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webadm	投稿日時: 2014-2-5 6:28
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3086	電気双極子次はようやく電気双極子の問題 2lだけの距離はなれた2点,A,Bにそれぞれ-q,+qの電荷があるとき、(1)ABの中点OからABとθの角をなし、rだけ離れた点での電位を求めよ。(2)r≫l(双極子)のときの電位と電界の近似値を求よ。というもの。理論の時に一度やったけど、ちょっとモデルの流儀が違う。2つの電荷を結ぶ線分の長さを2lにするかlにするかの違いだけど。 (1)は-qと+qの電荷がそれぞれ問題の点に作り出す電位を重ね合わせればよいので $\begin{eqnarray}<br />r_{-}&=&\sqrt{r^2\,\sin^2\theta+(r\,\cos\theta+\ell)^2}=\sqrt{r^2+\ell^2+2\,r\,\ell\,\cos\theta}\nonumber<br />\\r_{+}&=&\sqrt{r^2\,\sin^2\theta+(r\,\cos\theta-\ell)^2}=\sqrt{r^2+\ell^2-2\,r\,\ell\,\cos\theta}\nonumber<br />\\\varphi_{-}&=&-\frac{q}{4\,\pi\,\epsilon_0\,r_{-}}\nonumber<br />\\\varphi_{+}&=&\frac{q}{4\,\pi\,\epsilon_0\,r_{+}}\nonumber<br />\\\varphi&=&\varphi_{+}+\varphi_{-}=\frac{q}{4\,\pi\,\epsilon_0}(\frac{1}{r_{+}}-\frac{1}{r_{-}})=\frac{q}{4\,\pi\,\epsilon_0}(\frac{1}{\sqrt{r^2+\ell^2-2\,r\,\ell\,\cos\theta}}-\frac{1}{\sqrt{r^2+\ell^2+2\,r\,\ell\,\cos\theta}})\nonumber<br />\end{eqnarray}$ ということになる。 r-＞r+の場合には電位は正に、r-＜r+の場合には電位は負になる。r-＝r+の場合には電位は0ということに。 (2)のr≫lの場合の電位は二項展開を用いて $\begin{eqnarray}\usepackage{cancel}<br />\varphi&=&\frac{q}{4\,\pi\,\epsilon_0\,r}(\frac{1}{\sqrt{1+\frac{\ell^2-2\,r\,\ell\,\cos\theta}{r^2}}}-\frac{1}{\sqrt{1+\frac{\ell^2+2\,r\,\ell\,\cos\theta}{r^2}}})\nonumber<br />\\&=&\frac{q}{4\,\pi\,\epsilon_0\,r}((\cancel{1}-\frac{1}{2}\frac{\cancel{\ell^2}-2\,\cancel{r}\,\ell\,\cos\theta}{r^{\cancel{2}}}+\cdots)-(\cancel{1}-\frac{1}{2}\frac{\cancel{\ell^2}+2\,\cancel{r}\,\ell\,\cos\theta}{r^{\cancel{2}}}+\cdots))\nonumber<br />\\&\approx&\frac{q\,2\,\ell}{4\,\pi\,\epsilon_0\,r^2}\cos\theta\nonumber<br />\end{eqnarray}$ ということになる。２つの電荷の距離2lと電荷qの積を大きさに持つ電気双極子モーメントで表されることになる。さて同じ点における電場は $\begin{eqnarray}<br />{\textbf E}&=&-\nabla\varphi=-\nabla\,\frac{q\,2\,\ell}{4\,\pi\,\epsilon_0\,r^2}\cos\theta=-({\textbf e_r}\frac{\partial}{\partial r}+{\textbf e_\theta}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta})\frac{q\,2\,\ell}{4\,\pi\,\epsilon_0\,r^2}\cos\theta\nonumber<br />\\&=&{\textbf e_r}\frac{q\,2\,\ell}{2\,\pi\,\epsilon_0\,r^3}\cos\theta+{\textbf e_\theta}\frac{q\,2\,\ell}{4\,\pi\,\epsilon_0\,r^3}\sin\theta\nonumber<br />\end{eqnarray}$ ということになる。 P.S 一般二項定理はNewtonが定式化したものだが、近似を求める局面でいつも登場する。Newton自身は対数計算するのにこれを駆使したらしい。当時は計算機もなかったから、天文学とかで用いる大きな数値の演算には対数表でかけ算や割り算を足し算と引き算に変換して、結果を対数表で元に戻すという処理が不可欠だった。

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題名	投稿者	日時
真空中の電荷分布による静電界演習問題	webadm	2014-1-9 0:00
一直線上の複数の点電荷	webadm	2014-1-9 0:04
振り子検電器	webadm	2014-1-12 3:42
続：振り子検電器	webadm	2014-1-12 4:10
平面上の複数電荷	webadm	2014-1-12 13:05
電気双極子	webadm	2014-1-12 21:28
続：電気双極子	webadm	2014-1-13 22:09
点電荷による電界	webadm	2014-1-13 23:45
続：点電荷による電界	webadm	2014-1-14 0:34
続々：点電荷による電界	webadm	2014-1-14 12:28
線電荷	webadm	2014-1-14 13:30
続：線電荷	webadm	2014-1-16 4:04
続々：線電荷	webadm	2014-1-19 18:08
もうひとつの：線電荷	webadm	2014-1-20 12:44
面電荷	webadm	2014-1-20 16:30
続：面電荷	webadm	2014-1-20 18:11
どちらかというと：線電荷	webadm	2014-1-20 21:51
球面電荷	webadm	2014-1-22 23:48
球体積電荷	webadm	2014-1-23 3:31
一般の体積電荷	webadm	2014-1-26 1:37
» 電気双極子	webadm	2014-2-5 6:28
電気四重極子	webadm	2014-2-5 6:43
電気二重層	webadm	2014-2-9 2:31
続：電気二重層	webadm	2014-2-10 17:27
n重極子	webadm	2014-2-10 19:02
Re: n重極子	webadm	2014-3-24 13:28
Re: n重極子	webadm	2014-8-21 10:22
Re: n重極子	webadm	2014-12-22 4:09
多重極展開	webadm	2024-1-30 18:55

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