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webadm	投稿日時: 2014-1-19 18:08
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3086	続々：線電荷次も線電荷の問題。前問と似ているが少し易しい。それぞれ±λの一様な線密度で電荷が分布している間隔dの長い並行２直線があるとき、両直線の中点を結ぶ線上で電界の最大の点と最小の点とを求めよ。というもの。前問と同様に線素当たりの電荷はそれぞれ $\begin{eqnarray}<br />d\varphi_{+}&=&\lambda\,ds\nonumber<br />\\d\varphi_{-}&=&-\lambda\,ds\nonumber<br />\end{eqnarray}$ 従って線の中点を結ぶ直線上の距離xに置ける両線電荷が作り出す電位は $\begin{eqnarray}<br />\varphi_{+}&=&\int_{-\ell}^{\ell}\,\frac{d\varphi_{+}}{4\,\pi\,\epsilon_0\,\sqrt{s^2+x^2}}=\frac{\lambda}{4\,\pi\,\epsilon_0}\int_{-\ell}^{\ell}\frac{1}{\sqrt{s^2+x\2}}ds=\frac{\lambda}{4\,\pi\,\epsilon_0}\ln\frac{\ell+\sqrt{\ell^2+x^2}}{-\ell+\sqrt{\ell^2+x^2}}\nonumber<br />\\&=&\frac{\lambda}{2\,\pi\,\epsilon_0}\ln\frac{\ell+\sqrt{\ell^2+x^2}}{x}\nonumber<br />\\\varphi_{-}&=&\int_{-\ell}^{\ell}\frac{d\varphi_{-}}{4\,\pi\,\epsilon_0\,\sqrt{s^2+(d-x)^2}}=^\frac{\lambda}{4\,\pi\,\epsilon_0}\int_{-\ell}^{\ell}\frac{1}{\sqrt{s^2+(d-x)^2}}ds=-\frac{\lambda}{4\,\pi\,\epsilon_0}\ln\frac{\ell+\sqrt{\ell^2+(d-x)^2}}{-\ell+\sqrt{\ell^2+(d-x)^2}}\nonumber<br />\\&=&-\frac{\lambda}{2\,\pi\,\epsilon_0}\ln\frac{\ell+\sqrt{\ell^2+(d-x)^2}}{d-x}\nonumber<br />\\\varphi&=&\varphi_{+}+\varphi_{-}=\frac{\lambda}{2\,\pi\,\epsilon_0}\ln\frac{\ell+\sqrt{\ell^2+x^2}}{x}-\frac{\lambda}{2\,\pi\,\epsilon_0}\ln\frac{\ell+\sqrt{\ell^2+(d-x)^2}}{d-x}=\frac{\lambda}{2\,\pi\,\epsilon_0}(\ln\frac{\ell+\sqrt{\ell^2+x^2}}{x}-\ln\frac{\ell+\sqrt{\ell^2+(d-x)^2}}{d-x})\nonumber<br />\\&=&\frac{\lambda}{2\,\pi\,\epsilon_0}\ln\frac{(d-x)(\ell+\sqrt{\ell^2+x^2})}{x(\ell+\sqrt{\ell^2+(d-x)^2})}\nonumber<br />\end{eqnarray}$ ということになる。ここで直線の長さを無限大に極限移行すると $\begin{eqnarray}<br />\lim_{\ell\to\infty}\varphi&=&\lim_{\ell\to\infty}\frac{\lambda}{2\,\pi\,\epsilon_0}\ln\frac{(d-x)(\ell+\sqrt{\ell^2+x^2})}{x(\ell+\sqrt{\ell^2+(d-x)^2})}=\lim_{\ell\to\infty}\frac{\lambda}{2\,\pi\,\epsilon_0}\ln\frac{(d-x)(1+\sqrt{1+\frac{x^2}{\ell^2}})}{x(1+\sqrt{1+\frac{(d-x)^2}{\ell^2}})}\nonumber<br />\\&=&\frac{\lambda}{2\,\pi\,\epsilon_0}\ln\frac{d-x}{x}\nonumber<br />\end{eqnarray}$ ということになる。この中点を結ぶ直線上の電位図をMaximaでプロットしてみるとということになる。中点を結ぶ直線上の中間部分では電位勾配が緩やかでほぼ直線的になり、両線電荷の近くでは勾配が急になることがわかる。電界は $\begin{eqnarray}<br />{\bf E_x}&=&-\nabla\,\varphi=-\frac{\lambda}{2\,\pi\,\epsilon_0}\frac{\partial}{\partial x}\ln\frac{d-x}{x}=\frac{\lambda}{2\,\pi\,\epsilon_0}\frac{( \frac{1}{x}+\frac{d-x}{{x}^{2}}) \,x}{d-x}\nonumber<br />\\&=&\frac{\lambda}{2\,\pi\,\epsilon_0}\frac{d}{x\,( d-x)}\nonumber<br />\end{eqnarray}$ ということになる。これもMaximaでプロットしてみるとというようなバスタブ曲線が現れる。電界は上の結果からx=0とx=dの点で最大値（∞）をとり $\begin{eqnarray}<br />\frac{\partial}{\partial x}{\bf E_x}&=&\frac{\lambda}{2\,\pi\,\epsilon_0}(\frac{d}{{( d-x) }^{2}\,x}-\frac{d}{( d-x) \,{x}^{2}})\nonumber<br />\\&=&\frac{d\,( 2\,x-d) }{{x}^{2}\,{( x-d) }^{2}}=0\nonumber<br />\end{eqnarray}$ 上記の条件を満たす $\begin{eqnarray}<br />2\,x-d&=&0\nonumber<br />\\x&=&\frac{d}{2}\nonumber<br />\end{eqnarray}$ が最小の点ということになる。 P.S 楕円積分と対数関数の微分についてはしっかりやっておいたほうがよさそうだ。

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題名	投稿者	日時
真空中の電荷分布による静電界演習問題	webadm	2014-1-9 0:00
一直線上の複数の点電荷	webadm	2014-1-9 0:04
振り子検電器	webadm	2014-1-12 3:42
続：振り子検電器	webadm	2014-1-12 4:10
平面上の複数電荷	webadm	2014-1-12 13:05
電気双極子	webadm	2014-1-12 21:28
続：電気双極子	webadm	2014-1-13 22:09
点電荷による電界	webadm	2014-1-13 23:45
続：点電荷による電界	webadm	2014-1-14 0:34
続々：点電荷による電界	webadm	2014-1-14 12:28
線電荷	webadm	2014-1-14 13:30
続：線電荷	webadm	2014-1-16 4:04
» 続々：線電荷	webadm	2014-1-19 18:08
もうひとつの：線電荷	webadm	2014-1-20 12:44
面電荷	webadm	2014-1-20 16:30
続：面電荷	webadm	2014-1-20 18:11
どちらかというと：線電荷	webadm	2014-1-20 21:51
球面電荷	webadm	2014-1-22 23:48
球体積電荷	webadm	2014-1-23 3:31
一般の体積電荷	webadm	2014-1-26 1:37
電気双極子	webadm	2014-2-5 6:28
電気四重極子	webadm	2014-2-5 6:43
電気二重層	webadm	2014-2-9 2:31
続：電気二重層	webadm	2014-2-10 17:27
n重極子	webadm	2014-2-10 19:02
Re: n重極子	webadm	2014-3-24 13:28
Re: n重極子	webadm	2014-8-21 10:22
Re: n重極子	webadm	2014-12-22 4:09
多重極展開	webadm	2024-1-30 18:55

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