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投稿者 スレッド
webadm
投稿日時: 2012-2-10 9:18
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3068
続:断続部のあるRC直列回路
次も断続部のある問題

定常状態にある下図の回路において、スイッチを閉じてからt秒後に抵抗rを流れる電流を求めよ。



問題があまり簡単に思われないように問題文は回りくどい言い方をしているが、要するに抵抗rを流れる電流を時間tを変数とする関数として求める問題である。もっと回りくどくなってしまった。

前問と違って時間遅れ要素は無いので易しい雰囲気があるが油断はできない。

回路はスイッチを閉じる前には既に定常状態であるのでR1,R2,Cと電源で構成される閉回路電流は0である。従ってCの両端の電圧が電源電圧Eと等しくなっていることは自明である。そうするとCに蓄えられている電荷やエネルギーも自ずときまる。

あとはスイッチを閉じた際に電源側から電流i1がキャパシタンスC側から電流i2がそれぞれ抵抗rに流れることが予想される。

この予想が正しければCに蓄えられた電荷qと抵抗rに流れ込む電流i1,i2に関して以下の関係が成り立つ



3元連立方程式となってしまったが、qを消去してi1,i2のみの二元連立方程式にすることができるかもしれない。とりあえず見通しが良いのでこのままHeavisideオペレータとベクトルで書き直すと、



これを演算子法で解くと



ということになる。抵抗rに流れる電流iはi1とi2の和であるので



ということになる。

導出途中は3次元配列になりページからはみ出てしまうので省略した。導出に間違いがないかを確認するのは読者の課題としよう(´∀` )

代数操作は面倒だけど間違えなければ答えは正しいとわかっているので精神的にも楽で見通しが良い。

問題がぬるぽ過ぎる(´∀` )

P.S

作用素方程式に帰着ぜずに微分方程式として解くならば、この問題は十分手強い。積分方程式をわざわざ微分して微分方程式にしなければならないし、そうすると非同次形であったものが同次形になり、初期値問題を解かねばならないという手間が増える。更に連立しているので同時にすべての解が得られるはずもなく。これでは工学モデルをたててそれを解くというおもしろさや痛快さが味わえないばかりか茨の道でもある。

かくいう自分自身も3つの不定元(関数)が演算子法で3つ同時に解けた瞬間を味わって若い学生時代に戻れたら苦痛でしかたのなかった応用力学とかの記憶を塗り替えられるのではと妄想に耽るのであった。体験するのがいささか遅きに過ぎたとは言えHeavisideの演算子法を再発見できた喜びは大きい。

19世紀のビクトリア王朝時代、Heavisideは演算子法に関する2つめのshifting theoryの論文を発表後、王立アカデミーは彼の以降の論文を拒否する決定を下した。演算子法に関する批判にHeavisideが火に油を注ぐような反論をしたためだ。彼は今使っている整数べきの演算子にとどまらず、分数べきの演算子を含む形に拡張していた。その論文は掲載を拒否されたので一般の知るところとは成らなかった。機会があれば探し出して見てみたいものである。
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