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webadm	投稿日時: 2014-1-22 23:48
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3084	球面電荷次は球面電荷の問題一様な面密度で電荷が分布した球殻から、球殻外部の点に生じる電界は全電荷が中心に集まったとしたときの点電荷より生じる電界に等しく、球殻内部の点に生じる電界は0であることを示せ。というもの。これはどうやらかなり有名な問題らしい感じがぷんぷんする。球殻表面の面素dSあたりの電荷は面密度をσとすると $\begin{eqnarray}<br />dS&=&dr\,ds\nonumber<br />\\dr&=&a\,d\theta\nonumber<br />\\ds&=&a\,\sin\theta\,d\psi\nonumber<br />\\dq&=&\sigma\,dS=\sigma\,dr\,ds=\sigma\,a\,d\theta\,a\,\sin\theta\,d\psi\nonumber<br />\\&=&\sigma\,a^2\,\sin\theta\,d\theta\,d\psi\nonumber<br />\end{eqnarray}$ ということになる。dr,dsはそれぞれ緯線上および経線上の無限小線分であり、dθとdψは緯度および経度の無限小角である。従って上の面素が点Pに作り出す無限小電位は $\begin{eqnarray}<br />r&=&\sqrt{(x-a\,\cos\theta)^2+(a\,\sin\theta)^2}\nonumber<br />\\d\varphi&=&\frac{dq}{4\,\pi\,\epsilon_0\,r}=\frac{\sigma\,a^2\,\sin\theta}{4\,\pi\,\epsilon_0\,\sqrt{(x-a\,\cos\theta)^2+(a\,\sin\theta)^2}}\,d\theta\,d\psi=\frac{\sigma\,a^2\,\sin\theta}{4\,\pi\,\epsilon_0\,\sqrt{{x}^{2}-2\,a\,\,x\,\cos\theta+{a}^{2}\,\sin^2\theta+{a}^{2}\,\cos^2\theta}}\,d\theta\,d\psi\nonumber<br />\\&=&\frac{\sigma\,a^2\,\sin\theta}{4\,\pi\,\epsilon_0\,\sqrt{x^2-2\,a\,x\,\cos\theta+a^2}}\,d\theta\,d\psi\nonumber<br />\end{eqnarray}$ ということになる。従って球殻上に分布する電荷全部が作る点Pでの電位は緯度と経度で積分して $\begin{eqnarray}<br />\usepackage{cancel}\usepackage{cases}\varphi&=&\int_{0}^{\pi}d\theta\int_{0}^{2\,\pi}\frac{\sigma\,a^2\,\sin\theta}{4\,\pi\,\epsilon_0\,\sqrt{x^2-2\,a\,x\,\cos\theta+a^2}}d\psi=\frac{\sigma\,a^2}{2\,\epsilon_0}\int_{0}^{\pi}\frac{\sin\theta}{\sqrt{x^2-2\,a\,x\,\cos\theta+a^2}}d\theta=\frac{\sigma\,a^2}{2\,\epsilon_0}\left[\frac{\sqrt{x^2-2\,a\,x\,\cos\theta+a^2}}{a\,x}\right]_{0}^{\pi}\nonumber<br />\\&=&\frac{\sigma\,a^2}{2\,\epsilon_0}(\frac{\sqrt{(x+a)^2}-\sqrt{(x-a)^2}}{a\,x})=\frac{\sigma\,a^{\cancel{2}}}{2\,\epsilon_0}\frac{\left\|x+a\right\|-\left\|x-a\right\|}{\cancel{a}\,x}=\frac{a\,\sigma}{2\,\epsilon_0}\frac{\left\|x+a\right\|-\left\|x-a\right\|}{x}\nonumber<br />\\&=&\begin{cases}<br />\frac{a^2\,\sigma}{\epsilon_0\,x},\ \ \ \ x> a\nonumber<br />\\\frac{a\,\sigma}{\epsilon_0},\ \ \ \ x< a\nonumber<br />\end{cases}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。 xとaの大小関係で２つのケースに分けて考える必要がある。 x＞aの場合には $\usepackage{cancel}\begin{eqnarray}<br />\frac{\left\|x+a\right\|-\left\|x-a\right\|}{a\,x}&=&\frac{(x+a)-(x-a)}{a\,x}=\frac{2\,\cancel{a}}{\cancel{a}\,x}\nonumber<br />\\&=&\frac{2}{x},\ \ \ \ x> a\nonumber<br />\end{eqnarray}$ ということになる。点Pが球殻外の場合には距離xに電位が反比例することになる。しかしx＜aになると事情が違ってきて $\usepackage{cancel}\begin{eqnarray}<br />\frac{\left\|x+a\right\|-\left\|x-a\right\|}{a\,x}&=&\frac{(x+a)-(a-x)}{a\,x}=\frac{2\,\cancel{x}}{a\,\cancel{x}}\nonumber<br />\\&=&\frac{2}{a},\ \ \ \ x< a\nonumber<br />\end{eqnarray}$ ということになる。点Pが球殻内になると、電位はどこでも一定ということになる。従って電界は $\begin{eqnarray}<br />\usepackage{cases}{\textbf E_x}&=&-\nabla\varphi=-\frac{\partial}{\partial x}\varphi\nonumber<br />\\&=&\begin{cases}<br />-\frac{\partial}{\partial x}(\frac{a^2\,\sigma}{\epsilon_0\,x})=\frac{a^2\,\sigma}{\epsilon_0\,x^2},\ \ \ \ x> a\nonumber<br />\\-\frac{\partial}{\partial x}(\frac{a\,\sigma}{\epsilon_0})=0,\ \ \ \ x< a\nonumber<br />\end{cases}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。点Pが球殻外にある時は電界は球殻の中心からの距離の二乗に反比例する。点Pが球殻内にある時は球殻内は電位が一定なので電位勾配はなく電界は0である。題意にあるとおり、球殻全体の電荷をQとすると $\usepackage{cancel}\begin{eqnarray}<br />Q&=&4\,\pi\,a^2\,\sigma\nonumber<br />\\\sigma&=&\frac{Q}{4\,\pi\,a^2}\nonumber<br />\\{\textbf E_x}&=&\frac{a^2\,\sigma}{\epsilon_0\,x^2}=\frac{\cancel{a^2}}{\epsilon_0\,x^2}\frac{Q}{4\,\pi\,\cancel{a^2}}\nonumber<br />\\&=&\frac{Q}{4\,\pi\,\epsilon_0\,x^2},\ \ \ \ x> a\nonumber<br />\end{eqnarray}$ ということになる。従って点Pが球殻外にあるときの電界は球殻全体の電荷Qが中心点Oに点電荷として置かれたのと等しいということになる。著者は題意で求められている電界ではなく、電位でそれを示している点に注意。テストだったら点は半分しかもらえないだろう。 P.S ドイツの理論電気学の教科書には、これは問題としては登場せずに、まったく異なった議論が展開されている点が興味深い。おそらくGauseの定理そのものが数学の講義で教えられているからだと思われる。教科書によっては、著者も注記しているようにGauseの定理を最初から用いるものが多い。Gauseは電磁気だけでなく、重力に関しても統一的に扱う理論を同僚のWeberと研究していたらしい。同じ頃にRiemannもWeberの下で電磁気や重力に関する実験を手伝っていてその噂を耳にしていたという話しだ。後にRiemannの新しい幾何学理論が、Einsteinの一般相対性理論を構成する重要な鍵となったのは決して偶然ではない。 WeberはMaxwellと同時期に独自の電気力学を定式化していたが、Maxwellは彼らの実験結果から電磁波の伝搬速度が光速に等しいと結論づけた。Weber自信は言及しなかったが、彼が用いたWeber定数の記号cが後に光速の記号cとして用いられるようになった。今もGöttingen大学のキャンパスにはWeberとGauseがまるでC3POとR2D2のように対話しているかのような記念像が建っている。

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題名	投稿者	日時
真空中の電荷分布による静電界演習問題	webadm	2014-1-9 0:00
一直線上の複数の点電荷	webadm	2014-1-9 0:04
振り子検電器	webadm	2014-1-12 3:42
続：振り子検電器	webadm	2014-1-12 4:10
平面上の複数電荷	webadm	2014-1-12 13:05
電気双極子	webadm	2014-1-12 21:28
続：電気双極子	webadm	2014-1-13 22:09
点電荷による電界	webadm	2014-1-13 23:45
続：点電荷による電界	webadm	2014-1-14 0:34
続々：点電荷による電界	webadm	2014-1-14 12:28
線電荷	webadm	2014-1-14 13:30
続：線電荷	webadm	2014-1-16 4:04
続々：線電荷	webadm	2014-1-19 18:08
もうひとつの：線電荷	webadm	2014-1-20 12:44
面電荷	webadm	2014-1-20 16:30
続：面電荷	webadm	2014-1-20 18:11
どちらかというと：線電荷	webadm	2014-1-20 21:51
» 球面電荷	webadm	2014-1-22 23:48
球体積電荷	webadm	2014-1-23 3:31
一般の体積電荷	webadm	2014-1-26 1:37
電気双極子	webadm	2014-2-5 6:28
電気四重極子	webadm	2014-2-5 6:43
電気二重層	webadm	2014-2-9 2:31
続：電気二重層	webadm	2014-2-10 17:27
n重極子	webadm	2014-2-10 19:02
Re: n重極子	webadm	2014-3-24 13:28
Re: n重極子	webadm	2014-8-21 10:22
Re: n重極子	webadm	2014-12-22 4:09
多重極展開	webadm	2024-1-30 18:55

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