次も面電荷の問題。しかし今度は無限平面である。

一様な表面密度で帯電している無限平面からlの距離にある点Pに生じる電界のうち半分はP点から2lの距離以内にある板上の電荷によって生じることを示せ。

というもの。

著者は前問の結果から即座に結論を導いている。

別解を考えてみたのだが、どうもうまくいかない。

円板ではなく正方領域の電荷を考えてみたが、電位の式はかなり複雑なものとなりしかも無限平面へと四辺の長さを無限大に極限移行すると電位は発散する。電界は式が難しくて微分が大変なので確認していない。

無限長の直線の線電荷を横にびっしり並べたらどうかというのも試してみた。計算は簡単だが、電界は発散する。

唯一単極電荷の平面で電界が発散しないのは円板モデルを用いて計算する方法。最初に半径を有限長で計算しておいて、後で半径を無限大に極限移動する。



円板の半径を無限大に極限移行すると、θ→π/2へと移ることになる。

従って電界は



ということになる。

これは立体角ω=2πになったことに相当するので、その半分の電界を生じるには



が必要十分条件となる。

これは点Pから平面への垂線上の距離lの２倍の距離を意味するので、r=2lの以内の距離にある平面電荷で作られていることになる。

P.S

円板モデル以外で同じ結果を導出することはできないのだろうか。それは読者の課題としよう( ´∀`)