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webadm	投稿日時: 2010-4-19 10:09
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3084	【17】続：リアクタンス回路の合成ここからしばらくリアクタンス回路の合成問題が続く。次ぎの問題は与えられた周波数特性を満足するリアクタンス一端子対回路を（１）並列共振回路の直列接続（第一Foster展開）（２）直列共振回路の並列接続（第二Foster展開）（３）はしご形かいろ（Cauer展開）で合成せよというもの。与えられる周波数特性は H(スケーリングファクタ）は0.2 共振角周波数ω1=1000[rad/sec]、ω3=3000[rad/sec] 反共振角周波数ω2=2000[rad/sec] とする。問題文にはスケーリングファクタの単位が[H]とか誤って記載されているが、スケーリングファクタは無次元なので単位などないので明らかに著者の誤記。周波数特性で重要となるω=0と∞が零点なのか極なのかが与えられていないが、与えられた零点と極の関係から 0＜ω1＜ω2＜ω3＜∞ となるので、リアクタンス関数は零点と極が交互に位置しているのでω1とω3が零点でω2が極であるのでω=0とω=∞は極であることは自明。となるとすべての特異点が明らかになり、スケーリングファクタも与えられているのでリアクタンス関数は以下の通りとなる。 $\begin{eqnarray}<br />Z(s)&=&H\frac{\left(s^2+{\omega_1}^2\right)\left(s^2+{\omega_3}^2\right)}{s\left(s^2+{\omega_2}^2\right)}\\<br />&=&0.2\frac{\left(s^2+1000^2\right)\left(s^2+3000^2\right)}{s\left(s^2+2000^2\right)}<br />\end{eqnarray}$ リアクタンス関数が定まれば回路合成が出来るので。第一Foster展開をすると $\begin{eqnarray}<br />Z(s)&=&0.2\frac{\left(s^2+1000^2\right)\left(s^2+3000^2\right)}{s\left(s^2+2000^2\right)}\\<br />&=&\frac{H_0}{s}+\frac{H_1 s}{s^2+2000^2}+H_\infty s\\<br />&=&\frac{1}{C_0 s}+\frac{1}{C_1 s+\frac{1}{L_1 s}}+L_\infty s\\<br />C_0&=&\frac{1}{H_0}=\frac{1}{450000}=2.22\,[\mu F]\\<br />C_1&=&\frac{1}{H_1}=\frac{1}{750000}=1.33\,[\mu H]\\<br />L_1&=&\frac{H_1}{2000^2}=\frac{750000}{2000^2}=187.5\,[mH]\\<br />L_\infty&=&H_\infty=0.2\,[H]\\<br />H_0&=&\lim_{s^2\to0}sZ(s)=\left.0.2\frac{\left(s^2+1000^2\right)\left(s^2+3000^2\right)}{\left(s^2+2000^2\right)}\right\|_{s^2=0}\\<br />&=&0.2\frac{\left(1000^2\right)\left(3000^2\right)}{\left(2000^2\right)}\\<br />&=&450000\\<br />H_1&=&\lim_{s^2\to-2000^2}\frac{\left(s^2+2000^2\right)Z(s)}{s}=\left.0.2\frac{\left(s^2+1000^2\right)\left(s^2+3000^2\right)}{s^2}\right\|_{s^2=-2000^2}\\<br />&=&0.2\frac{\left(-2000^2+1000^2\right)\left(-2000^2+3000^2\right)}{-2000^2}\\<br />&=&750000\\<br />H_\infty&=&\lim_{s^2\to\infty}\frac{Z(s)}{s}=\left.0.2\frac{\left(s^2+1000^2\right)\left(s^2+3000^2\right)}{s^2\left(s^2+2000^2\right)}\right\|_{s^2=\infty}\\<br />&=&\left.0.2\frac{\left(1+\frac{1000^2}{s^2}\right)\left(1+\frac{3000^2}{s^2}\right)}{\left(1+\frac{2000^2}{s^2}\right)}\right\|_{s^2=\infty}\\<br />&=&0.2<br />\end{eqnarray}$ 回路図で表すと次ぎに第二Foster展開はアドミッタンスの総和に部分分数展開すればよいので $\begin{eqnarray}<br />Y(s)&=&\frac{1}{Z(s)}=\frac{s\left(s^2+2000^2\right)}{0.2\left(s^2+1000^2\right)\left(s^2+3000^2\right)}\\<br />&=&\frac{H_1 s}{s^2+1000^2}+\frac{H_2 s}{s^2+3000^2}\\<br />&=&\frac{1}{L_1 s+\frac{1}{C_1 s}}+\frac{1}{L_2 s+\frac{1}{C_2 s}}\\<br />L_1&=&\frac{1}{H_1}=\frac{1}{1.875}=533.3\,[mH]\\<br />C_1&=&\frac{H_1}{1000^2}=\frac{1.875}{1000^2}=1.875\,[\mu F]\\<br />L_2&=&\frac{1}{H_2}=\frac{1}{3.125}=320\,[mH]\\<br />C_2&=&\frac{H_2}{3000^2}=\frac{3.125}{3000^2}=0.3472\,[\mu F]\\<br />H_1&=&\lim_{s^2\to-1000^2}\frac{\left(s^2+1000^2\right)Y(s)}{s}=\left.\frac{\left(s^2+2000^2\right)}{0.2\left(s^2+3000^2\right)}\right\|_{s^2=-1000^2}\\<br />&=&\frac{\left(-1000^2+2000^2\right)}{0.2\left(-1000^2+3000^2\right)}\\<br />&=&1.875\\<br />H_2&=&\lim_{s^2\to-3000^2}\frac{\left(s^2+3000^2\right)Y(s)}{s}=\left.\frac{\left(s^2+2000^2\right)}{0.2\left(s^2+1000^2\right)}\right\|_{s^2=-3000^2}\\<br />&=&\frac{\left(-3000^2+2000^2\right)}{0.2\left(-3000^2+1000^2\right)}\\<br />&=&3.125<br />\end{eqnarray}$ 回路図で表すと最後にCauer展開。へそ曲がりで別解の第二Cauer展開でやってみよう。 $\begin{eqnarray}<br />Z(s)&=&0.2\frac{\left(s^2+1000^2\right)\left(s^2+3000^2\right)}{s\left(s^2+2000^2\right)}\\<br />&=&\frac{0.2s^4+0.2\left(1000^2+3000^2\right)s^2+0.2\left(1000^2\right)\left(3000^2\right)}{s^3+200^2s}\\<br />&=&\frac{0.2\left(1000^2\right)\left(3000^2\right)p^4+0.2\left(1000^2+3000^2\right)p^2+0.2}{2000^2p^3+p}\\<br />&=&\frac{0.2\left(1000^2\right)\left(3000^2\right)}{2000^2}p+\frac{\left(0.2\left(1000^2+3000^2\right)-\frac{0.2\left(1000^2\right)\left(3000^2\right)}{2000^2}\right)p^2+0.2}{2000^2p^3+p}\\<br />&=&450000p+\frac{1550000p^2+0.2}{2000^2p^3+p}\\<br />&=&450000p+\frac{1}{\Large\frac{2000^2}{1550000}p+\frac{\left(1-0.2\frac{2000^2}{1550000}\right)p}{1550000p^2+0.2}}\\<br />&=&450000p+\frac{1}{\Large\frac{80}{31}p+\frac{\frac{15}{31}p}{1550000p^2+0.2}}\\<br />&=&\frac{450000}{s}+\frac{1}{\Large\frac{80}{31s}+\frac{1}{\frac{9610000}{3s}+\frac{31}{75}s}}\\<br />&=&\frac{1}{C_1 s}+\frac{1}{\Large\frac{1}{L_2 s}+\frac{1}{\frac{1}{C_3 s}+L_4 s}}\\<br />C_1&=&\frac{1}{450000}=2.22\,[\mu F]\\<br />L_2&=&\frac{31}{80}=387.5\,[mH]\\<br />C_3&=&\frac{3}{9610000}=0.3122\,[\mu F]\\<br />L_4&=&\frac{31}{75}=413.3\,[mH]\\<br />p&=&s^{-1}<br />\end{eqnarray}$ 回路図で表すと

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題名	投稿者	日時
一端子対回路：演習問題	webadm	2009-12-28 23:05
【1】複素周波数の意味	webadm	2010-1-1 20:59
【2】インピーダンス関数	webadm	2010-1-8 11:16
【3】インピーダンス関数に対する一端子対回路	webadm	2010-1-8 11:24
【4】一端子対回路のインピーダンス関数	webadm	2010-1-8 21:05
【5】インピーダンス関数の零点及び極と留数	webadm	2010-1-9 20:37
【6】正実関数、インピーダンス関数、アドミッタンス関数	webadm	2010-1-10 20:46
【７】正実関数	webadm	2010-3-30 9:20
【8】続：正実関数	webadm	2010-4-11 1:24
【9】続々：正実関数	webadm	2010-4-13 10:40
【10】インピーダンス関数とその回路	webadm	2010-4-15 9:49
【11】リアクタンス回路	webadm	2010-4-15 17:02
【12】続：リアクタンス回路	webadm	2010-4-15 19:39
【13】リアクタンス関数	webadm	2010-4-17 22:57
【14】相互インダクタンスを含むリアクタンス回路	webadm	2010-4-17 23:35
【15】続々：リアクタンス回路	webadm	2010-4-18 0:34
【16】リアクタンス回路の合成	webadm	2010-4-19 2:30
» 【17】続：リアクタンス回路の合成	webadm	2010-4-19 10:09
【18】続々：リアクタンス回路の合成	webadm	2010-4-20 4:22
【19】またまた：リアクタンス回路	webadm	2010-4-20 9:55
【20】インピーダンス関数	webadm	2010-4-21 23:11
【21】続：インピーダンス関数	webadm	2010-4-22 12:29
【22】続々：インピーダンス関数	webadm	2010-4-24 4:03
【23】またまた：インピーダンス関数	webadm	2010-4-24 11:55
【24】アドミッタンス関数	webadm	2010-4-24 20:47
【25】続：アドミッタンス関数	webadm	2010-4-27 10:19
【26】密結合変成器の分離	webadm	2010-4-28 9:20
【27】逆回路	webadm	2010-4-29 19:35
【28】続：逆回路	webadm	2010-4-30 9:49
【29】続々：逆回路	webadm	2010-4-30 10:15
【30】まだまだ：逆回路	webadm	2010-4-30 10:59
【31】もうひとつの：逆回路	webadm	2010-4-30 12:03
【32】定抵抗回路	webadm	2010-5-1 9:55
【33】続：定抵抗回路	webadm	2010-5-2 16:00

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