次は直線上ではなく平面上に複数の電荷が並べた問題。

下図のような正方形の各頂点にq[C]の電荷がおいてあるとき、その中心にどれほどの電荷をおいたら各電荷はつりあうか。



というもの。

頂点の４つの電荷は皆同じ極性で同じ電荷量qなので互いに斥力で反発しあっている。中心点Oに別の電荷Qを置いて平衡するようにするには電荷Qはいくらでなければならないかということになる。

頂点の電荷が受ける他の頂点の電荷との斥力は３つのベクトルの合成になり、中心点から離れさせるように働くことが判る。

従って中心に置く電荷Qは逆に頂点の電荷を中心に引き戻すような引力が働いて斥力を相殺するように頂点の電荷とは逆極性でなければならないことは予想が付く。

厳密に考えると、中心点には周囲の４つの頂点の電荷によって作られる静電場が重ね合わされて谷間の様な電位ポテンシャルの極大極小点（勾配ベクトルが０となる点）が存在すると予想される。

plot3d(1/sqrt((x-1)^2+(y-1)^2)+1/sqrt((x+1)^2+(y+1)^2)+1/sqrt((x-1)^2+(y+1)^2)+1/sqrt((x
+1)^2+(y-1)^2), [x,-2,2], [y,-2,2], [z,2,5],[gnuplot_preamble,"set contour both;set
cntrparam levels incremental 2,0.1,5"],[grid,100,100])$


すると今度は中心点に逆極性の電荷を置くことで３つの頂点の電荷が作り出す静電場が重ね合わされ、残る一つの頂点の位置に盆地のような電位ポテンシャルの極大極小点が生じるようにすることが出来ると予想される。そうすればその点にどんな点電荷が置かれても勾配ベクトルが０なので何らのCoulomb力も生じないはずであると予想がつく。

plot3d(1/sqrt((x-1)^2+(y-1)^2)-1/sqrt((x)^2+(y)^2)+1/sqrt((x-1)^2+(y+1)^2)+1/sqrt((x
+1)^2+(y-1)^2), [x,-2,2], [y,-2,2], [z,-2,5],[gnuplot_preamble,"set contour both;set
cntrparam levels incremental -2,0.1,5"],[grid,100,100])$


あとは関係を立式してQについて解けばよいことになる。



従って点電荷aに働く対角線上の力Faが0になるためには



ということになる。

P.S

先に予想したように点電荷が作りだす電位勾配が0となる条件から求めることもできる。

点電荷aの位置に点電荷b,c,dと点電荷oが作り出す対角線方向の電位勾配は



従って点電荷aの位置で電位勾配が0となる条件は



ということになる。

これはほぼQ≒-qという関係になる。なので先にプロットしたグラフではQ=-qとしているので確かに点電荷aの位置付近で電位勾配が0になる点があると思われる。

点電荷aでの位置での他の電荷が作りだす電位ポテンシャルを先に計算し、その勾配ベクトルを求めても同じ結果が得られるはずだが、それは読者の課題としよう( ´∀`)

この問題はたまたま対角線を中心に対称なので対角線方向だけ考えればよかったが、非対称の場合はそれ以外の方向で電位勾配が0とならないため同じやり方は通用しない。