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webadm	投稿日時: 2014-1-23 3:31
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3084	球体積電荷次はどうやら球体積電荷の問題らしい球対称の電荷分布より球外の点に生じる電界は、全電荷がその中心に集まったとしたときの点電荷より生じる電界に等しいことを示せ。というもの。これは前問の球殻内部にも電荷を一様に分布させたものと考えることができる。球体内の体積素dVの無限小電荷は $\begin{eqnarray}<br />dV&=&dS\,da\nonumber<br />\\dS&=&ds\,dr\nonumber<br />\\dr&=&a\,d\theta\nonumber<br />\\ds&=&a\,\sin\theta\,d\psi\nonumber<br />\\dq&=&\sigma\,dV=\sigma\,dS\,da=\sigma\,a\,d\theta\,a\,\sin\theta\,d\psi\,da\nonumber<br />\\&=&a^2\,\sigma\,\sin\theta\,d\theta\,d\psi\,da\nonumber<br />\end{eqnarray}$ ということになる。従って無限小電荷が球の中心から距離xだけ離れた点Pに作る無限小電位は $\begin{eqnarray}<br />r&=&\sqrt{(x-a\,\cos\theta)^2+(a\,\sin\theta)^2}=\sqrt{x^2-2\,a\,x\,\cos\theta+a^2}\nonumber<br />\\d\varphi&=&\frac{dq}{4\,\pi\,\epsilon_0\,r}=\frac{a^2\,\sigma\,\sin\theta}{4\,\pi\,\epsilon_0\,\sqrt{x^2-2\,a\,\cos\theta+a^2}}d\theta\,d\psi\,da\nonumber<br />\end{eqnarray}$ ということになる。従って、球全体の電荷が球の中心から距離xだけ離れた点Pに作る電位は $\begin{eqnarray}<br />\usepackage{cancel}\usepackage{cases}\varphi&=&\int_{V}d\varphi=\int_{V}\frac{a^2\,\sigma\,\sin\theta}{4\,\pi\,\epsilon_0\,\sqrt{x^2-2\,a\,x\,\cos\theta+a^2}}d\theta\,d\psi\,da=\frac{\sigma}{4\,\pi\,\epsilon_0}\int_{0}^{a}a^2\,da\int_{0}^{\pi}d\theta\int_{0}^{2\,\pi}\frac{\sin\theta}{\sqrt{x^2-2\,a\,x\,\cos\theta+a^2}}d\psi=\frac{\sigma}{4\,\cancel{\pi}\,\epsilon_0}\int_{0}^{a}a^{\cancel{2}}\,2\,\cancel{\pi}\frac{\sqrt{x^2+2\,a\,x+a^2}-\sqrt{x^2-2\,a\,x+a^2}}{\cancel{a}\,x}da\nonumber<br />\\&=&\frac{\sigma}{2\,\epsilon_0}(\frac{(x^2+a(x-2\,a))\left\|x-a\right\|-(x^2+a(x+2\,a))\left\|x+a\right\|}{6\,x})\nonumber<br />\\&=&\begin{cases}<br />\frac{\sigma}{2\,\epsilon_0}(\frac{( {x}^{2}+a\,( x-2\,a) ) \,( x-a) -( {x}^{2}-a\,( x+2\,a) )\, ( x+a) }{6\,x})=\frac{\sigma}{2\,\epsilon_0}(\frac{2\,{a}^{3}}{3\,x})=\frac{a^3\,\sigma}{3\,\epsilon_0\,x},\ \ \ \ x> a\nonumber<br />\\\frac{\sigma}{2\,\epsilon_0}(\frac{( {x}^{2}+a\,( x-2\,a) )\,( a-x) -( {x}^{2}-a\,( x+2\,a) ) \,( x+a) }{6\,x})=\frac{\sigma}{2\,\epsilon_0}(\frac{3\,a^2-x^2}{3})=\frac{\sigma}{6\,\epsilon_0}(3\,a^2-x^2),\ \ \ \ x< a\nonumber<br />\end{cases}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。球内の点に関してはおかしな結果になっている。題意で問題になっているのは球外の点であるので、半径aの球全体の電荷をQとすると $\begin{eqnarray}<br />Q&=&\frac{4}{3}\pi\,a^3\,\sigma\nonumber<br />\\\sigma&=&\frac{3\,Q}{4\,\pi\,a^3}\nonumber<br />\\\varphi&=&\frac{a^3\,\sigma}{3\,\epsilon_0\,x}=\frac{a^3}{\cancel{3}\,\epsilon_0\,x}(\frac{\cancel{3}\,Q}{4\,\pi\,\cancel{a^3}})\nonumber<br />\\&=&\frac{Q}{4\,\pi\,\epsilon_0\,x},\ \ \ \ x> a\nonumber<br />\end{eqnarray}$ ということになる。これは球体内の全電荷と等しい電荷を中心に点電荷として置いたときの電位と等しい。従って電界は $\begin{eqnarray}<br />{\textbf E_x}&=&-\nabla\varphi=-\frac{\partial}{\partial x}\frac{Q}{4\,\pi\,\epsilon_0\,x}=\frac{Q}{4\,\pi\,\epsilon_0\,x^2}\nonumber<br />\end{eqnarray}$ ということになる。同じことだが、球外の点に生じる電界は球体内の全電荷と等しい電荷を中心に点電荷として置いた時と等しい。 P.S ちなみにx＜aの場合も同様に球体全体の電荷Qで書き換えると $\begin{eqnarray}<br />Q&=&\frac{4}{3}\pi\,a^3\,\sigma\nonumber<br />\\\sigma&=&\frac{3\,Q}{4\,\pi\,a^3}\nonumber<br />\\\varphi&=&\frac{\sigma}{6\,\epsilon_0}(3\,a^2-x^2)=\frac{1}{\cancel{6}2\,\epsilon_0}\frac{\cancel{3}\,Q}{4\,\pi\,a^3}(3\,a^2-x^2)\nonumber<br />\\&=&\frac{Q}{8\,\pi\,\epsilon_0\,a}(3-\frac{x^2}{a^2}),\ \ \ \ x< a\nonumber<br />\end{eqnarray}$ ということになる。 0≦x≦aの範囲と、a≦x≦∞の範囲をそれぞれの式でプロットしてつなぎ合わせると球体の表面の中と外では電位が連続的に変化することが認められる。実はへんてこでもなんでもなかったのである。破線で示してあるのが球体表面の電位で、a→0に極限移行すると、x=0での電位のピークは∞になり、x＞0ではたちまち相殺して0になるという、いわゆるDiracのδ関数（超関数）になる。このことから超関数(distribution)という磐余を偲ぶことが出来る。

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題名	投稿者	日時
真空中の電荷分布による静電界演習問題	webadm	2014-1-9 0:00
一直線上の複数の点電荷	webadm	2014-1-9 0:04
振り子検電器	webadm	2014-1-12 3:42
続：振り子検電器	webadm	2014-1-12 4:10
平面上の複数電荷	webadm	2014-1-12 13:05
電気双極子	webadm	2014-1-12 21:28
続：電気双極子	webadm	2014-1-13 22:09
点電荷による電界	webadm	2014-1-13 23:45
続：点電荷による電界	webadm	2014-1-14 0:34
続々：点電荷による電界	webadm	2014-1-14 12:28
線電荷	webadm	2014-1-14 13:30
続：線電荷	webadm	2014-1-16 4:04
続々：線電荷	webadm	2014-1-19 18:08
もうひとつの：線電荷	webadm	2014-1-20 12:44
面電荷	webadm	2014-1-20 16:30
続：面電荷	webadm	2014-1-20 18:11
どちらかというと：線電荷	webadm	2014-1-20 21:51
球面電荷	webadm	2014-1-22 23:48
» 球体積電荷	webadm	2014-1-23 3:31
一般の体積電荷	webadm	2014-1-26 1:37
電気双極子	webadm	2014-2-5 6:28
電気四重極子	webadm	2014-2-5 6:43
電気二重層	webadm	2014-2-9 2:31
続：電気二重層	webadm	2014-2-10 17:27
n重極子	webadm	2014-2-10 19:02
Re: n重極子	webadm	2014-3-24 13:28
Re: n重極子	webadm	2014-8-21 10:22
Re: n重極子	webadm	2014-12-22 4:09
多重極展開	webadm	2024-1-30 18:55

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