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投稿者 スレッド
webadm
投稿日時: 2012-2-4 9:41
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3068
続:電荷量不変の理
次も前問と似たような問題。

直流電圧Eで充電されたキャパシタンスC1に抵抗RとキャパシタンスC2を直列に接続して充電した。このときの放電電流iとキャパシタンスの電圧e1,e2を求めよ。また定常状態においてC1,C2に蓄積されるエネルギーの和とt=0におけるエネルギーとの差は抵抗Rで消費されることを証明せよ。ただしC2に初期電荷はないものとする。



というもの。

前問とはC1,C2の初期条件が異なる。それだけではなく、題意も捻ってあって、回路の電流だけでなくC1,C2の電圧を求める必要がある。更にエネルギー分配の証明問題のおまけつき。

C1,C2の電圧はC1,C2の電荷がわかれば前問の水タンクモデルのように水位を求めることができる。

以下の関係が成り立つ



これをHeavisideオペレータとベクトルで書き直すと



これを演算子法で解くと



ということになる。

従ってC1,C2の電圧は



ということになる。

一方定常状態でC1,C2に蓄積されるエネルギー量W1,W2は



ということになる。

従って題意にある定常状態のC1とC2のに蓄積されたエネルギーの和と、初期状態に蓄積されているエネルギーの差、それに抵抗Rで消費されるエネルギーは



ということで抵抗Rで消費されるエネルギーが初期状態でC1,C2に蓄えられていたエネルギーから定常状態でC1,C2に蓄えられているエネルギーを差し引いたものと等しいことが証明できた。

P.S

立式はもはや微分方程式ではなく、積分方程式を含む状態方程式となっている。戸惑うかもしれないが、電気回路理論を学んでいるのであって、微分方程式論を学んでいるのではないのだ。微分方程式で表すよりも積分方程式で表す方が見通しが良ければそれを使うべきである。Hevisideオペレーターが優れているのは微分作用素だけでなく積分作用素が混在する作用素方程式の問題に帰着させるためである。この方法は見通しが良いため物理学で多用されてきている。
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題名 投稿者 日時
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