が変化するのは矛盾する。これは理想低域フィルタが因果律を満足しないため現実の回路では実現できないと言われる所以である。

ある入力事象が発生する以前には予めその予兆が異次元であるとすればそれが出力に出てくると考えられないこともない。しかしそれはローマカトリックが教えるようにマリアが天使が現れてキリストの受胎を告知した夢を見たという逸話のようなものである。そう考えれと、ある重大な意味を持つ事象は予め計画されていたという意味を持ち、誰がそれを計画したのかという疑問を生み、最終的には三位一体の理論に帰着することになる。自然哲学的には、宇宙はいつ現れたのか？突然現れたとしたら予めそうなる理由があってしかるべきではないかという考えが出てくるのは当然である。この問題は今日なお答えが得られていない。数学や工学理論が今日無味乾燥なものになったのは自然哲学が排除されてしまったためではないかと思われる。今こそ自然哲学と数学や工学を融合して再構成する時かもしれない。そうすれば学ぶのが面白くなる。

著者も珍しく解説に熱を入れているように問題では振幅特性と位相特性を勝手に定義して与えているが、実際の回路やシステムではその２つには依存関係があり、一方を変えると他方も影響を受けて変わってしまうので好きに決めることができないのである。たとえば一定の周波数範囲だけ位相も振幅も変えずに通過させる理想的なバンドパスフィルターなどというのは実現できない。しかし数式上では自由に与えることができるので後の問題で出てくる有名なナイキスト-シャノンのサンプリング定理はそうした理想低域フィルターを利用している。シャノンは連続時間系信号をナイキスト周波数でサンプルした離散時間信号列を理想低域フィルターを通すことによって元の連続時間系信号を復元することができることを数学的に証明した。日本人の染谷氏も同じ頃にまったく独自に同じ理論を本に書いたが大戦中のために知られることはなかった。