次も線電荷のおもしろい問題

それぞれ±λの一様な線密度で電荷が分布した長さ2lの日本の直線が平行に置かれている。(1)線分の中点を通る垂直面内で両線よりそれぞれr1,r2の距離の点Pにおける電位を求めよ。(2)無限に長い直線の場合はどうか。



というもの。

これは電気双極子がびっしり縦に長さ2lだけ並行に積み重ねたようなものとも考えられる。有限長と無限長の場合を考えるのは前問と同じ。

前問の場合には単線電荷だったので、回転楕円帯のような電位分布になったが、今度は並行して逆極の線電荷が置かれるのでちょっと事情が変わってくると思われる。

点Pにおいて２つの線電荷がぞれぞれ作る電位ポテンシャルは

どうすんだこれ（´Д｀；）

r1とr2でPの座標が表されているんですが。

ああ、単一の線電荷だけ考えれば軸対称だからr1と上の線電荷,r2と下の線電荷にそれぞれ接する接平面で求めて重ね合わせればいいのね



ということになる。これも前問でやっと気づいた意図的に1を乗じるテクニックを使った。

おや前問の結果を利用した著者の解では前問には無かった未定積分定数項が加えられているが、こちらは定積分なので未定積分定数はないはず。著者は何もその点については触れていないけど、何かあるのかな。

(1)では電位だけ求められているので、これで十分ということになる。

更に電界を求めるのは読者の課題としておこう( ´∀`)

(2)では、無限長の場合なので、lを無限大に極限移行すれば



ということになる。

おろ、前問の単線では電位が発散したのに、複線だとちゃんと収束するのね。

これらの電位図をプロットするのも読者の課題としよう( ´∀`)

P.S

またしても謎な著者の解答例。未定積分定数はなんの意味があるんだ。ねむれねー（´Д｀；）


P.S

その後考えてみたら、静電場の場合には上の結果でよいが、２つの線電荷上を電流が流れていてそれが時間で変化する関数の場合には、事情は違ってくる。

静電場での電場は



ということだが、後で学ぶことになる線上に電流が流れていて時間で変化する場合、磁界が時間と共に変化するので静電場にベクトルポテンシャルが加わる。



従って電位にもこのベクトルポテンシャルが未定積分定数として加わることになる。

あくまで一般的に考えた場合で、静電界のみしか存在しない場合には考えなくても良いことになる。