Gan's blog - フォーラム

メイン > > 電気回路理論おもちゃ箱 > 過渡現象演習問題

投稿者	スレッド
webadm	投稿日時: 2012-5-5 23:12
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3084	RLC直列回路これは理論の時にやった定番のRLC直列回路の問題静止状態にあるRLC直列回路にt=0で直流電圧Eを加えた。電流および最大値を求めよ。というもの。 RLC直列回路に電圧Eがステップ入力されたと考えることが出来る。以下の関係が成り立つ $\begin{eqnarray}<br />R\,i+L\frac{di}{dt}+\frac{1}{C}\int\,i\,dt&=&E<br />\end{eqnarray}$ これをHeaviside演算子で書き直すと $\begin{eqnarray}<br />\left(R+L\,p+\frac{1}{C\,p}\right)i&=&E<br />\end{eqnarray}$ ということになる。これを演算子法で解くと $\begin{eqnarray}<br />i&=&\frac{E}{R+L\,p+\frac{1}{C\,p}}\\<br />&=&\frac{p\,E}{L\left(p^{2}+\frac{R}{L}p+\frac{1}{L\,C}\right)}\\<br />&=&\frac{p\,E}{L\left(p+\frac{R}{2\,L}+\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{L\,C}}\right)\left(p+\frac{R}{2\,L}-\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{L\,C}}\right)}\\<br />&=&\frac{E}{2\,L\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{L\,C}}}\left(\frac{p}{p+\frac{R}{2\,L}-\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{L\,C}}}-\frac{p}{p+\frac{R}{2\,L}+\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{L\,C}}}\right)\\<br />&=&\frac{E}{2\,L\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{L\,C}}}\left(e^{-\left(\frac{R}{2\,L}-\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{L\,C}}\right)t}-e^{-\left(\frac{R}{2\,L}+\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{L\,C}}\right)t}\right)\\<br />&=&\frac{E}{2\,L\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{L\,C}}}\left(e^{\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{L\,C}}t}-e^{-\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{L\,C}}t}\right)e^{-\frac{R}{2\,L}t}\\<br />&=&\frac{E}{L\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{L\,C}}}\sinh\left(\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{L\,C}}t\right)e^{-\frac{R}{2\,L}t}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。これは非振動的なケースで以下の条件下では振動的となる $\begin{eqnarray}<br />\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{L\,C}\lt 0\\<br />\frac{R}{2\,L}\lt \frac{1}{\sqrt{L\,C}}<br />\end{eqnarray}$ この場合解は $\begin{eqnarray}<br />i&=&\frac{E}{j\,L\sqrt{\frac{1}{L\,C}-\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}}}\sinh\left(j\,\sqrt{\frac{1}{L\,C}-\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}}t\right)e^{-\frac{R}{2\,L}t}\\<br />&=&\frac{E}{L\sqrt{\frac{1}{L\,C}-\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}}}\sin\left(\sqrt{\frac{1}{L\,C}-\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}}t\right)e^{-\frac{R}{2\,L}t}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。問題の最大値であるが、それぞれの解の極大極小値を求めればよいことになる。非振動的ケースで電流iが極大極小値をとる条件は $\begin{eqnarray}<br />\frac{\partial{i}}{\partial{t}}&=&\frac{\partial}{\partial{t}}\left(\frac{E}{L\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{L\,C}}}\sinh\left(\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{L\,C}}t\right)e^{-\frac{R}{2\,L}t}\right)\\<br />&=&\frac{E}{L\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{L\,C}}}\left(\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{L\,C}}\cosh\left(\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{L\,C}}t\right)e^{-\frac{R}{2\,L}t}-\sinh\left(\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{L\,C}}t\right)\frac{R}{2\,L}e^{-\frac{R}{2\,L}t}\right)\\<br />&=&\frac{E}{L}\left(\cosh\left(\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{L\,C}}t\right)-\frac{R}{2\,L\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{L\,C}}}\sinh\left(\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{L\,C}}t\right)\right)e^{-\frac{R}{2\,L}t}\\<br />&=&0\\<br />0&=&\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{L\,C}}\cosh\left(\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{L\,C}}t\right)-\frac{R}{2\,L}\sinh\left(\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{L\,C}}t\right)\\<br />&=&\frac{2\,L\,\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{L\,C}}}{R}-\tanh\left(\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{L\,C}}t\right)\\<br />t&=&\frac{\tanh^{-1}\left(\frac{2\,L\,\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{L\,C}}}{R}\right)}{\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{L\,C}}}\\<br />&=&\frac{\phi}{\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{L\,C}}}\\<br />&=&\frac{2\,L}{R}\left(\frac{\phi}{\tanh\left(\phi\right)}\right)\\<br />\phi&=&\tanh^{-1}\left(\frac{2\,L\,\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{L\,C}}}{R}\right)<br />\end{eqnarray}$ ということになる。従って極大値は上記の条件を電流の解に代入することによって $\begin{eqnarray}<br />i_{m}&=&\left. \frac{E}{L\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{L\,C}}}\sinh\left(\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{L\,C}}t\right)e^{-\frac{R}{2\,L}t}\right\|_{t=\frac{2\,L}{R}\left(\frac{\phi}{\tanh\left(\phi\right)}\right)}\\<br />&=&\frac{E}{L\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{L\,C}}}\sinh\left(\phi\right)e^{-\frac{\phi}{\tanh\left(\phi\right)}}\\<br />&=&\frac{E}{L\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{L\,C}}}\frac{\tanh\left(\phi\right)}{\sqrt{1-\tanh\left(\phi\right)^{2}}}e^{-\frac{\phi}{\tanh\left(\phi\right)}}\\<br />&=&\frac{E}{\cancel{L\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{L\,C}}}}\frac{\frac{2\,\cancel{L\,\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{L\,C}}}}{R}}{\sqrt{1-\left(\frac{2\,L\,\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{L\,C}}}{R}\right)^{2}}}e^{-\frac{\phi}{\tanh\left(\phi\right)}}\\<br />&=&\frac{E}{\sqrt{\frac{L}{C}}}e^{-\frac{\phi}{\tanh\left(\phi\right)}}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。ここで臨界減衰のケース $\begin{eqnarray}<br />0&=&\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{L\,C}\\<br />\frac{R}{2\,L}&=&\frac{1}{\sqrt{L\,C}}<br />\end{eqnarray}$ を考えると、極大極小点は極限操作によって $\begin{eqnarray}<br />t&=&\lim_{\phi\to 0}\frac{2\,L}{R}\left(\frac{\phi}{\tanh\left(\phi\right)}\right)\\<br />&=&\frac{2\,L}{R}\\<br />\end{eqnarray}$ ということになる。一方臨界制動時の解は極限操作により $\begin{eqnarray}<br />\lim_{\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^2-\frac{1}{L\,C}}\to 0}i&=&\frac{E}{L\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{L\,C}}}\sinh\left(\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{L\,C}}t\right)e^{-\frac{R}{2\,L}t}\\<br />&=&\frac{E}{L}t\,e^{-\frac{R}{2\,L}t}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。これに極大点の条件を代入すれば最大値は $\begin{eqnarray}<br />i_{m}&=&\left. \frac{E}{L}t\,e^{-\frac{R}{2\,L}t}\right\|_{t=\frac{2\,L}{R}}\\<br />&=&\frac{E}{\cancel{L}}\frac{2\,\cancel{L}}{R}e^{-\cancel{\frac{R}{2\,L}\frac{2\,L}{R}}}\\<br />&=&\frac{2\,E}{R}e^{-1}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。最後に振動的ケースの極大点は $\begin{eqnarray}<br />\frac{\partial{i}}{\partial{t}}&=&\frac{\partial}{\partial{t}}\left(\frac{E}{j\,L\sqrt{\frac{1}{L\,C}-\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}}}\sinh\left(j\,\sqrt{\frac{1}{L\,C}-\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}}t\right)e^{-\frac{R}{2\,L}t}\right)\\<br />&=&\frac{E}{j\,L\sqrt{\frac{1}{L\,C}-\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}}}\left(j\,\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{L\,C}}\cosh\left(j\,\sqrt{\frac{1}{L\,C}-\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}}t\right)e^{-\frac{R}{2\,L}t}-\sinh\left(j\,\sqrt{\frac{1}{L\,C}-\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}}t\right)\frac{R}{2\,L}e^{-\frac{R}{2\,L}t}\right)\\<br />&=&\frac{E}{L}\left(\cos\left(\sqrt{\frac{1}{L\,C}-\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}}t\right)-\frac{R}{2\,L\sqrt{\frac{1}{L\,C}-\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}}}\sin\left(\sqrt{\frac{1}{L\,C}-\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}}t\right)\right)e^{-\frac{R}{2\,L}t}\\<br />&=&0\\<br />0&=&\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{L\,C}}\cos\left(\sqrt{\frac{1}{L\,C}-\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}}t\right)-\frac{R}{2\,L}\sin\left(\sqrt{\frac{1}{L\,C}-\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}}t\right)\\<br />&=&\frac{2\,L\,\sqrt{\frac{1}{L\,C}-\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}}}{R}-\tan\left(\sqrt{\frac{1}{L\,C}-\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}}t\right)\\<br />t&=&\frac{\tan^{-1}\left(\frac{2\,L\,\sqrt{\frac{1}{L\,C}-\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}}}{R}\right)}{\sqrt{\frac{1}{L\,C}-\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}}}\\<br />&=&\frac{\theta+n\,\pi}{\sqrt{\frac{1}{L\,C}-\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}}}\\<br />&=&\frac{2\,L}{R}\left(\frac{\theta+n\,\pi}{\tan\left(\theta+n\,\pi\right)}\right)\\<br />\theta+n\,\pi&=&\tan^{-1}\left(\frac{2\,L\,\sqrt{\frac{1}{L\,C}-\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}}}{R}\right)<br />\end{eqnarray}$ ということになる。n=0の時に最初の極大値に達するのでそれを解に代入すると $\begin{eqnarray}<br />i_{m}&=&\left. \frac{E}{L\sqrt{\frac{1}{L\,C}-\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}}}\sin\left(\sqrt{\frac{1}{L\,C}-\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}}t\right)e^{-\frac{R}{2\,L}t}\right\|_{t=\frac{2\,L}{R}\left(\frac{\theta}{\tan\left(\theta\right)}\right)}\\<br />&=&\frac{E}{L\sqrt{\frac{1}{L\,C}-\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}}}\sin\left(\theta\right)e^{-\frac{\theta}{\tan\left(\theta\right)}}\\<br />&=&\frac{E}{L\cancel{\sqrt{\frac{1}{L\,C}-\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}}}}\frac{\cancel{\sqrt{\frac{1}{L\,C}-\left(\frac{R}{2\,L}\right)^2}}}{\sqrt{\cancel{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^2}+\frac{1}{L\,C}-\cancel{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^2}}}e^{-\frac{\theta}{\tan\left(\theta\right)}}\\<br />&=&\frac{E}{\sqrt{\frac{L}{C}}}\,e^{-\frac{\theta}{\tan\left(\theta\right)}}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。それぞれのケースでの電流のカーブと、極大点について描いてみるとということになる。著者の不足制動のケースの解は電流の解の途中（最終形ではない）の誤記のある式を用いてしまっているので極大値の式が誤ったものになっている。

フラット表示

前のトピック | 次のトピック

題名	投稿者	日時
過渡現象演習問題	webadm	2011-11-1 17:19
RL直列回路	webadm	2011-11-1 17:32
続：RL直列回路	webadm	2011-11-3 5:24
続々：RL直列回路	webadm	2011-11-3 6:23
まだまだ：RL直列回路	webadm	2011-11-3 8:44
もうひとつの：RL直列回路	webadm	2011-11-3 15:53
またまた：RL直列回路	webadm	2011-11-3 16:32
断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-4 1:09
続：断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-4 2:29
RL並列回路	webadm	2011-11-4 7:48
続々：断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-5 10:47
まだまだ:断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-5 20:42
もうひとつの：断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-6 1:32
またしても：RL直列回路	webadm	2011-11-6 2:44
鎖交磁束不変の理	webadm	2011-11-6 6:17
続：鎖交磁束不変の理	webadm	2011-11-8 5:08
続々：鎖交磁束不変の理	webadm	2011-11-8 7:42
またひとつの：RL直列回路	webadm	2011-11-10 7:26
RL直並列回路	webadm	2011-12-29 5:39
相互誘導回路	webadm	2012-1-11 8:53
続：相互誘導回路	webadm	2012-1-11 10:52
続々：相互誘導回路	webadm	2012-1-14 21:44
まだまだ：相互誘導回路	webadm	2012-1-22 3:04
RC直列回路	webadm	2012-1-22 23:50
続：RC直列回路	webadm	2012-1-23 1:37
続々：RC直列回路	webadm	2012-1-23 4:15
まだまだ：RC直列回路	webadm	2012-1-24 9:31
もうひとつの：RC直列回路	webadm	2012-1-27 7:27
またまた：RC直列回路	webadm	2012-1-29 0:18
電荷量不変の理	webadm	2012-1-29 0:45
続：電荷量不変の理	webadm	2012-2-4 9:41
断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-7 6:22
続：断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-10 9:18
続々：断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-12 20:06
まだまだ：断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-12 23:06
もうひとつの：断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-14 7:38
RC並列回路	webadm	2012-2-14 8:48
続：RC並列回路	webadm	2012-4-5 10:59
LC直列回路	webadm	2012-4-10 8:07
続:LC直列回路	webadm	2012-4-11 15:26
続々：LC直列回路	webadm	2012-4-14 6:36
まだまだ：LC直列回路	webadm	2012-4-14 17:43
LC並列回路	webadm	2012-4-15 0:24
断続部のあるLC並列回路	webadm	2012-4-16 3:54
続：断続部のあるLC並列回路	webadm	2012-4-17 9:05
断続部のあるブリッジ回路	webadm	2012-5-5 18:09
» RLC直列回路	webadm	2012-5-5 23:12
続：RLC直列回路	webadm	2012-5-6 19:26
続々:RLC直列回路	webadm	2012-5-6 19:53
まだまた：RLC直列回路	webadm	2012-5-6 21:41
RLC直並列回路	webadm	2012-5-7 2:09
続：RLC直並列回路	webadm	2012-5-8 8:31
続々：RLC直並列回路	webadm	2012-5-12 18:14
RL直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-13 1:37
続：RL直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-13 22:24
続々：RL直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-13 23:03
RC直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-14 8:11
LC直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-19 19:10
RLC直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-23 4:47
RL直並列回路（交流入力）	webadm	2012-5-28 23:28
相互誘導回路	webadm	2012-8-3 7:14
続：相互誘導回路	webadm	2012-8-4 23:52
続々：相互誘導回路	webadm	2012-8-5 2:55
線型性	webadm	2012-8-6 21:08
非線型素子回路	webadm	2012-8-8 7:41
微分回路	webadm	2012-8-8 9:30
積分回路	webadm	2012-8-11 20:51
パルス回路	webadm	2012-8-11 22:35
交流ブリッジ回路	webadm	2012-8-11 23:00
最後のRL直列回路	webadm	2012-8-12 3:28

投稿するにはまず登録を