まだ続くRL直列回路の問題

これも少し捻ってある

図の回路は定常状態であるとする。いまt=0でスイッチSを開いたとするとき抵抗R2に流れる電流およびその消費電力を求めよ。



というもの。

今までの問題と回路が少し違うが、回路に電圧を加えるか取り去るかの違いでしかない。

t=0でスイッチが開くとR1に流れる電流は0となり、R2とLのみで閉回路を構成することになる。

スイッチが開くまではR1,Lには定常電流が流れていてLにエネルギーが蓄積された状態になっている。スイッチが開くと開放されたエネルギーはR2とで構成される閉回路に電流を流し続けようとする。エネルギーはR2で消費され次第に電流は減少しt=∞で0に近づくことが予想される。

というのは既に答えを知っている物の見方で、本来はスイッチが開いた時点でのLとR2で構成される閉回路で以下の線型一階同次微分方程式が成り立つことから出発すべきである。



両辺をLで割って主項の係数を取り払って正規形にすると



一般解はすぐに



であることが明らか。あとは未定係数Kを初期値問題として求めればよいことになる。

t<0ではスイッチが閉じていて定常電流I0=E/R1が流れていたわけなので



ということになる。従って一般解の式にKを代入すると特別解は



ということになる。

ここまでで半分解いたことになる。残り半分はR2で消費される電力を求める問題が残っている。

スイッチが開いた以降R2で消費される瞬時値電力はR2とそれを流れる電流iとで



である。これをt=+0から∞まで積分すれば消費されるエネルギーが得られる



ということになる。これはt<0の定常状態でLに蓄えられていたエネルギー量そのものである。これで積年のエネルギーの式に1/2がある理由がやっとわかった（´∀｀　）

P.S

題意では電力を求めよとあるが、その意図するところはエネルギー量(単位J)である。そのため記号をPではなくWに変更した。