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投稿者 スレッド
webadm
投稿日時: 2010-12-8 10:37
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3068
続:一方向性回路
次も一方向性回路の問題。

以下の回路が一方向性となるためのZの条件を求めよというもの。ただし回路の角周波数をωとする。



著者は前問の解を利用して解いているが、それとは別解でやってみよう。

以下の様にZを流れる閉回路電流I3を考える



以下の関係式が成り立つ

\begin{eqnarray}<br />E_1&=&Z I_3+E_2\\<br />n E_1&=&j\omega L\left(I_2-I_3\right)+E_2\\<br />\frac{I_1-I_3}{n}&=&I_2-I_3<br />\end{eqnarray}

第一の式をn倍したものから第二の式を差し引いてE1を消去してI3を導くと

\begin{eqnarray}<br />0&=&n Z I_3+n E_2-j\omega L\left(I_2-I_3\right)-E_2\\<br />&=&\left(n Z +j\omega L\right)I_3-j\omega L I_2+\left(n-1\right)E_2\\<br />I_3&=&\frac{1-n}{n Z+j\omega L}E_2+\frac{j\omega L}{n Z+j\omega L}I_2<br />\end{eqnarray}

これを第一の式に代入して整理すると

\begin{eqnarray}<br />E_1&=&Z I_3+E_2=Z\left(\frac{1-n}{n Z+j\omega L}E_2+\frac{j\omega L}{n Z+j\omega L}I_2\right)+E_2\\<br />&=&\left(\frac{\left(1-n\right)Z}{n Z+j\omega L}+1\right)E_2+\frac{j\omega L Z}{n Z+j\omega L}I_2\\<br />&=&\frac{Z+j\omega L}{n Z+j\omega L}E_2+\frac{j\omega L Z}{n Z+j\omega L}I_2<br />\end{eqnarray}

一方第三の式の両辺にnを乗じてI3について整理すると

\begin{eqnarray}<br />I_1-I_3&=&n\left(I_2-I_3\right)\\<br />\left(1-n\right)I_3&=&I_1-n I_2\\<br />I_3&=&\frac{I_1-n I_2}{1-n}<br />\end{eqnarray}

これを第一の式をn倍したものと第二の式にそれぞれ代入して差分をとりI1について整理すると

\begin{eqnarray}<br />n E_1&=&n E_2+n Z\frac{I_1-n I_2}{1-n}\\<br />n E_1&=&E_2+j\omega L\left(I_2-\frac{I_1-n I_2}{1-n}\right)\\<br />0&=&\left(n-1\right)E_2+n Z\frac{I_1-n I_2}{1-n}-j\omega L\left(I_2-\frac{I_1-n I_2}{1-n}\right)\\<br />&=&\left(1-n\right)\left(n-1\right)E_2+n Z\left(I_1-n I_2\right)-j\omega L\left(\left(1-n\right)I_2-\left(I_1-n I_2\right)\right)\\<br />&=&-\left(n-1\right)^2 E_2+n Z\left(I_1-n I_2\right)-j\omega L\left(I_2-I_1\right)\\<br />\left(n Z+j\omega L\right)I_1&=&\left(n-1\right)^2 E_2+\left(n^2 Z+j\omega L\right)I_2\\<br />I_1&=&\frac{\left(n-1\right)^2}{n Z+j\omega L}E_2+\frac{n^2 Z+j\omega L}{n Z+j\omega L}I_2<br />\end{eqnarray}

ということになる。

すなわち回路全体の伝送行列と行列式は

\begin{eqnarray}<br />\left[F\right]&=&\left[\begin{array}\frac{Z+j\omega L}{n Z+j\omega L}&\frac{j\omega L Z}{n Z+j\omega L}\\\frac{\left(n-1\right)^2}{n Z+j\omega L}&\frac{n^2 Z+j\omega L}{n Z+j\omega L}\end{array}\right]\\<br />\left|F\right|&=&\frac{\left( Z+j\,\omega\,L\right) \,\left( {n}^{2}\,Z+j\,\omega\,L\right) }{{\left( n\,Z+j\,\omega\,L\right) }^{2}}-\frac{j\,{\left( n-1\right) }^{2}\,\omega\,L\,Z}{{\left( n\,Z+j\,\omega\,L\right) }^{2}}\\<br />&=&\frac{{n}^{2}\,{Z}^{2}+2\,j\,n\,\omega\,L\,Z-{\omega}^{2}\,{L}^{2}}{{\left( n\,Z+j\,\omega\,L\right) }^{2}}\\<br />&=&1<br />\end{eqnarray}

む、困ったことに行列式が0にならないではないか。

分子が0になる条件であれば

\begin{eqnarray}<br />{n}^{2}\,{Z}^{2}+2\,j\,n\,\omega\,L\,Z-{\omega}^{2}\,{L}^{2}&=&\left(n Z+j\omega L\right)^2=0\\<br />Z&=&-\frac{j\omega L}{n}\\<br />&=&\frac{1}{j\frac{n}{\omega L}}\\<br />&=&\frac{1}{j\omega C}\\<br />C&=&\frac{n}{\omega^2 L}<br />\end{eqnarray}

ということで著者の解と同じになるが、この条件だと分母も0になってしまう。

どうすんだこれ(;´Д`)

ちなみにこれが理想変成器ではなくジャイレータだったらどうなるかやってみよう。



以下の関係式が成り立つ

\begin{eqnarray}<br />E_1&=&Z I_3+E_2\\<br />R\left(I_1-I_3\right)&=&j\omega L\left(I_2-I_3\right)+E_2\\<br />E_1&=&\left(I_2-I_3\right)R<br />\end{eqnarray}

第一の式からI3を導いて第三の式に代入して整理すると

\begin{eqnarray}<br />I_3&=&\frac{E_1-E_2}{Z}\\<br />E_1&=&\left(I_2-I_3\right)R=\left(I_2-\frac{E_1-E_2}{Z}\right)R\\<br />&=&R I_2-\frac{R}{Z}E_1+\frac{R}{Z}E_2\\<br />\left(1+\frac{R}{Z}\right)E_1&=&R I_2+\frac{R}{Z}E_2\\<br />E_1&=&\frac{Z R}{R+Z}I_2+\frac{\cancel{Z} R}{\cancel{Z}\left(R+Z\right)}E_2\\<br />&=&\frac{Z R}{R+Z}I_2+\frac{R}{R+Z}E_2<br />\end{eqnarray}

同様に第二の式から導いたI3を第一の式と第三の式の差分に代入して整理すると

\begin{eqnarray}<br />\left(I_1-I_3\right)R&=&j\omega L\left(I_2-I_3\right)+E_2\\<br />R I_1-R I_3&=&j\omega L I_2-j\omega L I_3+E_2\\<br />\left(R-j\omega L\right)I_3&=&R I_1-j\omega L I_2-E_2\\<br />I_3&=&\frac{R}{R-j\omega L}I_1-\frac{j\omega L}{R-j\omega L}I_2-\frac{1}{R-j\omega L}E_2\\<br />0&=&\left(I_2-I_3\right)R-Z I_3-E_2\\<br />&=&\left(I_2-\left(frac{R}{R-j\omega L}I_1-\frac{j\omega L}{R-j\omega L}I_2-\frac{1}{R-j\omega L}E_2\right)R-Z\left(frac{R}{R-j\omega L}I_1-\frac{j\omega L}{R-j\omega L}I_2-\frac{1}{R-j\omega L}E_2\right)-E_2\\<br />&=&R I_2-\frac{R^2}{R-j\omega L}I_1+\frac{j\omega L}{R-j\omega L}I_2+\frac{R}{R-j\omega L}E_2-\frac{Z R}{R-j\omega L}I_1+\frac{j\omega L Z}{R-j\omega L}I_2+\frac{Z}{R-j\omega L}E_2-E_2\\<br />&=&\left(R+\frac{j\omegaL\left(R+Z\right)}{R-j\omega L}\right)I_2-\frac{R\left(R+Z\right)}{R-j\omega L}I_1+\left(\frac{R+Z}{R-j\omega L}-1\right)E_2\\<br />&=&\frac{R\left(R-\cancel{j\omega L}\right)+j\omega L\left(\cancel{R}+Z\right)}{R-j\omega L}I_2-\frac{R\left(R+Z\right)}{R-j\omega L}I_1+\frac{\cancel{R}+Z-\left(\cancel{R}-j\omega L\right)}{R-j\omega L}E_2\\<br />&=&\frac{R^2+j\omega L Z}{R-j\omega L}I_2-\frac{R\left(R+Z\right)}{R-j\omega L}I_1+\frac{Z+j\omega L}{R-j\omega L}E_2\\<br />I_1&=&\left(\frac{\cancel{R-j\omega L}}{R\left(R+Z\right)}\right)\left(\frac{R^2+j\omega L Z}{\cancel{R-j\omega L}}\right)I_2+\left(\frac{\cancel{R-j\omega L}}{R\left(R+Z\right)}\right)\left(\frac{Z+j\omega L}{\cancel{R-j\omega L}}\right)E_2\\<br />&=&\frac{R^2+j\omega L Z}{R\left(R+Z\right)}I_2+\frac{Z+j\omega L}{R\left(R+Z\right)}E_2\\<br />\end{eqnarray}

従って回路全体の伝送行列と行列式から行列式の値が0となるZの条件は

\begin{eqnarray}<br />\left[F\right]&=&\left[\begin{array}\frac{R}{R+Z}&\frac{Z R}{R+Z}\\\frac{Z+j\omega L}{R\left(R+Z\right)}&\frac{R^2+j\omega L Z}{R\left(R+Z\right)}\end{array}\right]\\<br />\left|F\right|&=&\frac{j\,\omega\,L\,Z+{R}^{2}}{{\left( Z+R\right) }^{2}}-\frac{Z\,\left( Z+j\,\omega\,L\right) }{{\left( Z+R\right) }^{2}}\\<br />&=&-\frac{Z-R}{Z+R}=0\\<br />Z&=&R<br />\end{eqnarray}

ということになる。ジャイレータの場合にはうまくいく。

よく考えれば先の理想変成器の場合でも最後の行列式の条件を以下の様に分母を先に乗じて払い去れば

\begin{eqnarray}<br />\left[F\right]&=&\left[\begin{array}\frac{Z+j\omega L}{n Z+j\omega L}&\frac{j\omega L Z}{n Z+j\omega L}\\\frac{\left(n-1\right)^2}{n Z+j\omega L}&\frac{n^2 Z+j\omega L}{n Z+j\omega L}\end{array}\right]\\<br />\left|F\right|&=&\frac{\left( Z+j\,\omega\,L\right) \,\left( {n}^{2}\,Z+j\,\omega\,L\right) }{{\left( n\,Z+j\,\omega\,L\right) }^{2}}-\frac{j\,{\left( n-1\right) }^{2}\,\omega\,L\,Z}{{\left( n\,Z+j\,\omega\,L\right) }^{2}}\\<br />&=&\frac{{n}^{2}\,{Z}^{2}+2\,j\,n\,\omega\,L\,Z-{\omega}^{2}\,{L}^{2}}{{\left( n\,Z+j\,\omega\,L\right) }^{2}}=0\\<br />{n}^{2}\,{Z}^{2}+2\,j\,n\,\omega\,L\,Z-{\omega}^{2}\,{L}^{2}&=&\left(n Z+j\omega L\right)^2=0\\<br />Z&=&-\frac{j\omega L}{n}\\<br />&=&\frac{1}{j\omega C}\\<br />C&=&\frac{n}{\omega^2 L}<br />\end{eqnarray}

ということになる。

これでよしとしよう( ´∀`)

P.S

こうした一方向性回路は検索しても情報が乏しい。特許とも絡むので各社の技術者のノウハウだからかもしれない。以前の問題で紹介したFRG-7000の増幅回路にあるブリッジcapacitorも第一中間周波数でバッファ回路を一方向性にするためのものと思われる。



問題の回路の理想変成器とLの縦続接続回路は漏れ磁束のある結合トランスの等価回路である。

FRG-7000の第一中間周波数の中心周波数は55MHzなのでn=1として漏れinductanceをブリッジcapacitorの容量とから上の式で逆算してみると

\begin{eqnarray}<br />C&=&\frac{n}{\omega^2 L}\\<br />L&=&\frac{n}{\omega^2 C}\\<br />&=&\frac{1}{\left(2\pi\time 55 \time 10^6\right)^2 2\time 10^{-12}}\\<br />&=&\frac{1}{24200\,{\pi }^{2}}\\<br />&=&4.1868257703445361\,{10}^{-6}\,[H]<br />\end{eqnarray}

従って第一中間周波トランスの漏れinductance容量は約4μHということになる。

もっと単純に考えると結合トランスの漏れinductanceの誘導性reactance値と正反対の容量性reactance値を持つcapacitorでブリッジすることで中和する回路と考えて良いかもしれない。LとCの関係式の両辺にjωを乗じて整理すると

\begin{eqnarray}<br />L&=&\frac{n}{\omega^2 C}\\<br />j\omega L-j\frac{n}{\omega C}&=&0\\<br />j\omega L+\frac{n}{j\omega C}&=&0<br />\end{eqnarray}

となるからである。この中和という考え方は出力信号が入力側に漏れることが避けられない三極管増幅回路の頃から確かあったと記憶する。中学生の頃に読んでいた「ラジオの製作」に掲載された「三極管ファイナル送信機の製作」という投稿記事で中和を使って発振し易い三極管をあえてファイナル段に使った送信機を製作した一部始終が紹介されていて吸い込まれるように読みふけった。いつか自分でも作ろうとして記事を毎日眺めているうちに茶色く紙面が変色してとうとう作る機会は訪れなかったけど。忘れられない記事だった。

理想的にはブリッジキャパシタンスをトリマーコンデンサーにしてちゃんと一方向性になるように調整するとイメージ混信を低減できて良いのかもしれない。といっても容量が数pFなのでビニール被服銅線を寄り合わせる程度かもしれない。

P.S

問題の回路ではブリッジ接続だけだが、実際には共通帰線を持つように回路の底部も短絡ブリッジする必要がある。

FRG-7000の回路でも結合トランスの片方はグランドに交流的に短絡してある。
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