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webadm	投稿日時: 2010-12-20 22:52
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3086	reactance回路次の問題はreactance回路に関するもの線形受動素子のみで構成された二端子対回路において電力が消費されないならば、そのインピーダンスパラメータはすべて純虚数となることを証明せよとのこと。著者の解とは別のやり方で証明してみよう。ラング線形代数学（下）の最初の章にこの証明のヒントがある。線形受動回路で消費される有効電力は線形代数の双線形形式(bilinear form)で下記の様に表される $\begin{eqnarray}<br />E&=&\left[\begin{array}E_1\\E_2\end{array}\right]\\<br />I&=&\left[\begin{array}I_1\\I_2\end{array}\right]\\<br />E&=&Z I\\<br />Z&=&\left[\begin{array}Z_{11}&Z_{12}\\Z_{21}&Z_{22}\end{array}\right]\\<br />P_a&=&Re\left(E^{t}\overline{I}\right)=\frac{1}{2}\left(E^{t}\overline{I}+\overline{E^{t}\overline{I}}\right)\\<br />&=&\frac{1}{2}\left(\left(Z I\right)^{t}\overline{I}+\overline{\left(Z I\right)^{t}\overline{I}}\right)\\<br />&=&\frac{1}{2}\left(I^{t}Z^{t}\overline{I}+\overline{I}^{t}\overline{Z}^{t}I\right)\\<br />&=&\frac{1}{2}\overline{I}^{t}\left(Z+\overline{Z}^{t}\right)I\\<br />&=&\frac{1}{2}\overline{I}^{t}\left(Z+\overline{Z}\right)I\\<br />&=&0\\<br />I^{t}Z^{t}\overline{I}&=&\left(I^{t}Z^{t}\overline{I}\right)^{t}=\overline{I}^{t} Z I\\<br />Z^{t}&=&Z\\<br />\end{eqnarray}$ これは線形受動回路のインピーダンス行列Zが対称行列であることから線形代数の双線形形式の性質を利用している。従って上記を満足するための必要十分条件は $\begin{eqnarray}<br />Z+\overline{Z}&=&0\\<br />Z&=&-\overline{Z}<br />\end{eqnarray}$ 従って $\begin{eqnarray}<br />\left[\begin{array}Z_{11}&Z_{12}\\Z_{21}&Z_{22}\end{array}\right]&=&-\left[\begin{array}\overline{Z_{11}}&\overline{Z_{12}}\\\overline{Z_{21}}&\overline{Z_{22}}\end{array}\right]\\<br />Z_{11}&=&-\overline{Z_{11}}\\<br />Z_{12}&=&Z_{21}=-\overline{Z_{12}}=-\overline{Z_{21}}\\<br />Z_{22}&=&-\overline{Z_{22}}<br />\end{eqnarray}$ すなわちZ11,Z12,Z21,Z22の実数部が0の純虚数でなければならない。 P.S ラング線形代数学（下）は専門的（数学的）な内容で最初の章から難解で躓いていたが、この問題に到達した時に一瞬で理解できるようになった。やはり電気回路理論と線形代数学は同時期に学ぶと良い。 P.S 証明のもう一つのアプローチとして、インピーダンスパラメータが純虚数でないと仮定して最初の前提と矛盾することを示すやりかたがある。これは良い練習になるので読者の課題としよう（´∀｀　） P.S ちなみに線形代数では特定の性質を持った行列には名前がついている。この問題のインピーダンス行列Zの条件 $\begin{eqnarray}<br />Z&=&-\overline{Z}<br />\end{eqnarray}$ を満たす行列は歪Hermite行列という名前がついている。すなわちリアクタンス行列は歪Hermite行列の実相というわけである。 Hermiteは現代ではエルミートと呼ぶが、高木貞治の「代数学講義」の"§67 ヘルミートの二次形式"の演習問題で、歪Hermite行列に関する問題が出ている。ここにすでにヒントがあったことは驚きである。

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題名	投稿者	日時
2端子対回路演習問題	webadm	2010-5-20 4:53
インピーダンスパラメータ	webadm	2010-5-20 5:54
インピーダンスパラメータとアドミッタンスパラメータ	webadm	2010-5-22 23:43
インピーダンスパラメータとハイブリッドパラメータ	webadm	2010-5-23 1:32
インピーダンス行列とアドミッタンス行列	webadm	2010-5-23 10:12
T形回路	webadm	2010-5-23 16:25
続：T形回路	webadm	2010-5-23 16:33
π形回路	webadm	2010-5-23 17:20
Zobel変換	webadm	2010-5-23 17:58
ハイブリッドパラメータ	webadm	2010-5-24 17:53
アドミッタンスパラメータと４端子定数	webadm	2010-5-26 11:41
伝送行列	webadm	2010-5-26 14:34
T形回路の伝送行列	webadm	2010-5-26 15:14
4端子定数	webadm	2010-5-27 3:18
続：伝送行列	webadm	2010-5-27 13:50
続：４端子定数	webadm	2010-5-27 22:14
続々：４端子定数	webadm	2010-5-29 3:39
インピーダンス行列	webadm	2010-5-29 11:27
アドミッタンス行列	webadm	2010-5-29 11:57
またまた：４端子定数	webadm	2010-5-30 11:15
二端子対回路の並列接続	webadm	2010-5-30 12:37
もうひとつの：４端子定数	webadm	2010-5-30 12:45
アドミッタンスパラメータ	webadm	2010-6-3 12:42
まだまだ：４端子定数	webadm	2010-6-5 13:04
影像パラメータと４端子定数	webadm	2010-6-5 13:44
影像パラメータ	webadm	2010-6-12 22:30
続：影像パラメータ	webadm	2010-6-13 5:07
続々：影像パラメータ	webadm	2010-6-17 5:13
影像インピーダンス	webadm	2010-6-17 16:21
続：影像インピーダンス	webadm	2010-6-17 19:40
まだまだ：影像パラメータ	webadm	2010-6-22 18:50
もうひとつの：影像パラメータ	webadm	2010-6-25 21:54
４端子定数と影像インピーダンス	webadm	2010-6-26 0:45
インピーダンス整合	webadm	2010-6-26 11:27
もうひとつの：影像インピーダンス	webadm	2010-6-26 21:55
反復インピーダンスと４端子定数	webadm	2010-6-27 0:05
反復パラメータ	webadm	2010-6-28 21:04
影像インピーダンスと反復インピーダンス	webadm	2010-6-29 18:16
π形回路の伝送行列、影像パラメータ、反復パラメータ	webadm	2010-7-8 21:06
相互誘導回路と理想変成器	webadm	2010-7-28 6:11
Norton変換	webadm	2010-8-17 10:44
続：Norton変換	webadm	2010-8-17 20:48
容量性変成器	webadm	2010-8-18 3:42
抵抗性変成器	webadm	2010-8-21 10:11
理想ジャイレーター	webadm	2010-10-31 3:26
続：理想ジャイレータ	webadm	2010-11-19 2:41
続々：ジャイレータ	webadm	2010-11-23 21:29
対称回路	webadm	2010-11-25 9:18
続：対称回路	webadm	2010-11-30 0:01
続々：対称回路	webadm	2010-11-30 9:27
またまた：対称回路	webadm	2010-11-30 23:28
軸対称二端子対回路	webadm	2010-12-3 8:26
一方向性回路	webadm	2010-12-8 9:13
続：一方向性回路	webadm	2010-12-8 10:37
Zパラメータ	webadm	2010-12-9 22:51
続：Zパラメータ	webadm	2010-12-10 0:17
４端子定数	webadm	2010-12-14 6:51
理想オペアンプ	webadm	2010-12-14 7:03
続々：Zパラメータ	webadm	2010-12-20 10:10
» reactance回路	webadm	2010-12-20 22:52
全域通過回路	webadm	2010-12-23 13:53
最小位相推移回路	webadm	2010-12-23 21:54
続：最小位相推移回路	webadm	2011-4-22 7:02
続々：最小位相推移回路	webadm	2011-4-22 9:38

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