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投稿者 スレッド
webadm
投稿日時: 2012-1-11 10:52
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3068
続:相互誘導回路
次も相互誘導回路の問題

以下の回路におけるインダクタンスL1に直流電流I0が流れているとき、t=0でスイッチを閉じれば各回路にどのような電流が流れるか示せというもの。



これも以下の等価回路で考えてみることにする。



2つの閉回路に関して以下の連立微分方程式が成り立つ



これを線型代数のベクトルで表すと



ということになる。

係数行列Aの固有値は



ということになる。従って同次微分方程式の一般解は射影行列を使用して



ということになる。

従って非同次微分方程式の一般解は上記の基本解を用いて



ここでt=0の時にi1=I0,i2=0なる初期条件を与えると各電流は



ということになる。

もってまわった解き方だけど、線型代数と連立微分方程式を用いて解くという別解を示したかっただけだ。物理学や工学では線型代数と連立微分方程式は重要かつ不可欠になるので一緒に学ぶとよい。というか線型代数だけ学んでもなんのことやらさっぱり頭に入らないけど、連立微分方程式と一緒に学ぶとそういうことだったのかと問題の発端がわかるのである。

P.S

よく見るとi2の解が不可解である。t→∞でi2→M*I0/L2となってしまう。電源が取り去られた後も電流が永遠に流れ続けるというのはあり得ない。著者の解も同じ結果だったので安心していたが、どっか間違ってないか?

試しにMaximaで問題の連立微分方程式を解かせてみると、やっぱり同じ結果が得られる(;´Д`)



どうなってるんだ。誰も疑問に思わないのかこれ?

でもよく考えたらこれで正解なのかもしれない。というのも二次側の閉回路には抵抗が含まれていないのでエネルギーを消費しない。つまりL2とそれを含む閉回路が電気抵抗がゼロの超伝導体でできているとすれば起こり得ることである。

電気回路理論に出てくるインダクタンスは理想インダクタンスなので内部抵抗はゼロである。つまり超伝導体で出来ていると考えてよいし、配線も抵抗器を除いては超伝導体でつながっているとみなしてよい。

そういえば永久磁石なんていうのも、一度電磁誘導で磁性をもたせるとそのまま磁力を保持するというのも不思議だよね。原子か分子レベルで電流がループ状に永久に流れているとでも考えないと説明がつかない。

Faradayは最初電磁誘導の実験をする際に予め直感で二次側に電流が流れ続けることを予想していたが観測事実はそれを否定するものだった。その代わりそれまで知られていない相互誘導現象を確認できた。しかしFaradayの時代にもしも超伝導材料があったら、話しは違っていたかもしれない。Faradayの最初の予想が実は正しかったのだ(´∀` )
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