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投稿者 スレッド
webadm
投稿日時: 2010-11-30 0:01
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3068
続:対称回路
次も対称回路に関する問題。

問題文では軸対称二端子対回路が対称格子型回路と等価であることを証明せよということになっている。



しかし前の問題でも明らかのように対称回路では軸対称でなくとも2つの映像インピーダンスは等しくなる(どちら向きでも伝送行列が等しいため、その固有値(伝達定数)と固有ベクトル(映像インピーダンス)が一致する線形代数的な性質による)ので軸対称回路に限定されないと思われる。

すでに同じ結論を前問で導いてしまっているので、ここでは違うアプローチで同じ結論を得ることにしよう。

右の対称格子型回路の伝送行列を計算してみよう。前の問題で対称格子型回路は2つの対称二端子対回路を並列接続したものと等価であることから

\begin{eqnarray}<br />F_1&=&\left[\begin{array}A_1&B_1\\C_1&D_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}-1&-2 Z_f\\0&-1\end{array}\right]=\left[\begin{array}-1&-2 Z_{0} coth\frac{\theta}{2}\\0&-1\end{array}\right]=\left[\begin{array}-1&-2 Z_{0} \frac{{e}^{\frac{\theta}{2}}+{e}^{-\frac{\theta}{2}}}{{e}^{\frac{\theta}{2}}-{e}^{-\frac{\theta}{2}}}\\0&-1\end{array}\right]\\<br />F_2&=&\left[\begin{array}A_2&B_2\\C_2&D_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}1&2 Z_s\\0&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}1&2 Z_{0} tanh\frac{\theta}{2}\\0&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}1&2 Z_{0} \frac{2}{{e}^{\frac{\theta}{2}}+{e}^{-\frac{\theta}{2}}}\\0&1\end{array}\right]\\<br />F&=&\left[\begin{array}A&B\\C&D\end{array}\right]=\left[\begin{array}\frac{A_1 B_2+A_2 B_1}{B_1+B_2}&\frac{B_1 B_2}{B_1+B_2}\\C_1+C_2+\frac{\left(A_2-A_1\right)\left(D_1-D_2\right)}{B_1+B_2}&\frac{D_1 B_2+D_2 B_1}{B_1+B_2}\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}\frac{{e}^{\theta}}{2}+\frac{{e}^{-\theta}}{2} & \frac{{e}^{\theta}\,Z_0}{2}-\frac{{e}^{-\theta}\,Z_0}{2}\cr \frac{{e}^{\theta}}{2\,Z_0}-\frac{{e}^{-\theta}}{2\,Z_0} & \frac{{e}^{\theta}}{2}+\frac{{e}^{-\theta}}{2}\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}cosh\theta & Z_{0} sinh\theta\cr \frac{sinh\theta}{Z_{0}} & cosh\theta\end{array}\right]\\<br />\end{eqnarray}

これは映像パラメータZ0,θ,Z0を持つ対称二端子対回路の伝送行列であることから等価であることが証明された。

P.S

対称回路には等価な対称格子型回路が存在することが証明されたが、非対称回路と等価な非対称格子型回路は存在するだろうか? そうだとするとすべての線形受動回路と等価な格子型回路が存在するということになる。この予想が正しいかどうか証明するのは読者の課題としよう(´∀` )
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