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webadm
投稿日時: 2010-4-19 2:30
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3068
【16】リアクタンス回路の合成
次ぎはお待ちかね(誰も待ってないって)リアクタンス回路の合成問題。

以下のリアクタンス関数からFoster展開とCauer展開でそれぞれ2種類ずつ回路を合成せよというもの。

Z_1(s)=\frac{\left(s^2+1\right)\left(s^2+9\right)}{s\left(s^2+4\right)}

Foster展開はインピーダンスの総和へ部分分数展開する形とアドミッタンスの総和へ部分分数展開する形の2種類に合成できる。まずはインピーダンスの総和に部分分数展開してみよう。

\begin{eqnarray}<br />Z_1(s)&=&\frac{K_0}{s}+\frac{K_1 s}{s^2+4}+K_\infty s\\<br />&=&\frac{1}{C_0 s}+\frac{1}{C_1 s+\frac{1}{L_1 s}}+L_\infty s\\<br />C_0&=&\frac{1}{K_0}=\frac{4}{9}\,[F]\\<br />C_1&=&\frac{1}{K_1}=\frac{4}{15}\,[H]\\<br />L_1&=&\frac{K_1}{4}=\frac{15}{16}\,[H]\\<br />L_\infty&=&K_\infty=1\,[H]\\<br />K_0&=&\lim_{s^2\to0}sZ_1(s)=\left.\frac{\left(s^2+1\right)\left(s^2+9\right)}{\left(s^2+4\right)}\right|_{s^2=0}\\<br />&=&\frac{9}{4}\\<br />K_1&=&\lim_{s^2\to-4}\frac{\left(s^2+4\right)Z_1(s)}{s}=\left.\frac{\left(s^2+1\right)\left(s^2+9\right)}{s^2}\right|_{s^2=-4}\\<br />&=&\frac{\left(-4+1\right)\left(-4+9\right)}{-4}\\<br />&=&\frac{15}{4}\\<br />K_\infty&=&\lim_{s^2\to\infty}\frac{Z_1(s)}{s}=\left.\frac{\left(s^2+1\right)\left(s^2+9\right)}{s^2\left(s^2+4\right)}\right|_{s^2=\infty}\\<br />&=&\left.\frac{\left(1+\frac{1}{s^2}\right)\left(1+\frac{9}{s^2}\right)}{\left(1+\frac{4}{s^2}\right)}\right|_{s^2=\infty}\\<br />&=&1<br />\end{eqnarray}

回路図を描くと



同様にアドミッタンスの総和へ部分分数展開すると

\begin{eqnarray}<br />Y_1(s)&=&\frac{1}{Z_1(s)}=\frac{s\left(s^2+4\right)}{\left(s^2+1\right)\left(s^2+9\right)}\\<br />&=&\frac{K_1 s}{s^2+1}+\frac{K_2 s}{s^2+9}\\<br />&=&\frac{1}{L_1 s+\frac{1}{C_1 s}}+\frac{1}{L_2 s+\frac{1}{C_2 s}}\\<br />L_1&=&\frac{1}{K_1}=\frac{8}{3}\,[H]\\<br />C_1&=&K_1=\frac{3}{8}\,[F]\\<br />L_2&=&\frac{1}{K_2}=\frac{8}{5}\,[H]\\<br />C_2&=&\frac{K_2}{9}=\frac{5}{72}\,[F]\\<br />K_1&=&\lim_{s^2\to-1}\frac{\left(s^2+1\right)Y_1(s)}{s}\\<br />&=&\left.\frac{s^2+4}{s^2+9}\right|_{s^2=-1}\\<br />&=&\frac{-1+4}{-1+9}\\<br />&=&\frac{3}{8}\\<br />K_2&=&\lim_{s^2\to-9}\frac{\left(s^2+9\right)Y_1(s)}{s}\\<br />&=&\left.\frac{s^2+4}{s^2+1}\right|_{s^2=-9}\\<br />&=&\frac{-9+4}{-9+1}\\<br />&=&\frac{5}{8}<br />\end{eqnarray}

回路図を描くと



今度はCauer展開。Cauer展開は次数の最も大きな項から割り出すのと次数の最も小さい項から割り出す2通りの形がある。まず次数の大きな項から割り出してみよう。

\begin{eqnarray}<br />Z_1(s)&=&\frac{\left(s^2+1\right)\left(s^2+9\right)}{s\left(s^2+4\right)}\\<br />&=&\frac{s^4+10s^2+9}{s^3+4s}\\<br />&=&s+\frac{6s^2+9}{s^3+4s}\\<br />&=&s+\frac{1}{\Large\frac{1}{6}s+\frac{\left(4-\frac{9}{6}\right)s}{6s^2+9}}\\<br />&=&s+\frac{1}{\Large\frac{1}{6}s+\frac{1}{\frac{12}{5}s+\frac{1}{\frac{5}{18}s}}}\\<br />&=&L_1 s+\frac{1}{\Large C_2 s+\frac{1}{L_3 s+\frac{1}{C_4 s}}}\\<br />L_1&=&1\,[H]\\<br />C_2&=&\frac{1}{6}\,[F]\\<br />L_3&=&\frac{12}{5}\,[H]\\<br />C_4&=&\frac{5}{18}\,[F]\\<br />\end{eqnarray}

回路図を描くと



今度は次数の最も少ない項から割り出すと

\begin{eqnarray}<br />Z_1(s)&=&\frac{\left(s^2+1\right)\left(s^2+9\right)}{s\left(s^2+4\right)}\\<br />&=&\frac{s^4+10s^2+9}{s^3+4s}\\<br />&=&\frac{9p^4+10p^2+1}{4p^3+p}\\<br />&=&\frac{9}{4}p+\frac{\left(10-\frac{9}{4}\right)p^2+1}{4p^3+p}\\<br />&=&\frac{9}{4}p+\frac{1}{\Large\frac{16}{31}p+\frac{\left(1-\frac{16}{31}\right)p}{\frac{31}{4}p^2+1}}\\<br />&=&\frac{9}{4}p+\frac{1}{\Large\frac{16}{31}p+\frac{1}{\frac{961}{60}p+\frac{31}{15p}}}\\<br />&=&\frac{9}{4s}+\frac{1}{\Large\frac{16}{31s}+\frac{1}{\frac{961}{60s}+\frac{31}{15}s}}\\<br />&=&\frac{1}{C_1 s}+\frac{1}{\Large\frac{1}{L_2 s}+\frac{1}{\frac{1}{C_3 s}+L_4 s}}\\<br />C_1&=&\frac{4}{9}\,[F]\\<br />L_2&=&\frac{31}{16}\,[H]\\<br />C_3&=&\frac{60}{961}\,[F]\\<br />L_4&=&\frac{31}{15}\,[H]\\<br />p&=&s^{-1}<br />\end{eqnarray}

回路図を描くと



Z_2(s)=\frac{\left(s^2+2\right)\left(s^2+6\right)}{s\left(s^2+4\right)}

インピーダンスの総和に部分分数展開してみよう。

\begin{eqnarray}<br />Z_2(s)&=&\frac{\left(s^2+2\right)\left(s^2+6\right)}{s\left(s^2+4\right)}\\<br />&=&\frac{K_0}{s}+\frac{K_1 s}{s^2+4}+K_\infty s\\<br />&=&\frac{1}{C_0 s}+\frac{1}{C_1 s+\frac{1}{L_1 s}}+L_\infty s\\<br />C_0&=&\frac{1}{K_0}=\frac{1}{3}\,[F]\\<br />C_1&=&\frac{1}{K_1}=1\,[F]\\<br />L_1&=&\frac{K_1}{4}=\frac{1}{4}\,[H]\\<br />L_\infty&=&K_\infty=1\,[H]\\<br />K_0&=&\lim_{s^2\to0}sZ_2(s)=\left.\frac{\left(s^2+2\right)\left(s^2+6\right)}{\left(s^2+4\right)}\right|_{s^2=0}\\<br />&=&3\\<br />K_1&=&\lim_{s^2\to-4}\frac{\left(s^2+4\right)Z_2(s)}{s}=\left.\frac{\left(s^2+2\right)\left(s^2+6\right)}{s^2}\right|_{s^2=-4}\\<br />&=&\frac{\left(-4+2\right)\left(-4+6\right)}{-4}\\<br />&=&1\\<br />K_\infty&=&\lim_{s^2\to\infty}\frac{Z_2(s)}{s}=\left.\frac{\left(s^2+2\right)\left(s^2+6\right)}{s^2\left(s^2+4\right)}\right|_{s^2=\infty}\\<br />&=&\left.\frac{\left(1+\frac{2}{s^2}\right)\left(1+\frac{6}{s^2}\right)}{1+\frac{4}{s^2}}\right|_{s^2=\infty}\\<br />&=&1<br />\end{eqnarray}

回路図を描くと



同様にアドミッタンスの総和へ部分分数展開すると

\begin{eqnarray}<br />Y_2(s)&=&\frac{1}{Z_2(s)}=\frac{s\left(s^2+4\right)}{\left(s^2+2\right)\left(s^2+6\right)}\\<br />&=&\frac{K_1 s}{s^2+2}+\frac{K_2 s}{s^2+6}\\<br />&=&\frac{1}{C_1 s+\frac{1}{L_1 s}}+\frac{1}{C_2 s+\frac{1}{L_2 s}}\\<br />C_1&=&\frac{1}{K_1}=2\,[F]\\<br />L_1&=&\frac{K_1}{2}=\frac{1}{4}\,[H]\\<br />C_2&=&\frac{1}{K_2}=2\,[F]\\<br />L_2&=&\frac{K_2}{6}=\frac{1}{12}\,[H]\\<br />K_1&=&\lim_{s^2\to-2}\frac{\left(s^2+2\right)Y_2(s)}{s}\\<br />&=&\left.\frac{s^2+4}{s^2+6}\right|_{s^2=-2}\\<br />&=&\frac{-2+4}{-2+6}\\<br />&=&\frac{1}{2}\\<br />K_2&=&\lim_{s^2\to-6}\frac{\left(s^2+6\right)Y_2(s)}{s}\\<br />&=&\left.\frac{s^2+4}{s^2+2}\right|_{s^2=-6}\\<br />&=&\frac{-6+4}{-6+2}\\<br />&=&\frac{1}{2}\\<br />\end{eqnarray}

回路図を描くと



今度はCauer展開。まず次数の大きな項から割り出してみよう。

\begin{eqnarray}<br />Z_1(s)&=&\frac{\left(s^2+2\right)\left(s^2+6\right)}{s\left(s^2+4\right)}\\<br />&=&\frac{s^4+8s^2+12}{s^3+4s}\\<br />&=&s+\frac{4s^2+12}{s^3+4s}\\<br />&=&s+\frac{1}{\Large\frac{1}{4}s+\frac{\left(4-\frac{12}{4}\right)s}{4s^2+12}}\\<br />&=&s+\frac{1}{\Large\frac{1}{4}s+\frac{1}{4s+\frac{12}{s}}}\\<br />&=&L_1 s+\frac{1}{\Large C_2 s+\frac{1}{L_3 s+\frac{1}{C_4 s}}}\\<br />L_1&=&1\,[H]\\<br />C_2&=&\frac{1}{4}\,[F]\\<br />L_3&=&4\,[H]\\<br />C_4&=&\frac{1}{12}\,[F]<br />\end{eqnarray}

回路図を描くと



今度は次数の最も少ない項から割り出すと

\begin{eqnarray}<br />Z_1(s)&=&\frac{\left(s^2+2\right)\left(s^2+6\right)}{s\left(s^2+4\right)}\\<br />&=&\frac{s^4+8s^2+12}{s^3+4s}\\<br />&=&\frac{12p^4+8p^2+1}{4p^3+p}\\<br />&=&3p+\frac{5p^2+1}{4p^3+p}\\<br />&=&3p+\frac{1}{\Large\frac{4}{5}p+\frac{\left(1-\frac{4}{5}\right)p}{5p^2+1}}\\<br />&=&3p+\frac{1}{\Large\frac{4}{5}p+\frac{1}{25p+\frac{5}{p}}}\\<br />&=&\frac{3}{s}+\frac{1}{\Large\frac{4}{5s}+\frac{1}{\frac{25}{s}+5s}}\\<br />&=&\frac{1}{C_1 s}+\frac{1}{\Large\frac{1}{L_2 s}+\frac{1}{\frac{1}{C_3 s}+L_4 s}}\\<br />C_1&=&\frac{1}{3}\,[F]\\<br />L_2&=&\frac{5}{4}\,[H]\\<br />C_3&=&\frac{1}{25}\,[F]\\<br />L_4&=&5\,[H]\\<br />p&=&s^{-1}<br />\end{eqnarray}

回路図を描くと




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題名 投稿者 日時
   一端子対回路:演習問題 webadm 2009-12-28 23:05
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