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webadm	投稿日時: 2010-4-28 9:20
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3086	【26】密結合変成器の分離次ぎは相互インダクタンスを伴うリアクタンス回路に関する問題。以下の回路の相互インダクタンスの結合係数kが1である場合、この回路に等価な相互インダクタンスを含まないLC回路を求めよというもの。この種の操作は密結合変成器の分離と呼ばれ変成器を伴わない二端子回路の構成法。結合係数は $k=M/sqrt{L_1 L_2}$ で定義されていたことを思い出そう。問題の回路は以下の様な等価回路に置き換えることができる。これより駆動点インピーダンスの式を起こすと $\begin{eqnarray}<br />Z(s)&=&\frac{1}{C_1 s}+\left(L_1-M\right)s+\frac{1}{\Large\frac{1}{M s+\frac{1}{C_2 s}}+\frac{1}{\left(L_2-M\right)s+\frac{1}{C_3 s}}}\\<br />&=&\frac{C_1\left(L_1-M\right)s^2+1}{C_1 s}+\frac{1}{\Large\frac{\frac{1}{M} s}{s^2+\frac{1}{C_2 M}}+\frac{\frac{1}{L_2-M}s}{s^2+\frac{1}{C_3\left(L_2-M\right)}}}\\<br />&=&\frac{\left(L_1-M\right)\left(s^2+\frac{1}{C_1\left(L_1-M\right)}\right)}{s}+\frac{\left(s^2+\frac{1}{C_2 M}\right)\left(s^2+\frac{1}{C_3\left(L_2-M\right)}\right)}{\left(s^2+\frac{1}{C_3\left(L_2-M\right)}\right)\frac{1}{M} s+\left(s^2+\frac{1}{C_2 M}\right)\frac{1}{L_2-M}s}\\<br />&=&\frac{\left(L_1-M\right)\left(s^2+\frac{1}{C_1\left(L_1-M\right)}\right)}{s}+\frac{\left(s^2+\frac{1}{C_2 M}\right)\left(s^2+\frac{1}{C_3\left(L_2-M\right)}\right)}{s\left(\frac{L_2}{M\left(L_2-M\right)}s^2+\frac{C_2+C_3}{C_2 C_3 M\left(L_2-M\right)}\right)}\\<br />&=&\frac{\left(L_1-M\right)\left(s^2+\frac{1}{C_1\left(L_1-M\right)}\right)}{s}+\frac{\frac{M\left(L_2-M\right)}{L_2}\left(s^2+\frac{1}{C_2 M}\right)\left(s^2+\frac{1}{C_3\left(L_2-M\right)}\right)}{s\left(s^2+\frac{C_2+C_3}{L_2 C_2 C_3}\right)}\\<br />&=&\frac{\left(L_1-M\right)\left(s^2+\frac{1}{C_1\left(L_1-M\right)}\right)\left(s^2+\frac{C_2+C_3}{L_2 C_2 C_3}\right)+\frac{M\left(L_2-M\right)}{L_2}\left(s^2+\frac{1}{C_2 M}\right)\left(s^2+\frac{1}{C_3\left(L_2-M\right)}\right)}{s\left(s^2+\frac{C_2+C_3}{L_2 C_2 C_3}\right)}\\<br />&=&\frac{\left(L_1-M\right)\left(s^4+\frac{L_2 C_2 C_3+C_1\left(L_1-M\right)\left(C_2+C_3\right)}{C_1\left(L_1-M\right)L_2 C_2 C_3}s^2+\frac{C_2+C_3}{C_1\left(L_1-M\right)L_2 C_2 C_3}\right)+\frac{M\left(L_2-M\right)}{L_2}\left(s^4+\frac{C_3\left(L_2-M\right)+C_2 M}{C_2 C_3 M\left(L_2-M\right)}s^2+\frac{1}{C_2 C_3 M\left(L_2-M\right)}\right)}{s\left(s^2+\frac{C_2+C_3}{L_2 C_2 C_3}\right)}\\<br />&=&\frac{\left(\left(L_1-M\right)s^4+\frac{L_2 C_2 C_3+C_1\left(L_1-M\right)\left(C_2+C_3\right)}{C_1 L_2 C_2 C_3}s^2+\frac{C_2+C_3}{C_1 L_2 C_2 C_3}\right)+\left(\frac{M\left(L_2-M\right)}{L_2}s^4+\frac{C_3\left(L_2-M\right)+C_2 M}{L_2 C_2 C_3}s^2+\frac{1}{L_2 C_2 C_3}\right)}{s\left(s^2+\frac{C_2+C_3}{L_2 C_2 C_3}\right)}\\<br />&=&\frac{\frac{L_1 L_2 -M^2}{L_2}s^4+\frac{L_2 C_2 C_3+C_1\left(L_1-M\right)\left(C_2+C_3\right)+C_1\left(C_3\left(L_2-M\right)+C_2 M\right)}{C_1 L_2 C_2 C_3}s^2+\frac{C_1+C_2+C_3}{C_1 L_2 C_2 C_3}}{s\left(s^2+\frac{C_2+C_3}{L_2 C_2 C_3}\right)}\\<br />&=&\frac{\frac{L_1 L_2 -M^2}{L_2}s^4+\frac{L_2 C_2 C_3+L_1 C_1 C_2+L_1 C_1 C_3+L_2 C_1 C_3 -2 M C_1 C_3}{C_1 L_2 C_2 C_3}s^2+\frac{C_1+C_2+C_3}{C_1 L_2 C_2 C_3}}{s\left(s^2+\frac{C_2+C_3}{L_2 C_2 C_3}\right)}\\<br />\end{eqnarray}$ ここで題意よりk=1であることから $L_1 L_2-M^2=0$ ということになり、式は以下の様になり題意より定数を代入すると。 $\begin{eqnarray}<br />Z(s)&=&\frac{\frac{L_2 C_2 C_3+L_1 C_1 C_2+L_1 C_1 C_3+L_2 C_1 C_3 -2 M C_1 C_3}{C_1 L_2 C_2 C_3}s^2+\frac{C_1+C_2+C_3}{C_1 L_2 C_2 C_3}}{s\left(s^2+\frac{C_2+C_3}{L_2 C_2 C_3}\right)}\\<br />&=&\frac{\frac{8\times 1\times 1+2\times 2\times 1+2\times 2\times 1+8\times 2\times 1 -2 \sqrt{2\times 8}\times 2\times 1}{2\times 8\times 1\times 1}s^2+\frac{2+1+1}{2\times 8\times 1\times 1}}{s\left(s^2+\frac{1+1}{8\times 1\times 1}\right)}\\<br />&=&\frac{s^2+\frac{1}{4}}{s\left(s^2+\frac{1}{4}\right)}\\<br />&=&\frac{1}{s}\\<br />&=&\frac{1}{C s}\\<br />C&=&1\,[F]<br />\end{eqnarray}$ ということでただ一個のキャパシタンスと等価になる。一方で相互インダクタンスのもうひとつの等価回路について調べるとこれより駆動点インピーダンスの式を起こすと $\begin{eqnarray}<br />Z(s)&=&\frac{1}{C_1 s}+\left(L_1+M\right)s+\frac{1}{\Large\frac{1}{-M s+\frac{1}{C_2 s}}+\frac{1}{\left(L_2+M\right)s+\frac{1}{C_3 s}}}\\<br />&=&\frac{C_1\left(L_1+M\right)s^2+1}{C_1 s}+\frac{1}{\Large-\frac{\frac{1}{M} s}{s^2-\frac{1}{C_2 M}}+\frac{\frac{1}{L_2+M}s}{s^2+\frac{1}{C_3\left(L_2+M\right)}}}\\<br />&=&\frac{\left(L_1+M\right)\left(s^2+\frac{1}{C_1\left(L_1+M\right)}\right)}{s}+\frac{\left(s^2-\frac{1}{C_2 M}\right)\left(s^2+\frac{1}{C_3\left(L_2+M\right)}\right)}{-\left(s^2+\frac{1}{C_3\left(L_2+M\right)}\right)\frac{1}{M} s+\left(s^2-\frac{1}{C_2 M}\right)\frac{1}{L_2+M}s}\\<br />&=&\frac{\left(L_1+M\right)\left(s^2+\frac{1}{C_1\left(L_1+M\right)}\right)}{s}-\frac{\left(s^2-\frac{1}{C_2 M}\right)\left(s^2+\frac{1}{C_3\left(L_2+M\right)}\right)}{s\left(\frac{L_2}{M\left(L_2+M\right)}s^2+\frac{C_2+C_3}{C_2 C_3 M\left(L_2-M\right)}\right)}\\<br />&=&\frac{\left(L_1+M\right)\left(s^2+\frac{1}{C_1\left(L_1+M\right)}\right)}{s}-\frac{\frac{M\left(L_2+M\right)}{L_2}\left(s^2-\frac{1}{C_2 M}\right)\left(s^2+\frac{1}{C_3\left(L_2+M\right)}\right)}{s\left(s^2+\frac{C_2+C_3}{L_2 C_2 C_3}\right)}\\<br />&=&\frac{\left(L_1+M\right)\left(s^2+\frac{1}{C_1\left(L_1+M\right)}\right)\left(s^2+\frac{C_2+C_3}{L_2 C_2 C_3}\right)-\frac{M\left(L_2+M\right)}{L_2}\left(s^2-\frac{1}{C_2 M}\right)\left(s^2+\frac{1}{C_3\left(L_2+M\right)}\right)}{s\left(s^2+\frac{C_2+C_3}{L_2 C_2 C_3}\right)}\\<br />&=&\frac{\left(L_1+M\right)\left(s^4+\frac{L_2 C_2 C_3+C_1\left(L_1+M\right)\left(C_2+C_3\right)}{C_1\left(L_1+M\right)L_2 C_2 C_3}s^2+\frac{C_2+C_3}{C_1\left(L_1+M\right)L_2 C_2 C_3}\right)-\frac{M\left(L_2+M\right)}{L_2}\left(s^4-\frac{C_3\left(L_2-M\right)-C_2 M}{C_2 C_3 M\left(L_2+M\right)}s^2-\frac{1}{C_2 C_3 M\left(L_2+M\right)}\right)}{s\left(s^2+\frac{C_2+C_3}{L_2 C_2 C_3}\right)}\\<br />&=&\frac{\left(\left(L_1+M\right)s^4+\frac{L_2 C_2 C_3+C_1\left(L_1+M\right)\left(C_2+C_3\right)}{C_1 L_2 C_2 C_3}s^2+\frac{C_2+C_3}{C_1 L_2 C_2 C_3}\right)-\left(\frac{M\left(L_2+M\right)}{L_2}s^4-\frac{C_3\left(L_2+M\right)-C_2 M}{L_2 C_2 C_3}s^2-\frac{1}{L_2 C_2 C_3}\right)}{s\left(s^2+\frac{C_2+C_3}{L_2 C_2 C_3}\right)}\\<br />&=&\frac{\frac{L_1 L_2 -M^2}{L_2}s^4+\frac{L_2 C_2 C_3+C_1\left(L_1+M\right)\left(C_2+C_3\right)+C_1\left(C_3\left(L_2+M\right)-C_2 M\right)}{C_1 L_2 C_2 C_3}s^2+\frac{C_1+C_2+C_3}{C_1 L_2 C_2 C_3}}{s\left(s^2+\frac{C_2+C_3}{L_2 C_2 C_3}\right)}\\<br />&=&\frac{\frac{L_1 L_2 -M^2}{L_2}s^4+\frac{L_2 C_2 C_3+L_1 C_1 C_2+L_1 C_1 C_3+L_2 C_1 C_3 +2 M C_1 C_3}{C_1 L_2 C_2 C_3}s^2+\frac{C_1+C_2+C_3}{C_1 L_2 C_2 C_3}}{s\left(s^2+\frac{C_2+C_3}{L_2 C_2 C_3}\right)}\\<br />\end{eqnarray}$ 一カ所だけ符号が異なるだけである。同様にk=1の時は分子の４次の項は消滅するので、定数を代入すると $\begin{eqnarray}<br />Z(s)&=&\frac{\frac{L_2 C_2 C_3+L_1 C_1 C_2+L_1 C_1 C_3+L_2 C_1 C_3 +2 M C_1 C_3}{C_1 L_2 C_2 C_3}s^2+\frac{C_1+C_2+C_3}{C_1 L_2 C_2 C_3}}{s\left(s^2+\frac{C_2+C_3}{L_2 C_2 C_3}\right)}\\<br />&=&\frac{\frac{8\times 1\times 1+2\times 2\times 1+2\times 2\times 1+8\times 2\times 1 +2 \sqrt{2\times 8}\times 2\times 1}{2\times 8\times 1\times 1}s^2+\frac{2+1+1}{2\times 8\times 1\times 1}}{s\left(s^2+\frac{1+1}{8\times 1\times 1}\right)}\\<br />&=&\frac{3s^2+\frac{1}{4}}{s\left(s^2+\frac{1}{4}\right)}\\<br />&=&\frac{3\left(s^2+\frac{1}{12}\right)}{s\left(s^2+\frac{1}{4}\right)}\\<br />&=&\frac{H_0}{s}+\frac{H_1 s}{s^2+\frac{1}{4}}\\<br />&=&\frac{1}{C s}+\frac{1}{{C_1}^\'s+\frac{1}{L_1 s}}\\<br />C&=&\frac{1}{H_0}=1\,[F]<br />{C_1}^\'&=&\frac{1}{H_1}=\frac{1}{2}\,[F]\\<br />L_1&=&4 H_1=8\,[H]\\<br />H_0&=&\lim_{s\to0}s Z(s)\\<br />&=&\left.\frac{3\left(s^2+\frac{1}{12}\right)}{\left(s^2+\frac{1}{4}\right)}\right\|_{s=0}\\<br />&=&\frac{3\left(\frac{1}{12}\right)}{\left(\frac{1}{4}\right)}\\<br />&=&1<br />H_1&=&\lim_{s\to-\frac{1}{4}}\frac{\left(s^2+\frac{1}{4}\right)Z(s)}{s}\\<br />&=&\left.\frac{3\left(s^2+\frac{1}{12}\right)}{s^2}\right\|_{s=\frac{1}{4}}\\<br />&=&\frac{3\left(-\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\right)}{-\frac{1}{4}}\\<br />&=&2<br />\end{eqnarray}$ ということになる。回路図に描くとといことになる。

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題名	投稿者	日時
一端子対回路：演習問題	webadm	2009-12-28 23:05
【1】複素周波数の意味	webadm	2010-1-1 20:59
【2】インピーダンス関数	webadm	2010-1-8 11:16
【3】インピーダンス関数に対する一端子対回路	webadm	2010-1-8 11:24
【4】一端子対回路のインピーダンス関数	webadm	2010-1-8 21:05
【5】インピーダンス関数の零点及び極と留数	webadm	2010-1-9 20:37
【6】正実関数、インピーダンス関数、アドミッタンス関数	webadm	2010-1-10 20:46
【７】正実関数	webadm	2010-3-30 9:20
【8】続：正実関数	webadm	2010-4-11 1:24
【9】続々：正実関数	webadm	2010-4-13 10:40
【10】インピーダンス関数とその回路	webadm	2010-4-15 9:49
【11】リアクタンス回路	webadm	2010-4-15 17:02
【12】続：リアクタンス回路	webadm	2010-4-15 19:39
【13】リアクタンス関数	webadm	2010-4-17 22:57
【14】相互インダクタンスを含むリアクタンス回路	webadm	2010-4-17 23:35
【15】続々：リアクタンス回路	webadm	2010-4-18 0:34
【16】リアクタンス回路の合成	webadm	2010-4-19 2:30
【17】続：リアクタンス回路の合成	webadm	2010-4-19 10:09
【18】続々：リアクタンス回路の合成	webadm	2010-4-20 4:22
【19】またまた：リアクタンス回路	webadm	2010-4-20 9:55
【20】インピーダンス関数	webadm	2010-4-21 23:11
【21】続：インピーダンス関数	webadm	2010-4-22 12:29
【22】続々：インピーダンス関数	webadm	2010-4-24 4:03
【23】またまた：インピーダンス関数	webadm	2010-4-24 11:55
【24】アドミッタンス関数	webadm	2010-4-24 20:47
【25】続：アドミッタンス関数	webadm	2010-4-27 10:19
» 【26】密結合変成器の分離	webadm	2010-4-28 9:20
【27】逆回路	webadm	2010-4-29 19:35
【28】続：逆回路	webadm	2010-4-30 9:49
【29】続々：逆回路	webadm	2010-4-30 10:15
【30】まだまだ：逆回路	webadm	2010-4-30 10:59
【31】もうひとつの：逆回路	webadm	2010-4-30 12:03
【32】定抵抗回路	webadm	2010-5-1 9:55
【33】続：定抵抗回路	webadm	2010-5-2 16:00

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