次は前問の続きみたいな問題

半径a,厚さtの円板の表裏に一様な面密度±σで帯電しているとき、円板の中心線上の板から正電側に距離zの点Pでの電位と電界を求めよ。

というもの。

これは前問で一部やってしまったのでどうしようか。

前問の結果を利用しよう。

電位は以下の通り



従って電界は



ということになる。

電気二重層が円板でかつ点Pが円板の中心線上にある場合、中心線に接する方向以外の電界はすべて相殺されて消失するので計算は超簡単になる。

点Pで方向によって非対称な電位勾配を生じるようなケースを考えると途端に計算が複雑になるので、これ以上他の形状を考える問題は見当たらない。実際に電気二重層が正方形だとか、円板の中心からわずかにずれた点を通る垂線上に点Pを置いて計算してみれば、どこに点Pを置いたとしても電界は非対称となり式が大変複雑になることがわかる。

今はそれでも形状さえ与えられれば計算機ソフトで電界分布を計算することも可能だが、計算機が無かった昔は導電性のある電解液に同じ形状の電極を沈めて電荷を帯びたように電圧を印加し、その周囲の電解液中に電圧分布を電圧測定プローブを置いて電位差を測定することで電位分布を測定していた。今では製造されなくなった真空管や陰極線管(CRT)などの電位分布もそうしたモデルを制作して電解液中に沈めて電位分布を測定しながら設計していた。CRTのように最近まで製造されていたものは、晩年は計算機で精密に計算が出来たので、高精細な大型TV用ブラウン管なども設計が可能になったと想像されるが、程なくして液晶ディスプレイに駆逐されてしまった感がある。液晶ディスプレイも同じように電界によって液晶の分子構造を捻って偏向度を可変する原理なので、こちらは後発な技術でありながら計算機を最大限に利用して最初から設計されていると思われる。