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投稿者 スレッド
webadm
投稿日時: 2010-8-21 10:11
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3068
抵抗性変成器
次ぎも理想変成器を伴う回路の問題。

以下の理想変成器と抵抗のみからなる回路が抵抗性変成器となることを示せというもの。



いつも通り著者とは別解でやってみよう。

上の回路のインピーダンス行列を以下の通り仮定する

\begin{eqnarray}<br />Z&=&\left[\begin{array}R_{11} & R_{12}\\R_{21} & R_{22}\end{array}\right]<br />\end{eqnarray}

これを例によって伝送行列に変換すると

\begin{eqnarray}<br />P&=&\left[\begin{array}E_2\\I_2\end{array}\right],\,\,Q=\left[\begin{array}E_1\\I_1\end{array}\right]\\<br />P^{\'}&=&\left[\begin{array}I_1\\-I_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}0&0\\0&-1\end{array}\right]P+\left[\begin{array}0&1\\0&0\end{array}\right]Q\\<br />Q^{\'}&=&\left[\begin{array}E_1\\E_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}0&0\\1&0\end{array}\right]P+\left[\begin{array}1&0\\0&0\end{array}\right]Q\\<br />&=&Z P^{\'}\\<br />&=&Z\left(\left[\begin{array}0&0\\0&-1\end{array}\right]P+\left[\begin{array}0&1\\0&0\end{array}\right]Q\right)\\<br />\left(\left[\begin{array}1&0\\0&0\end{array}\right]-Z\left[\begin{array}0&1\\0&0\end{array}\right]\right)Q&=&\left(Z\left[\begin{array}0&0\\0&-1\end{array}\right]-\left[\begin{array}0&0\\1&0\end{array}\right]\right)P\\<br />Q&=&\left(\left[\begin{array}1&0\\0&0\end{array}\right]-Z\left[\begin{array}0&1\\0&0\end{array}\right]\right)^{-1}\left(Z\left[\begin{array}0&0\\0&-1\end{array}\right]-\left[\begin{array}0&0\\1&0\end{array}\right]\right)P\\<br />Q&=&\left(\left[\begin{array}1&0\\0&0\end{array}\right]-\left[\begin{array}R_{11} & R_{12}\\R_{21} & R_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}0&1\\0&0\end{array}\right]\right)^{-1}\left(\left[\begin{array}R_{11} & R_{12}\\R_{21} & R_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}0&0\\0&-1\end{array}\right]-\left[\begin{array}0&0\\1&0\end{array}\right]\right)P\\<br />Q&=&\left[\begin{array}1 & -R_{11}\cr 0 & -R_{21}\end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}0 & -R_{12}\cr -1 & -R_{22}\end{array}\right]P\\<br />Q&=&\left[\begin{array}1 & -\frac{R_{11}}{R_{21}}\cr 0 & -\frac{1}{R_{21}}\end{array}\right]\left[\begin{array}0 & -R_{12}\cr -1 & -R_{22}\end{array}\right]P\\<br />Q&=&\left[\begin{array}\frac{R_{11}}{R_{21}} & \frac{R_{11} R_{22}-R_{12} R_{21}}{R_{21}}\cr \frac{1}{R_{21}} & \frac{R_{22}}{R_{21}}\end{array}\right]P\\<br />&=&F P<br />\end{eqnarray}

ということになる。

一方理想変成器を伴う等価な回路の理想変成器を除いた部分回路の伝送行列をF'とすると、

\begin{eqnarray}<br />\left[\begin{array}\frac{1}{\sqrt{\frac{R_2}{R_1}}}&0\\0&\sqrt{\frac{R_2}{R_1}}\end{array}\right]F^{\'}&=&F\\<br />F^{\'}&=&\left[\begin{array}\frac{1}{\sqrt{\frac{R_2}{R_1}}}&0\\0&\sqrt{\frac{R_2}{R_1}}\end{array}\right]^{-1}F\\<br />&=&\left[\begin{array}\sqrt{\frac{R_2}{R_1}}&0\\0&\frac{1}{\sqrt{\frac{R_2}{R_1}}}\end{array}\right]\left[\begin{array}\frac{R_{11}}{R_{21}} & \frac{R_{11} R_{22}-R_{12} R_{21}}{R_{21}}\cr \frac{1}{R_{21}} & \frac{R_{22}}{R_{21}}\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}\frac{R_{11} \sqrt{\frac{R_2}{R_1}}}{R_{21}} & \frac{\sqrt{\frac{R_2}{R_1}} \left( R_{11} R_{22}-R_{12} R_{21}\right) }{R_{21}}\cr \frac{1}{\sqrt{\frac{R_2}{R_1}} R_{21}} & \frac{R_{22}}{\sqrt{\frac{R_2}{R_1}} R_{21}}\end{array}\right]\\<br />\end{eqnarray}

ということになる。最終的にこれが抵抗R2が並列に接続されただけの二端子対回路の伝送行列と等しくなければならないことから

\begin{eqnarray}<br />F^{\'}&=&\left[\begin{array}1&0\\\frac{1}{R_2}&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}\frac{R_{11} \sqrt{\frac{R_2}{R_1}}}{R_{21}} & \frac{\sqrt{\frac{R_2}{R_1}} \left( R_{11} R_{22}-R_{12} R_{21}\right) }{R_{21}}\cr \frac{1}{\sqrt{\frac{R_2}{R_1}} R_{21}} & \frac{R_{22}}{\sqrt{\frac{R_2}{R_1}} R_{21}}\end{array}\right]\\<br />\frac{R_{11} \sqrt{\frac{R_2}{R_1}}}{R_{21}}&=&1\\<br />\frac{\sqrt{\frac{R_2}{R_1}} \left( R_{11} R_{22}-R_{12} R_{21}\right) }{R_{21}}&=&0\\<br />\frac{1}{\sqrt{\frac{R_2}{R_1}} R_{21}}&=&\frac{1}{R_2}\\<br />\frac{R_{22}}{\sqrt{\frac{R_2}{R_1}} R_{21}}&=&1<br />\end{eqnarray}

が成り立たなければならないことになる。

最初にR21が求められ、順次他の式に代入して他のインピーダンスパラメータを解いていくと

\begin{eqnarray}<br />R_{21}&=&\sqrt{R_1 R_2}\\<br />R_{11}&=&R_1\\<br />R_{22}&=&R_2\\<br />R_{12}&=&\sqrt{R_1 R_2}\\<br />Z&=&\left[\begin{array}R_{11}&R_{12}\\R_{21}&R_{22}\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}R_1&\sqrt{R_1 R_2}\\\sqrt{R_1 R_2}&R_2\end{array}\right]<br />\end{eqnarray}

ということになる。これは抵抗性変成器であることに他ならない。
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