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webadm	投稿日時: 2010-5-27 22:14
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3082	続：４端子定数次ぎも４端子定数の問題。端子対22'を開放及び短絡時の端子対11'から見たインピーダンスをそれぞれZ1f,Z1sとし、端子対11'を短絡したとき端子対22'から見たインピーダンスをZ2sとした場合の４端子定数を求めよというもの。題意で与えられた条件はインピーダンスパラメータやアドミッタンスパラメータそのものである $\begin{eqnarray}<br />Z_{1f}&=&\left.\frac{E_1}{I_1}\right\|_{I_2=0}=Z_{11}\\<br />Z_{1s}&=&\left.\frac{E_1}{I_1}\right\|_{E_2=0}=\frac{1}{Y_{11}}\\<br />Z_{2s}&=&\left.\frac{E_2}{I_2}\right\|_{E_1=0}=\frac{1}{Y_{22}}<br />\end{eqnarray}$ ただしZパラメータやYパラメータから４端子定数を導けという問題ではなく、上の３つのパラメータだけで表せということになる。それははたして可能だろうか？相反定理が成り立つ線形受動回路では以下が成り立つので３つの独立パラメータだけで必要十分ということになる。 $\begin{eqnarray}<br />Z_{12}&=&Z_{21}\\<br />Y_{12}&=&Y_{21}\\<br />A D - B C&=&1<br />\end{eqnarray}$ ストラテジーとして以前Hパラメータ変換問題でやったように線形代数を駆使して求めてみよう。４端子定数はベクトルP(E2,I2')をQ(E1,I1)へ変換する。一方等価な回路のZパラメータやYパラメータはP'(E1,E2),Q'(I1,I2)の間の線形変換行列である。それぞれの数ベクトルP,Q,P',Q'の間には以下の関係が成り立つとする。ただしI2'=-I2。 $\begin{eqnarray}<br />P&=&\left[\begin{array}<br />E_2\\<br />I^{\'}_2<br />\end{array}\right]=\left[\begin{array}<br />0 & 1\\<br />0 & 0<br />\end{array}\right]\left[\begin{array}<br />E_1\\<br />E_2<br />\end{array}\right]+\left[\begin{array}<br />0 & 0\\<br />0 & -1<br />\end{array}\right]\left[\begin{array}<br />I_1\\<br />I_2<br />\end{array}\right]=\left[\begin{array}<br />0 & 1\\<br />0 & 0<br />\end{array}\right]P^{\'}+\left[\begin{array}<br />0 & 0\\<br />0 & -1<br />\end{array}\right]Q^{\'}\\<br />Q&=&\left[\begin{array}<br />E_1\\<br />I_1<br />\end{array}\right]=\left[\begin{array}<br />1 & 0\\<br />0 & 0<br />\end{array}\right]\left[\begin{array}<br />E_1\\<br />E_2<br />\end{array}\right]+\left[\begin{array}<br />0 & 0\\<br />1 & 0<br />\end{array}\right]\left[\begin{array}<br />I_1\\<br />I_2<br />\end{array}\right]=\left[\begin{array}<br />1 & 0\\<br />0 & 0<br />\end{array}\right]P^{\'}+\left[\begin{array}<br />0 & 0\\<br />1 & 0<br />\end{array}\right]Q^{\'}<br />\end{eqnarray}$ 従って４端子定数とP,Qの関係は $\begin{eqnarray}<br />Q=F P=\left[\begin{array}<br />A & B\\<br />C & D<br />\end{array}\right]P=\left[\begin{array}<br />A & B\\<br />C & D<br />\end{array}\right]\left(\left[\begin{array}<br />0 & 1\\<br />0 & 0<br />\end{array}\right]P^{\'}+\left[\begin{array}<br />0 & 0\\<br />0 & -1<br />\end{array}\right]Q^{\'}\right)&=&\left[\begin{array}<br />1 & 0\\<br />0 & 0<br />\end{array}\right]P^{\'}+\left[\begin{array}<br />0 & 0\\<br />1 & 0<br />\end{array}\right]Q^{\'}\\<br />\left(\left[\begin{array}<br />A & B\\<br />C & D<br />\end{array}\right]\left[\begin{array}<br />0 & 1\\<br />0 & 0<br />\end{array}\right]-\left[\begin{array}<br />1 & 0\\<br />0 & 0<br />\end{array}\right]\right)P^{\'}&=&\left(\left[\begin{array}<br />0 & 0\\<br />1 & 0<br />\end{array}\right]-\left(\left[\begin{array}<br />A & B\\<br />C & D<br />\end{array}\right]\left[\begin{array}<br />0 & 0\\<br />0 & -1<br />\end{array}\right]\right)Q^{\'}\\<br />\left[\begin{array}<br />-1 & A\\<br />0 & C<br />\end{array}\right]P^{\'}&=&\left[\begin{array}<br />0 & B\\<br />1 & D<br />\end{array}\right]Q^{\'}<br />\end{eqnarray}$ 左辺の係数行列の逆行列を両辺に乗じると $\begin{eqnarray}<br />P^{\'}&=&\left[\begin{array}<br />-1 & A\\<br />0 & C<br />\end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}<br />0 & B\\<br />1 & D<br />\end{array}\right]Q^{\'}\\<br />&=&\left[\begin{array}<br />-1 & \frac{A}{C}\\<br />0 & \frac{1}{C}<br />\end{array}\right]\left[\begin{array}<br />0 & B\\<br />1 & D<br />\end{array}\right]Q^{\'}\\<br />&=&\left[\begin{array}<br />\frac{A}{C} & \frac{A D}{C}-B\\<br />\frac{1}{C} & \frac{D}{C}<br />\end{array}\right]Q^{\'}\\<br />&=&\left[\begin{array}<br />\frac{A}{C} & \frac{A D-B C}{C}\\<br />\frac{1}{C} & \frac{D}{C}<br />\end{array}\right]Q^{\'}\\<br />&=&\left[\begin{array}<br />Z_{11} & Z_{12}\\<br />Z_{21} & Z_{22}<br />\end{array}\right]Q^{\'}<br />\end{eqnarray}$ 従って等価なF行列とZ行列の関係は $\begin{eqnarray}<br />\left[\begin{array}<br />Z_{11} & Z_{12}\\<br />Z_{21} & Z_{22}<br />\end{array}\right]&=&\left[\begin{array}<br />\frac{A}{C} & \frac{A D-B C}{C}\\<br />\frac{1}{C} & \frac{D}{C}<br />\end{array}\right]<br />\end{eqnarray}$ ということになる。同様にF行列と等価なY行列を求めるには上の式にZ行列の逆行列を求めればよく $\begin{eqnarray}<br />\left[\begin{array}<br />Y_{11} & Y_{12}\\<br />Y_{21} & Y_{22}<br />\end{array}\right]&=&\left[\begin{array}<br />Z_{11} & Z_{12}\\<br />Z_{21} & Z_{22}<br />\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}<br />\frac{A}{C} & \frac{A D-B C}{C}\\<br />\frac{1}{C} & \frac{D}{C}<br />\end{array}\right]^{-1}\\<br />&=&\left[\begin{array}<br />\frac{D}{C \left( \frac{A D}{{C}^{2}}-\frac{A D-B C}{{C}^{2}}\right) } & -\frac{A D-B C}{C \left( \frac{A D}{{C}^{2}}-\frac{A D-B C}{{C}^{2}}\right) }\\<br />-\frac{1}{C \left( \frac{A D}{{C}^{2}}-\frac{A D-B C}{{C}^{2}}\right) } & \frac{A}{C \left( \frac{A D}{{C}^{2}}-\frac{A D-B C}{{C}^{2}}\right) }<br />\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}<br />\frac{D}{B} & -\frac{A D-B C}{B}\\<br />-\frac{1}{B} & \frac{A}{B}<br />\end{array}\right]<br />\end{eqnarray}$ 従って題意より $begin{eqnarray}<br />Z_{1f}&=&\left.\frac{E_1}{I_1}\right\|_{I_2=0}=Z_{11}\\<br />&=&\frac{A}{C}\\<br />Z_{1s}&=&\left.\frac{E_1}{I_1}\right\|_{E_2=0}=\frac{1}{Y_{11}}\\<br />&=&\frac{B}{D}\\<br />Z_{2s}&=&\left.\frac{E_2}{I_2}\right\|_{E_1=0}=\frac{1}{Y_{22}}\\<br />&=&\frac{B}{A}\\<br />A D - B C &=& 1<br />\end{eqnarray}$ という関係が成り立ち。上記をA,B,C,Dに関する連立方程式としてMaximaで解くと $\begin{eqnarray}<br />A&=&\sqrt{\frac{Z1f Z1s}{ Z2s\left(Z1f-Z1s\right)}}\\<br />B&=&\sqrt{\frac{Z1f Z1s Z2s}{Z1f-Z1s}}\\<br />C&=&\sqrt{\frac{Z1s}{Z1f Z2s\left(Z1f-Z1s\right)}}\\<br />D&=&\sqrt{\frac{Z1f Z2s}{Z1s\left(Z1f- Z1s\right)}}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。最後だけ線形代数というわけにはいかなくなってしまった。実は良いところまでいったのだけれども、最後まで詰められなかった。更に磨きをかけるのは読者の課題としよう(´∀` ) P.S 最後のところは二次形式を使えば行列で扱えそうな気がするが。結局Maximaで解くという落ちになってしまった。Maxima自身もこの手の方程式を解くには苦手なのだが今回はあっさり解いてくれた。どうやってやってるのだろうか。

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題名	投稿者	日時
2端子対回路演習問題	webadm	2010-5-20 4:53
インピーダンスパラメータ	webadm	2010-5-20 5:54
インピーダンスパラメータとアドミッタンスパラメータ	webadm	2010-5-22 23:43
インピーダンスパラメータとハイブリッドパラメータ	webadm	2010-5-23 1:32
インピーダンス行列とアドミッタンス行列	webadm	2010-5-23 10:12
T形回路	webadm	2010-5-23 16:25
続：T形回路	webadm	2010-5-23 16:33
π形回路	webadm	2010-5-23 17:20
Zobel変換	webadm	2010-5-23 17:58
ハイブリッドパラメータ	webadm	2010-5-24 17:53
アドミッタンスパラメータと４端子定数	webadm	2010-5-26 11:41
伝送行列	webadm	2010-5-26 14:34
T形回路の伝送行列	webadm	2010-5-26 15:14
4端子定数	webadm	2010-5-27 3:18
続：伝送行列	webadm	2010-5-27 13:50
» 続：４端子定数	webadm	2010-5-27 22:14
続々：４端子定数	webadm	2010-5-29 3:39
インピーダンス行列	webadm	2010-5-29 11:27
アドミッタンス行列	webadm	2010-5-29 11:57
またまた：４端子定数	webadm	2010-5-30 11:15
二端子対回路の並列接続	webadm	2010-5-30 12:37
もうひとつの：４端子定数	webadm	2010-5-30 12:45
アドミッタンスパラメータ	webadm	2010-6-3 12:42
まだまだ：４端子定数	webadm	2010-6-5 13:04
影像パラメータと４端子定数	webadm	2010-6-5 13:44
影像パラメータ	webadm	2010-6-12 22:30
続：影像パラメータ	webadm	2010-6-13 5:07
続々：影像パラメータ	webadm	2010-6-17 5:13
影像インピーダンス	webadm	2010-6-17 16:21
続：影像インピーダンス	webadm	2010-6-17 19:40
まだまだ：影像パラメータ	webadm	2010-6-22 18:50
もうひとつの：影像パラメータ	webadm	2010-6-25 21:54
４端子定数と影像インピーダンス	webadm	2010-6-26 0:45
インピーダンス整合	webadm	2010-6-26 11:27
もうひとつの：影像インピーダンス	webadm	2010-6-26 21:55
反復インピーダンスと４端子定数	webadm	2010-6-27 0:05
反復パラメータ	webadm	2010-6-28 21:04
影像インピーダンスと反復インピーダンス	webadm	2010-6-29 18:16
π形回路の伝送行列、影像パラメータ、反復パラメータ	webadm	2010-7-8 21:06
相互誘導回路と理想変成器	webadm	2010-7-28 6:11
Norton変換	webadm	2010-8-17 10:44
続：Norton変換	webadm	2010-8-17 20:48
容量性変成器	webadm	2010-8-18 3:42
抵抗性変成器	webadm	2010-8-21 10:11
理想ジャイレーター	webadm	2010-10-31 3:26
続：理想ジャイレータ	webadm	2010-11-19 2:41
続々：ジャイレータ	webadm	2010-11-23 21:29
対称回路	webadm	2010-11-25 9:18
続：対称回路	webadm	2010-11-30 0:01
続々：対称回路	webadm	2010-11-30 9:27
またまた：対称回路	webadm	2010-11-30 23:28
軸対称二端子対回路	webadm	2010-12-3 8:26
一方向性回路	webadm	2010-12-8 9:13
続：一方向性回路	webadm	2010-12-8 10:37
Zパラメータ	webadm	2010-12-9 22:51
続：Zパラメータ	webadm	2010-12-10 0:17
４端子定数	webadm	2010-12-14 6:51
理想オペアンプ	webadm	2010-12-14 7:03
続々：Zパラメータ	webadm	2010-12-20 10:10
reactance回路	webadm	2010-12-20 22:52
全域通過回路	webadm	2010-12-23 13:53
最小位相推移回路	webadm	2010-12-23 21:54
続：最小位相推移回路	webadm	2011-4-22 7:02
続々：最小位相推移回路	webadm	2011-4-22 9:38

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