次も線電荷の問題の続きだが、どうやら前問まではこの問題の前座だったようだ

線密度±λで帯電された２本の直線状導線が距離dをへだてて並行におかれているとき、遠い点での電位を求めよ。
（直線状電気双極子とよばれ、τ=λdは単位長さあたりの強度である）



というもの。

しかし線状電気双極子でぐぐっても直接該当するページは見つけることができない。あまり一般的な用語ではなさそうだ。

著者は並行する無限長の２直線の線電荷が離れた点に作り出す電位の式を用いているが、ここでは別解を試みてみよう。

並行する２直線上の線分dsの電荷で構成される電気双極子が離れた点Pに作り出す電位を重ね合わせることにしよう。

図に示すように、２直線を結ぶ線分の中点Oを通り２直線に平行な方向をz軸とし、中点Oと離れた点Pの距離rを半径とする円筒座標で考える。



おろ著者と違う結果になってしまった...orz

やはり最初から無限小電位を電気双極子で近似したのがまずかったか。

今度は近似しないでやってみると



ふう、やっと同じ結果が得られた。

やはり前問の結果を流用するほうが易しい。

ということは電位はz軸の座標によらずモーメントとの角度θと線分からの距離rだけで決まるということか。

電気二重層の時と違って、この問題の場合には最初から電気双極子として近似してしまってはだめだということね。

P.S

以前の線電荷の問題で単一直線の場合には無限長で電位が収束しないという例があった。二直線で電荷の極性が反対だと収束する。

最初に出てきた積分は難しい部類に入り、極が複素平面上に存在するので、複素積分の留数定理とかを使うところだろう。