次は電気四重極子の問題

一辺が2lの正方形ABCDの頂点に+q,-q,+q,-qの電荷があるとき（電気四重極子）。正方形の中心Oから辺とθの方向にr(≫l)だけ離れた点Pでの電位を求よ。



というもの。

電気四重極子は互いに逆向きの電気双極子が2lの距離隔てて置かれているもの。

アプローチとしては(1)正方形の４つの頂点の正と負の電荷が点Pに作り出す電位を重ね合わせる、(2)逆向きの２つの電気双極子がそれぞれ点Pに作り出す電位を重ね合わせる、が考えられる。

このケースでは複数の点電荷を一つの点電荷に置き換えるという手は使えない、なぜなら正と負の電荷分布の重心が一致してしまうため無極性となってしまうからだ。

(2)については読者の課題としよう( ´∀`)

計算が簡単な(1)でお茶を濁すことに。

頂点A,B,C,Dの電荷がそれぞれ点Pに作り出す電位は



ということになる。

電位０の等電位線がθ=0,π/2,π,3π/2の方向が伸びていることから、この平面状の電気四重極子が三次元電位図を描くと４つの腕を持つことは容易に想像できる。電位０の等電位線は平面に垂直な方向にもあり、それは電気四重極子の中心を通る。その立体電位図は理論の時にプロットしたものがある。

いやはやは、想像以上に計算が大変だった。
最後はMaximaで一気に計算したけどね（　´∀｀）