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webadm	投稿日時: 2011-11-5 20:42
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3086	まだまだ:断続部の有るRL直列回路更に続くRL直列回路、いささか食傷気味しかしこれはスイッチング回路の面白い問題。図の回路において、電流iがi1に達したときスイッチを開き、iがi2に低下したときに閉じることを繰り返すものとする。十分に時間が経過した後のスイッチを開閉する周期Tを求めよ。というもの。面白いだけにちょっと難しい。スイッチを閉じると定常電流がE/(R1+R2)からE/R2に変化するのでそこへ向かって連続的に電流が増加していく。電流がi1に達すると今度はスイッチが開いて定常電流E/(R1+R2)に向かって電流が連続的に減っていきi2に達すると再び電流が増加していく。i1,i2も有限時間内に達する必要から定常電流値とは異なる必要がある。つまり定常状態でスイッチが開閉するわけではないのだ。つまり $\begin{eqnarray}<br />\frac{E}{R_1+R_2}\lt i_2\lt i_1\lt \frac{E}{R_2}<br />\end{eqnarray}$ という関係になる。スイッチが閉じている間は以下の関係が成り立つ $\begin{eqnarray}<br />L\frac{di}{dt}+R_2\,i&=&E<br />\end{eqnarray}$ これを解くと一般解は $\begin{eqnarray}<br />i&=&e^{-\frac{R_2}{L}t}\left(\int\,\frac{E}{L}e^{\frac{R_2}{L}t}dt+K\right)\\<br />&=&e^{-\frac{R_2}{L}t}\left(\frac{E}{\cancel{L}}\frac{\cancel{L}}{R_2}e^{\frac{R_2}{L}t}+K\right)\\<br />&=&\frac{E}{R_2}+K\,e^{-\frac{R_2}{L}t}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。初期条件としてt=+0の時にi=i2とすると $\begin{eqnarray}<br />\left. i\right\|_{t=+0}&=&\left. \frac{E}{R_2}+K\,e^{-\frac{R_2}{L}t}\right\|_{t=+0}\\<br />&=&\frac{E}{R_2}+K=i_2\\<br />K&=&i_2-\frac{E}{R_2}\\<br />i&=&\frac{E}{R_2}+\left(i_2-\frac{E}{R_2}\right)e^{-\frac{R_2}{L}t}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。また電流がi1に達するt=T1には以下の関係が成り立つ $\begin{eqnarray}<br />\left. i\right\|_{t=T_1}&=&\left. \frac{E}{R_2}+\left(i_2-\frac{E}{R_2}\right)e^{-\frac{R_2}{L}t}\right\|_{t=T_1}\\<br />&=&\frac{E}{R_2}+\left(i_2-\frac{E}{R_2}\right)e^{-\frac{R_2}{L}T_1}=i_1<br />\end{eqnarray}$ 従ってi2からi1への遷移時間T1は $\begin{eqnarray}<br />e^{-\frac{R_2}{L}T_1}&=&\frac{i_1-\frac{E}{R_2}}{i_2-\frac{R}{R_2}}\\<br />e^{\frac{R_2}{L}T_1}&=&\frac{i_2-\frac{E}{R_2}}{i_1-\frac{E}{R_2}}\\<br />\frac{R_2}{L}T_1&=&\ln\left(\frac{i_2-\frac{E}{R_2}}{i_1-\frac{E}{R_2}}\right)\\<br />T_1&=&\frac{L}{R_2}\ln\left(\frac{i_2-\frac{E}{R_2}}{i_1-\frac{E}{R_2}}\right)<br />\end{eqnarray}$ ということになる。一方スイッチが開いている間は以下の関係が成り立つ $\begin{eqnarray}<br />L\frac{di}{dt}+\left(R_1+R_2\right)\,i&=&E<br />\end{eqnarray}$ これを解くと一般解は $\begin{eqnarray}<br />i&=&e^{-\frac{R_1+R_2}{L}t}\left(\int\frac{E}{L}e^{\frac{R_1+R_2}{L}t}dt+K_1\right)\\<br />&=&\frac{E}{R_1+R_2}+K_1\,e^{-\frac{R_1+R_2}{L}t}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。初期条件としてt=+T1でi1と等しいとおくと $\begin{eqnarray}<br />\left. i\right\|_{t=+0}&=&\left. \frac{E}{R_1+R_2}+K_1\,e^{-\frac{R_1+R_2}{L}t}\right\|_{t=+T_1}\\<br />&=&\frac{E}{R_1+R_2}+K_1\,e^{-\frac{R_1+R_2}{L}T_1}\\<br />&=&i_1\\<br />K_1&=&\left(i_1-\frac{E}{R_1+R_2}\right)e^{\frac{R_1+R_2}{L}T_1}\\<br />i&=&\frac{E}{R_1+R_2}+\left(i_1-\frac{E}{R_1+R_2}\right)e^{\frac{R_1+R_2}{L}T_1}e^{-\frac{R_1+R_2}{L}t}\\<br />\end{eqnarray}$ ということになる。t=T2で電流が再びi2に達するとすると以下の関係が成り立つ $\begin{eqnarray}<br />\left. i\right\|_{t=T_2}&=&\left. \frac{E}{R_1+R_2}+\left(i_1-\frac{E}{R_1+R_2}\right)e^{\frac{R_1+R_2}{L}T_1}e^{-\frac{R_1+R_2}{L}t}\right\|_{t=T_2}\\<br />&=&\frac{E}{R_1+R_2}+\left(i_1-\frac{E}{R_1+R_2}\right)e^{\frac{R_1+R_2}{L}T_1}e^{-\frac{R_1+R_2}{L}T_2}\\<br />&=&i_2<br />\end{eqnarray}$ 従ってこれをT2に関して解くと $\begin{eqnarray}<br />e^{\frac{R_1+R_2}{L}T_2}&=&\frac{i_1-\frac{E}{R_1+R_2}}{i_2-\frac{E}{R_1+R_2}}e^{\frac{R_1+R_2}{L}T_1}\\<br />\frac{R_1+R_2}{L}T_2&=&\ln\left(\frac{i_1-\frac{E}{R_1+R_2}}{i_2-\frac{E}{R_1+R_2}}\right)+\frac{R_1+R_2}{L}T_1\\<br />T_2&=&\frac{L}{R_1+R_2}\ln\left(\frac{i_1-\frac{E}{R_1+R_2}}{i_2-\frac{E}{R_1+R_2}}\right)+T_1<br />\end{eqnarray}$ ということになる。従って周期TはT2であるので上の式に先のT1の式を代入すると $\begin{eqnarray}<br />T&=&T_2=\frac{L}{R_1+R_2}\ln\left(\frac{i_1-\frac{E}{R_1+R_2}}{i_2-\frac{E}{R_1+R_2}}\right)+\frac{L}{R_2}\ln\left(\frac{i_2-\frac{E}{R_2}}{i_1-\frac{E}{R_2}}\right)<br />\end{eqnarray}$ ということになる。 R1=R2=L=1,i1=0.8,i2=0.6とした場合のグラフをプロットするとグラフをプロットする関係上もあって、著者とは別解となった。

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題名	投稿者	日時
過渡現象演習問題	webadm	2011-11-1 17:19
RL直列回路	webadm	2011-11-1 17:32
続：RL直列回路	webadm	2011-11-3 5:24
続々：RL直列回路	webadm	2011-11-3 6:23
まだまだ：RL直列回路	webadm	2011-11-3 8:44
もうひとつの：RL直列回路	webadm	2011-11-3 15:53
またまた：RL直列回路	webadm	2011-11-3 16:32
断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-4 1:09
続：断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-4 2:29
RL並列回路	webadm	2011-11-4 7:48
続々：断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-5 10:47
» まだまだ:断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-5 20:42
もうひとつの：断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-6 1:32
またしても：RL直列回路	webadm	2011-11-6 2:44
鎖交磁束不変の理	webadm	2011-11-6 6:17
続：鎖交磁束不変の理	webadm	2011-11-8 5:08
続々：鎖交磁束不変の理	webadm	2011-11-8 7:42
またひとつの：RL直列回路	webadm	2011-11-10 7:26
RL直並列回路	webadm	2011-12-29 5:39
相互誘導回路	webadm	2012-1-11 8:53
続：相互誘導回路	webadm	2012-1-11 10:52
続々：相互誘導回路	webadm	2012-1-14 21:44
まだまだ：相互誘導回路	webadm	2012-1-22 3:04
RC直列回路	webadm	2012-1-22 23:50
続：RC直列回路	webadm	2012-1-23 1:37
続々：RC直列回路	webadm	2012-1-23 4:15
まだまだ：RC直列回路	webadm	2012-1-24 9:31
もうひとつの：RC直列回路	webadm	2012-1-27 7:27
またまた：RC直列回路	webadm	2012-1-29 0:18
電荷量不変の理	webadm	2012-1-29 0:45
続：電荷量不変の理	webadm	2012-2-4 9:41
断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-7 6:22
続：断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-10 9:18
続々：断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-12 20:06
まだまだ：断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-12 23:06
もうひとつの：断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-14 7:38
RC並列回路	webadm	2012-2-14 8:48
続：RC並列回路	webadm	2012-4-5 10:59
LC直列回路	webadm	2012-4-10 8:07
続:LC直列回路	webadm	2012-4-11 15:26
続々：LC直列回路	webadm	2012-4-14 6:36
まだまだ：LC直列回路	webadm	2012-4-14 17:43
LC並列回路	webadm	2012-4-15 0:24
断続部のあるLC並列回路	webadm	2012-4-16 3:54
続：断続部のあるLC並列回路	webadm	2012-4-17 9:05
断続部のあるブリッジ回路	webadm	2012-5-5 18:09
RLC直列回路	webadm	2012-5-5 23:12
続：RLC直列回路	webadm	2012-5-6 19:26
続々:RLC直列回路	webadm	2012-5-6 19:53
まだまた：RLC直列回路	webadm	2012-5-6 21:41
RLC直並列回路	webadm	2012-5-7 2:09
続：RLC直並列回路	webadm	2012-5-8 8:31
続々：RLC直並列回路	webadm	2012-5-12 18:14
RL直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-13 1:37
続：RL直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-13 22:24
続々：RL直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-13 23:03
RC直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-14 8:11
LC直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-19 19:10
RLC直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-23 4:47
RL直並列回路（交流入力）	webadm	2012-5-28 23:28
相互誘導回路	webadm	2012-8-3 7:14
続：相互誘導回路	webadm	2012-8-4 23:52
続々：相互誘導回路	webadm	2012-8-5 2:55
線型性	webadm	2012-8-6 21:08
非線型素子回路	webadm	2012-8-8 7:41
微分回路	webadm	2012-8-8 9:30
積分回路	webadm	2012-8-11 20:51
パルス回路	webadm	2012-8-11 22:35
交流ブリッジ回路	webadm	2012-8-11 23:00
最後のRL直列回路	webadm	2012-8-12 3:28

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